高中数学必修.选修100道解答题

高中数学必做100题

必修1

1. 试选择适当的方法表示下列集合： （1）函数

2. 已知集合 3. 设全集（1）求 4. 设集合（1）求

，

；（2）若

，

.

，则

的真子集共

，

，，

，，

；

.

，

，求

、

、

、

.

的函数值的集合； （2）

与

的图象的交点集合.

，求实数a 的值；（3）若

有_____个， 集合P 满足条件

，写出所有可能的集合P .

5. 已知函数.

（1）求

的定义域与值域（用区间表示） （2）求证在上递减.

6. 已知函数

7. 已知函数（1）证明

在

.

，求、、的值.

上是减函数; （2）当时，求的最大值和最小值.

8. 已知函数（1）求函数（2）判断（3）求使

的定义域；

其中．

的奇偶性，并说明理由；

成立的的集合.

9. 已知函数.

（1）判断

的奇偶性； （2）若，求a ，b 的值.

10. 对于函数使得

11. （1）已知函数

为奇函数.

. （1）探索函数的单调性；（2）是否存在实数a

图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点.

的

（2）已知二次方程取值范围.

的两个根分别属于（-1，0）和（0，2），求

12. 某商场经销一批进货单价为40元的商品，销售单价与日均销售量的关系如下表：

为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？

13. 家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量Q 呈指数函数型变化，

满足关系式，其中是臭氧的初始量. （1）随时间的增加，臭氧的含量是

增加还是减少？ （2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？

14. 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可选用二次函数或指数型函数

（其中

（其中

为常数，且

）

为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，

请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由. 15. 如图，为

是边长为2的正三角形，记

的解析式，并画出函数

位于直线

左侧的图形的面积

. 试求函数

的图象.

16. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线. （1）写出服药后y 与t 之间的函数关系式y =f （t ）；

（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效. 求服药一次治疗疾病有效的时间？

必修2

1. 圆锥底面半径为1 cm ，高为

2. 如图（单位：cm ），求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积

.

cm ，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.

3. 直角三角形三边长分别是

、

、

，绕三边旋转一周分别形成三个几何体. 想

象并说出三个几何体的结构，画出它们的三视图，求出它们的表面积和体积.

4. 已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是BC 、CD 上的点，

且

.

求证：（1）E 、F 、G 、H 四点共面；（2）三条直线EF 、GH 、AC 交于一点.

5. 如图，

∥∥，直线与分别交，，于点和点，求证：

.

6. 如图，在正方体ABCD -A 1 B 1 C 1 D 1 中.

求证：（1）B 1 D ⊥平面A 1 C 1 B ； （2）B 1 D 与平面A 1 C 1 B 的交点设为H ，则点H 是△A 1

C 1 B 的垂心

.

7. （06年北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平

面，且，点是的中点

.

平面

；（3）求二面角

的大

（1） 求证：小.

； （2）求证：

8. 已知 9. 求过点

，，，求点D 的坐标，使直线CD ⊥AB ，且CB ∥AD ．

，并且在两轴上的截距相等的直线方程.

10. 三角形的三个顶点是A （4，0）、B （6，7）、C （0，3）.

（1）求BC 边上的高所在直线的方程； （2）求BC 边上的中线所在直线的方程； （3）求BC 边的垂直平分线的方程．

11. 在x 轴上求一点 12. 过点

有一条直线l ，它夹在两条直线

与

之间的线

，使以点

、

和点P 为顶点的三角形的面积为10.

段恰被点P 平分，求直线l 的方程. 13.

14. 已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆AB 的中点轨迹方程. 15. 过点16. 求圆心在直线的交点的圆的方程.

的直线l 被圆

上，并且经过圆

所截得的弦长为

与圆

，求直线l 方程. 上运动，求线段

的三个顶点的坐标分别是

、

、；

，求它的外接圆的方程.

必修3

1. 设计一个算法求

的值，并画出程序框图.

2. 对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下.

（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计元件寿命在100～400 h以内的在总体中占的比例；（4）估计电子元件寿命在400 h以上的在总体中占的比例.

3. 甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下（单位：cm ）： 甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40

问：（1）哪种玉米的苗长得高？（2）哪种玉米的苗长得齐？

4. 假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：

（1）回归直线方程；（2）估计使用年限为10

年时，维修费用约是多少？（参考：

）

5. 在一次商贸交易会上，商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖.

（1）若抽奖规则是从一个装有6个红球和4个白球的袋中无放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率； （2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率.

6. （08年韶关模拟）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段的信息，回答下列问题：

，

…

后画出如下部分频率分布直方图. 观察图形

（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （3）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；

（3）从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们选在同一组的概率.

7. （08年广东卷. 文）某初级中学共有学生2000

名，各年级男、女生人数如下表：

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. （1）求x 的值；

（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ （3）已知y 245， z 245，求初三年级中女生比男生多的概率.

8. （09年广东卷. 文）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图.

（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （2）计算甲班的样本方差；

（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率.

必修4

1. 已知角a 的终边经过P （4，-3）.

（1）求2sina －cosa 的值； （2）求角a 的终边与单位圆的交点P 的坐标.

2. 已知，计算：

（1）

； （2）； （3）； （4）.

3. 求函数

4. 已知tanα＝（1）

5. 画函数y ＝3sin （2x ＋

的定义域、周期和单调区间.

，计算： ； （2）

.

），x ∈R 简图，并说明此函数图象怎样由变换而来.

6. 某正弦交流电的电压（单位V ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是

.

（1）求该正弦交流电电压的周期、频率、振幅； （2）当

，

时，求瞬时电压；

（3）将此电压加在激发电压、熄灭电压均为84V 的霓虹灯的两端，求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间？（说明：加在霓虹灯管两端电压大于84V 时灯管才发光. 取

）

7. 平面上三个力与

的夹角为

、、作用于一点且处于平衡状态，

的大小； （2）

与

，

夹角的大小.

，

，求：（1）

8. 已知，，

（1）求与的夹角； （2）若

，且

，试求.

9. 已知

，，求的值.

10. 已知，，，，求的值.

已知的值.

， 0＜β＜， cos （－α）

= ， sin （+β）

= ， 求sin （α+β）

11. （1）（07年江苏卷.11）已知，，求的值；

（2）已知

12. 已知函数

，，求的值.

.

（1） 求它的递减区间； （2）求它的最大值和最小值.

13. 已知函数

.

（1）求的集合.

的最小正周期； （2）当时，求的最小值以及取得最小值时x

14. 已知函数

（1）求常数a 的值； （2）求使

的最大值为1.

成立的x 的取值集合.

15. （09年广东卷. 理16）已知向量（1）求

和

的值；

与互相垂直，其中．

（2）若

，求的值.

16. 已知（1）求

及

； （2）求函数

，且.

的最小值.

必修5

1. 在△ABC 中，已知

2. 在△ABC 中，若

3. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a 2 ＋b 2 ＝c 2 ＋

ab .

，判断△ABC 的形状. ，

，B=45° ，求A 、C 及c.

（1）求C ； （2）若

，求A ．

4. 如图，我炮兵阵地位于A 处，两观察所分别设于C ，D ，已知△ACD 为边长等于a 的正三角形．当目标出现于B 时，测得∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°，试求炮击目标的距离AB ．（结

果保留根式形式）

5. 如图，一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时，飞行员先看到山顶的俯角为为

，求山顶的海拔高度.

，经过2分钟后又看到山顶的俯角

6. 已知数列

的第1项是1，第2项是2，以后各项由

给出.

（1）写出这个数列的前5项；

（2）利用上面的数列前5项.

，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的

7. 已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列

吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

8. （09年福建卷·文17）等比数列（1）求数列

的通项公式；

中，已知

.

（2）若.

分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前

项和

9. 如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它的前15项的和等于多少？

10. 已知数列（1）求

11. 已知不等式（1）求

的前项和为，

是等比数列.

.

（2）求证：数列

的解集为A ，不等式

；（2）若不等式

的解集是

的解集是B . 求

的解集.

12. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏. 为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格（不能低于15元）？

13. 电视台应某企业之约播放两套连续剧. 其中，连续剧甲每次播放时间为80 min，广告时间为1 min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min，广告时间为1 min，收视观众为20万. 已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min广告，而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320分钟. 问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率? 14. 已知

为正数.

（1）若

，求的最小值；（2）若，求的最大值.

15. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3 ，深为3 m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？

16. （05年北京春招）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/

小时）之间的函数关系为：

．

（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？ （2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

选 修（上）

1. 已知求实数

，

的取值范围.

， 若

的必要不充分条件，

2. 设函数

（1）求函数f （x ）的单调区间；

.

（2）求函数f （x ）的极大值和极小值.

3. 点

与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求M 的轨迹.

4. 双曲线的离心率等于

，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程.

5. 倾斜角为AB 的长.

的直线l 经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，求线段

6. 当从到变化时，方程表示的曲线的形状怎样变换？

7. 一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米. （1）建立如图所示的平面直角坐标系xoy ，试求拱桥所在抛物线的方程； （2）若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？

8. 已知椭圆C 的焦点分别为F 1 （

，0）和F 2 （2

，0），长轴长为6，设直线y =x +2

交椭圆C 于A 、B 两点. 求：（1）线段AB 的中点坐标； （2）弦AB 的长.

9. 在抛物线离.

上求一点P ，使得点P 到直线

的距离最短， 并求最短距

10. 点M 是椭圆的面积

.

上的一点，F 1 、F 2 是左右焦点，∠F 1 MF 2 =60º，求△F 1 MF 2

11. （06年江苏卷）已知三点P （5，2）、（1）求以

、

（－6，0）、

（6，0）.

、

关于直线y ＝x

为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（2）设点P 、、

、

，求以

、

为焦点且过点

的对称点分别为的双曲线的标准方程。

12. 已知函数（1）求函数（2）求曲线

（为自然对数的底）. 的单调递增区间；

在点

处的切线方程.

13. （06年福建卷）已知函数

.

（1）求函数

14. 已知a 为实数，（2）若（3）若

在

，求

和

在

的图象在点

处的切线方程为

的解析式；（2）求函数的单调区间.

，（1）求导数；

上的最大值和最小值； 上都是增函数，求a 的取值范围.

15. （05年全国卷III. 文）用长为90cm ，宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大? 最大容积是多少?

16. （06

年江西卷）已知函数（1）求a 、b 的值与函数（2）若对

的单调区间.

恒成立，求c 的取值范围.

在

与

时都取得极值，

时，不等式

选 修（下）

考点：①会画散点图②能利用公式求线性回归方程

1、某种产品的广告费用支出（万元）与销售额

（万元）之间有如下的对应数据：

（1）画出散点图； （2）求回归直线方程；

（3）据此估计广告费用为9万元时，销售收入的值．

参考公式：回归直线的方程

考点：①会根据数据绘制

，其中.

列连表②能利用公式判断两个量之间的相关性（独立性检验）

2、甲乙两个班级均为40人，进行一门考试后，按学生考试成绩及格与不及格进行统计，甲班及格人数为36人，乙班及格人数为24人. （1）根据以上数据建立一个

的列联表；

（2）试判断是否成绩与班级是否有关？

参考公式：；

考点：合情推理及证明

3、已知，分别求，，，然后归纳猜想

一般性结论，并证明你的结论.

4、（1）若三角形的内切圆半径为r ，三边的长分别为a ，b ，c

，则三角形的面积

，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R

，四个面的面积分别为，则此四面体的体积V =________.

（2）（03年全国卷）在平面几何里有勾股定理：“设的两边

互相垂直，则

.” 拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底

面面积之间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥两两垂直，则__________.”

考点：综合法、分析法、反证法的步骤和格式

5、试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法，证明下列结论： 已知

，则

的三侧面

.

考点：证明方法的合理利用 6、已知项.

，

，

的等差中项，

是

的等比中

求证：（1）

； （2）.

考点：①复数的运算②复数的共轭

7、（1）已知，，，求z .

（2）已知

，求z 及.

考点：复数的几何意义（对应复平面上的点）

8、已知z 是复数，z +2i 、求实数a 的取值范围.

均为实数，且复数在复平面上对应的点在第一象限，

考点：利用空间向量解决立体几何问题（涉及空间直角坐标系的建立、空间点坐标的表示、空间向量数量积的运算、平面向量定理、空间向量垂直的判定） 9、如图，PD 垂直正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 是PB 的中点，

，）．

（1）建立适当的空间坐标系，写出点E 的坐标； （2）在平面PAD 内求一点F ，使EF ⊥平面PCB ．

考点：数学归纳法（步骤） 11、数列（1）计算

考点：绝对值不等式（涉及分段函数的图像） 12、（07年宁夏、海南. 理）设函数（1）解不等式（2）求函数

考点：①求概率②求随机变量的分布列和期望

10、（07年北京高考·理18）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示． （1）求合唱团学生参加活动的人均次数；

（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．

（3）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量

； 的最小值．

．

满足

，并由此猜想

．（

为前n 项和）

；（2）用数学归纳法证明（1）中的结论．

的分布列及数学期望．