高中三角函数期末精讲精练

三角函数期末精讲精练

三角函数精讲

一、基本概念、定义：

1. 角的概念推广后，包括、、，与α终边相同的角表示为。 终边角： x轴上 y轴上 第一象限第二象限 第二四象限直线y＝x上 2. 弧度制：把叫1弧度的角。

公式：|α|＝— 换算：180°＝ 弧度； 1弧度＝ 度； 1°＝ 弧度 扇形： 弧长L＝ ＝ ，面积S＝ ＝ 3. 任意角的三角函数：

①定义：角α终边上任意一点P(x，y)，则r＝ ，六个三角函数的定义依次是 、 、。

②三角函数线：角的终边与单位圆交于点P，过点P作 轴的垂线，垂足为M，则 A(1,0)作，交T，则。 ③同角三角函数关系式：

平方关系： 商数关系： 倒数关系：

（1～2要求能熟练运用：顺用、逆用、变形用，3～6要求能证明，不记忆） 1．和、差角公式

sin() cos()

tan()

2．二倍角公式

sin2 cos2 ＝ ＝ tan2 倍角公式变形：降幂公式

sincos sin2 co2s

3．半角公式(书P45～46)

sin



2



1coscoscossin1cos

, cos, tan 22221cos1cossin

2tan

2

1tan2



；tan2

2tan1tan

2

4．万能公式： sin

1tan

2

；cos

1tan

2

2

．

5．积化和差公式(书P46～47)

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11

sincos[sin()sin()]； cossin[sin()sin()]；

2211

coscos[cos()cos()]； sinsin[cos()cos()]．

22

6．和差化积公式(书P46～47)



； sinsin2cos； sinsinsin2sincos

2222



； coscos2sin． coscos2coscossin

2222

应用公式解题的基本题型：化简、求值、证明 基本技巧：

①1的妙用：1＝ ＝ ＝

②变角： (x+y)＋(x－y)＝ (x+y)＋(x－y)＝ α＝ ＝ ＝ 等 ③变名：切化弦；弦化切

④化一：a sinx＋b cosx＝

1、 作图：五点法，依次取ωx＋ψ＝ 2、 周期T＝

3、 单调区间：Aω>0时，增区间：解不等式 ≤ωx＋ψ≤ 减区间：解不等式 ≤ωx＋ψ≤

Aω

减区间：解不等式 ≤ωx＋ψ≤ 4、最大值：A>0时，当ωx＋ψ＝ 时，y取最大值A。 最小值：A>0时，当ωx＋ψ＝ 时，y取最小值－A。

5、概念：振幅T＝；频率f＝；相位。 6、三角变换： (A>0，ω>0)

将y＝sinx的图像—————————>y＝sin(x＋ψ) ——————————>y＝sin(ωx＋ψ)

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——————————>y＝Asin(ωx＋ψ)

或者： 将y＝sinx的图像—————————>y＝sin(ωx) —————————>y＝sin(ωx＋ψ) ——————————>y＝Asin(ωx＋ψ)

7、联系： y＝tan((ωx＋ψ) (ω>0)的周期是T＝ ，单调 区间是解不等式 。

五、反三角定义：

1.在闭区间 上，符合条件sinx＝a (-1≤a≤1)的角x叫a的反正弦，记作：x＝ 在闭区间 上，符合条件cosx＝a (-1≤a≤1)的角x叫a的反余弦，记作：x＝ 在开区间 上，符合条件tanx＝a的角x叫a的反正切，记作：x＝ 2.反三角的三角函数、三角函数的反三角：

例：sin(arcsinx)＝ ，其中x∈[-1,1]；arcsin（sinx）＝ ，其中x∈[－



，]； 22

六、数学思想方法： 数形结合思想，例如：解三角不等式可以用 、或 ；

整体思想，例如：研究函数y＝Asin(ωx＋ψ)的图像和性质可以把 看成整体

三角函数精练

A

α

⒈ 已知α是钝角，那么 是 （ ）

2

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第一与第二象限角 D．不小于直角的正角

2． 角α的终边过点P（－4k，3k）(k＜0}，则cosα的值是 （ ）

3 434A． B． C．－ D．－ 5555

3．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在［0，2π］内，α的取值范围是 ( )

π3π5πππ5πA．( ∪(π， B．( )∪(π，

244424π3π5π3πππ3πC．( ， )∪， D．( )∪( ，π)

2442424

34

4．若sinx= － cosx = ，则角2x的终边位置在 ( )

55

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2π

5．若4π＜α＜6π，且α与－ 终边相同，则α= ．

3

6． 角α终边在第三象限，则角2α终边在 象限．

7．已知｜tanx｜=－tanx，则角x的集合为 8．如果θ是第三象限角，则cos(sinθ)²sin(sinθ)的符号为什么？

9．已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．

B

1．sin600°的值是 （ ）

11A B．－ C． D．－

2222ππ

2． α)sinα）的化简结果为 （ ）

44

11

A．cos2α B．cos2α C．sin2α D． sin2α

22

1

3．已知x∈［0，π］，则tanx的值是 （ ）

5

第 3 页 共 8 页

34434A．－ B．－ C．± D或－43343

11

4．已知tanα=－，则= ．

3 2sinαcosα+cosα5．

的值为 ．

cos10°－1－cos170°

1+2sinαcosα1+ tanα

6． = cosα－sinα 1－tanα

2sinθ+cosθ

7．已知－5，求3cos2θ+4sin2θ的值．

sinθ－3cosθ

8．已知锐角α、β、γ满足sinα+sinγ=sinβ，cosα－cosγ=cosβ，求α－β的值．

C.

π34

1．已知0＜αβ＜π，sinα=，cos(α+β)=－sinβ等于 （ ）

255

242424

A．0 B．0或 C． D．0或－

252525

sin7°+cos15°sin8°2． 的值等于 （ ）

cos7°－sin15°sin8°

2－3 2+3

A．2+ B． C．2－ D．

22

3． △ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为 （ ）

π5ππ5ππ2πA． B． C． D． 或666633

π1

4．若α是锐角，且sin(α－cosα的值是 ．

63

π2π3π

5．coscos

777

11

6．已知tanθtanφ=，且θ、φ都是锐角．求证：θ+φ=45°．

23

π3π44

7．已知cos(α－β)=－，cos(α+β)= ，且（α－β）∈（，π），α+β∈（2π），求cos2α、

5522

cos2β的值．

tanα11

8． 已知sin(α+β)= sin(π+α－β)= ．

23tanβ

D

1．cos75°+cos15°的值等于 （ ）

6 6 2 2 A． B － C． － D．

22222 2

2．a=（sin17°+cos17°），b=2cos213°－1，c= ，则 （ ）

22

A．c＜a＜b B． b＜c＜a C． a＜b＜c D． b＜a＜c

1+sin2θ-cos2θ

3．

1+sin2θ+cos2θ

4．化简sin(2α+β)－2sinαcos(α+β．

ACAC

5．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tan3 tantan ．

2222

22

6．化简sinA+sinB+2sinAsinBcos(A+B)． 7 化简sin50°3 tan10°)．

8 已知sin(α+β)=1，求证：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．

E

1．函数y=lg(2cosx－1)的定义域为 （ ）

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1－2sin10°cos10°

ππππ

A．{x｜－＜x B．{x｜－x＜

3366

ππππ

C．{x｜2kπ－＜x＜2kπ+k∈Z} D．{x｜2kπ－x＜2kπ+，k∈Z}

3366π

2．如果α、βπ），且tanα＜cotβ，那么必有 （ ）

2

3π3π

A．α＜β B． β＜α C． α+β＜ D． α+β＞

22

3．若f(x)sinx是周期为π的奇函数，则f(x)可以是 （ ）

A．sinx B． cosx C． sin2x D． cos2x 4．下列命题中正确的是 （ ）

A．若α、β是第一象限角，且α＞β，且sinα＞sinβ

ππ

B．函数y=sinxcotx的单调递增区间是（2kπ－2kπ+），k∈Z

22

1－cos2x

C．函数y=的最小正周期是2π

sin2x

kππ

D．函数y=sinxcos2φ－cosxsin2φ的图象关于y轴对称，则φ=k∈Z

24

xx

5．函数2π，2π）内的递增区间是 ．

2266

6．y=sinx+cosx的周期为

ππ

7．比较下列函数值的大小：（1）sin2，sin3，sin4； (2)cos2θ，sin2θ，tan2θ（＜θ＜）．

42

kπ

8．设f(x)=sin(x+) (k≠0) ．

53

(1)写出f(x)的最大值M，最小值m，以及最小正周期T；

（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少

有一个M与m．

F. 1

1．函数y= sin(2x+θ)的图象关于y轴对称的充要条件是 （ ）

2

ππ

A．θ=2kπ+ B．θ=kπ C．θ=2kπ+π D．θ=kπ+π(k∈Z)

22

π

2．先将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象作关于y轴的对称变换，则所得函数图

3象对应的解析式为 （ ）

ππ

A．y=sin(－2x+ ) B．y=sin(－2x－)

33C．y=sin(－2x+

2π2π

) D． y=sin(－2x－) 33

3．右图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，

那么f(x)可以写成 （ ）

A．sin(1+x) B． sin(－1－x) C．sin(x－1) D． sin(1－x) 1π

4．y=tan(－)在一个周期内的图象是 （ ）

23



O

5．已知函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，则该封闭图形面积

是 ． 6．将y=sin(3x－

ππ

的图象向（左、右） 个单位可得 63

π4π11

7．已知函数y=Asin(ωx+φ)，在同一个周期内，当x=x= 若A

9292

π

＞0，ω＞0，｜φ｜＜，求该函数的解析表达式．

2

8．已知函数y=3 sinx+cosx，x∈R． (1)当y取得最大值时，求自变量x

（2）该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

9．如图：某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b（1）求这段时间的最大温差；

（2）写出这段曲线的函数解析式．

G 1．函数y=A1

的最大值是 （ ）

2+sinx+cosx

2 2 2 2 －1 B． ＋1 C． 1－ D． －1－ 2222

2．若2α+β=π，则y=cosβ－6sinα的最大值和最小值分别为 （ ） A．7，5 B． 7，－

1111

C． 5，－ D． 7，－5 22

πsinx+1

3．当0≤x≤时，函数f(x)= 的 （ ）

2 cosx+1

1

A．最大值为2，最小值为 B．最大值为2，最小值为0

2C．最大值为2，最小值不存在 D．最大值不存在，最小值为0

π

4．已知关于x的方程cos2x－sinx+a=0，若0＜x＜a的取值范围是（ ）

25

A．［－1，1］ B．（－1，1） C．［－1，0］ D．

45．要使sinα3 cosα=

4m－6

有意义，则m的取值范围是 ． 4－m

π

6．若f(x)=2sinωx(0＜ω＜1），在区间［0，］上的最大值为2 ，则ω= ．

37．y=sinxcosx+sinx+cosx，求x∈［0，

π

］时函数y的最大值． 3

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8．已知函数f(x)=－sin2x－asinx+b+1的最大值为0，最小值为－4，若实数a＞0，求a，b的值．

π

9．已知函数f(x)=2cos23 sin2x+a，若x∈［0，］，且｜f(x)｜＜2，求a的取值范围．

2

H

1．△ABC中，3 =3 tanAtanB，sinAcosA=

3

（ ） 4

A．等边三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．等边三角形或直角三角形

2．在△ABC中，已知（b+c）∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则此三角形的最大内角为 （ ） A．120° B．150° C．60° D．90°

3．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC=5∶12∶13，则cosA= ．

5．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为．

6．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积，若a=4，b=5，s=53 ，求c的长度．

7．在△ABC中，sin2A－sin2B+sin2C=sinAsinC，试求角B的大小． 8．半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，且OA=2， B为半圆上任意一点，以AB为边向外作等边△ABC，问B

点在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出这个最

大面积．

三角函数答案

16π

A1． A 2． B 3． B 4． D 5． 6．一、二

37．{2kπ+

π3π

＜x＜2kπ+π或2kπx＜2kπ+2π ，k∈Z＝ 8．负 9． 2cm2． 22

π107

B1． D 2． B 3． B 4． 5． 1 6． 略 7 8353

C1． C 2． C 3． A 4．2

71

7． cos2α=－cos2β=－1 8．

255

－11

5． 6．略 68

D1． A 2． A 3． tan θ 4． sinβ 5． 6． sin2（A＋B）．

7. 1 8 .略．

E1． C 2． C 3． B 4． D 5． [－ 7．（1）sin4 ＜sin3＜ sin2 （2）cos2θ＜sin2θ＜tan2θ

2π10π8．（1）M=1，m=－1，T= k≠0）． （2）k=32．

k | k |5

π

F1． B 2． D 3． D 4． A 5． 4 π 6．左，

3ππ, π) 6． 22

6

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πππ1

7． y= sin(3x+) 8．（1）{x｜x=+2kπ，k∈Z｝； （2）将y=sinx的图象向左平移2636

数y=sin(x+的图象．

π

6

π

）的图象，再将所得图象上各点横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=2sin(x+6

π3π

9．（1）最大温差20℃； （2）y=10sin(x+20，x∈[6，14]．

84

37

G1． B 2． D 3． A 4． A 5． －1≤m≤ 6．

3

4

7．1

2+2 8．a=2, b=－2 9．－2＜a＜－1 H1． A 2． A 3． B 4． 12

13 5． π6 6．8． 设∠AOB=θ，θ=

5π6时，S53

最大值 =2+4

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21 61 7． π3