圆锥曲线题型总结

圆锥曲线―概念、方法、题型总结

1.圆锥曲线的定义： （1）已知定点F1(3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 （ ） A．PF1PF24 B．PF1PF26 C．PF1PF210 D．PF1

2

PF2

2

12

（2）

8表示的曲线是_____

x2

（3）已知点Q(22,0)及抛物线y上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____

4

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

x2y2（1）已知方程1表示椭圆，则k的取值范围为____

3k2k

22

（2）若x,yR，且3x22y26，则xy的最大值是____，xy的最小值是

x2y25

（3）双曲线的离心率等于，且与椭圆则该双曲线的方程_______ 1有公共焦点，

942

（4）设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e2的双曲线C过点

P(4,)，则C的方程为_______

3.圆锥曲线的几何性质：

x2y2（1）若椭圆，则m的值是1的离心率e

5m5

（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最

小值为__

（3）双曲线的渐近线方程是3x2y0，则该双曲线的离心率等于______

22

（4）双曲线axby

1a:b

x2y2

（5）设双曲线221（a>0,b>0）中，离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的

ab

取值范围是________

（6）设a0,aR，则抛物线y4ax的焦点坐标为________

4．直线与圆锥曲线的位置关系：

22

（1）若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______

2

x2y2

1恒有公共点，则m的取值范围是_______ （2）直线y―kx―1=0与椭圆

5m

x2y2

1的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样（3）过双曲线12

的直线有_____条

（4）过点(2,4)作直线与抛物线y8x只有一个公共点，这样的直线有______

2

x2y2

（5）过点(0,2)与双曲线1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______

916y22

（6）过双曲线x1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB4，则满足

2

条件的直线l有___ _条

（7）对于抛物线C：y4x，我们称满足y04x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部，若点M(x0,y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y2(xx0)与抛物线C的位置关系是

2

（8）过抛物线y4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则

2

2

11

_______ pq

x2y2

（9）设双曲线1的右焦点为F，右准线为l，设某直线m交其左支、右支和

169

右准线分别于P,Q,R，则PFR和QFR的大小关系为___________

（10）求椭圆7x24y228上的点到直线3x2y160的最短距离22

（11）直线yax1与双曲线3xy1交于A、B两点。①当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？②当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？

5、焦半径

（1）已知抛物线方程为y8x，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；

（2）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M的坐标为_____

（3）抛物线y2x上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离为______

6、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。 （1）短轴长为，离心率e

2

2

2

的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、3

B两点，则ABF2的周长为________

（2）设P是等轴双曲线x2y2a2(a0)右支上一点，F1、F2是左右焦点，若

PF2F1F20，|PF1|=6，则该双曲线的方程为

x2y2→→1的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当PF（3）椭圆2 ·PF1

的横坐标的取值范围是

，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双2

曲线的左支交于A、B两点，且AB是AF2与BF2等差中项，则AB＝__________

（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝

（5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且F1PF260，



SPF1F2123．求该双曲线的标准方程

7、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质、弦长公式： （1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______

（2）过抛物线y2x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______

8、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

2

x2y2

（1）如果椭圆1弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是

369

x2y2

（2）已知直线y=－x+1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点，且线段AB的

ab

中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______

x2y2

（3）试确定m的取值范围，使得椭圆1上有不同的两点关于直线y4xm对

43

称

9．你了解下列结论吗？

2222yyxx（1）双曲线21的渐近线方程为220； 2

abab

22

byx（2）以yx为渐近线（即与双曲线21共渐近线）的双曲线方程为2aab

22

yx(为参数，≠0）。 22ab

x2y2（3）与双曲线1有共同的渐近线，且过点(3,23)的双曲线方程为_______

916

10．动点轨迹方程：

（1）(待定系数法)线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）(m0)，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 （2）（直接法）已知动点P到定点F(1,0)和直线x3的距离之和等于4，求P的轨迹方程．

（3）（定义法）由动点P向圆xy1作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60，则动点P的轨迹方程为

（4）点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：x50的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______

22

(5) 一动圆与两圆⊙M：xy1和⊙N：xy8x120都外切，则动圆圆心的轨迹为

（6）（参数法）动点P是抛物线y2x21上任一点，定点为A(0,1),点M分PA所成的比为2，则M的轨迹方程为__________

（7）若点P(x1,y1)在圆xy1上运动，则点Q(x1y1,x1y1)的轨迹方程是____

2

2



2222

（8）过抛物线x24y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点

M的轨迹方程是________

参考答案： 1.圆锥曲线的定义：

(1)C (2) 双曲线的左支 (3) 2 2.圆锥曲线的标准方程

11

(1) (3,)(,2)）

(2)

22

3.圆锥曲线的几何性质： (1) 3或

x2

2 (3) y21 (4) x2y26

4

2511 (2) 22

(3) 或）； (4) 4或 (5) [,] (6) (0,)

2

3343216a

4, (6) 3 3

4．直线与圆锥曲线的位置关系：

(1) (-,-1) (2) [1，5）∪（5，+∞）(3) 3 (4) 2 (5)

3

(7) 相离 (8) 1 (9) 等于

(10) 5．焦半径

（1）7（2）(2,4)（3）2 6．焦点三角形

（11

）①；②a1） 22

xy

（4

）（5）1 （1）6 （2）x2y24 （3

）(55412

7、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质、弦长公式：

（1）8 （2）3

8．圆锥曲线的中点弦问题 （1）x2y80 （2

）

 （3

） 2

4x2y2

1 9． （3）94

10．动点轨迹方程：

(1) y2x（2）y12(x4)(3x4)或y4x(0x3) (3) xy4 (4)

2

2

2

2

2

1

y216x (5) 双曲线的一支 (6) y6x21 (7) y22x1(|x|) (8) x22y2

23