孔珑_第三版_流体力学习题答案
第三章 流体静力学
【3-2】 图3-35所示为一直煤气管，为求管中静止煤气的密度，在高度差
H=20m的两个截面装U形管测压计，内装水。已知管外空气的密度ρa=1.28kg/m3，测压计读数h1=100mm，h2=115mm。与水相比，U形管中气柱的影响可以忽略。求管内煤气的密度。
图3-35 习题3-2示意图
【解】 p1ga= p2gas=ρHOgh2+p2air sρHOgh1+p1a ir
2
2
p1gas=ρgasgH+p2gas p1ai=+p2ai rrρaigHr
ρHOgh1+p1air=ρgasgH+p2gas
2
p2gas-p1air=ρH2Ogh2-ρairgH
ρHOgh1=ρgasgH+ρHOgh2-ρairgH
2
2
ρHOh1-ρHOh2+ρairH=ρgasH
2
2
ρgas=ρH
h1-h20.1-0.1153
+ρ=1000⨯+1.28=0.53kg/m Oair2
H20
()
【3-10】 试按复式水银测压计（图3-43）的读数算出锅炉中水面上蒸汽的绝对压强p。已知：H=3m，h1=1.4m，h2=2.5m，h3=1.2m，h4=2.3m，水银的密度ρHg=13600kg/m3。
图3-43 习题3-10示意图
【解】 p1=ρHOg(H-h1)+p p1=ρHgg(h2-h1)+p2
2
p3=ρH2Og(h2-h3)+p2 p3=ρHgg(h4-h3)+pa
ρHOg(H-h1)+p=ρHgg(h2-h1)+p2
2
ρHOg(h2-h3)+p2=ρHgg(h4-h3)+pa
2
ρHOg(H-h1+h2-h3)+p=ρHgg(h2-h1+h4-h3)+pa
2
p=ρHgg(h4-h3+h2-h1)-ρH2Og(H-h1+h2-h3)+pa
=13600⨯9.807⨯(2.3-1.2+2.5-1.4)-1000⨯9.807⨯(3-1.4+2.5-1.2)+101325 =366310.14(Pa)p=ρHgg(h4-h3+h2-h1)-ρH2Og(H-h1+h2-h3)+pa
=13600⨯9.80665⨯(2.3-1.2+2.5-1.4)-1000⨯9.80665⨯(3-1.4+2.5-1.2)+101325
(Pa)=366300.683
【3-15】 图3-48所示为一等加速向下运动的盛水容器，水深h=2m，加速度a=4.9m/s2。试确定：（1）容器底部的流体绝对静压强；（2）加速度为何值时容器底部所受压强为大气压强？（3）加速度为何值时容器底部的绝对静压强等于零？
图3-48 习题3-15示意图
【解】 fx=0，fy=0，fz=a-g
压强差公式 dp=ρ(fxdx+fydy+fzdz)
dp=ρ(fxdx+fydy+fzdz)=ρ(a-g)dz
⎰
p
pa
dp=⎰ρ(a-g)dz
-h
⎛a⎫
p-pa=ρ(a-g)(-h)-ρ(a-g)0=ρh(g-a)=ρgh 1-g⎪⎪
⎝⎭
⎛a⎫
p=pa+ρgh 1-g⎪⎪
⎝⎭
p-pa=ρh(
g-a)
a=g-
p-pa
ρh
（1） p=pa+ρh(g-a)=101325+1000⨯2⨯(9.80665-4.9)=111138.3(Pa) （2） a=g-（3） a=g-
p-pap-pa
=g-a=g=9.8066s2 ρhρh
()
p-pa0-101325
=9.80665-=60.469m25 ρh1000⨯2
()
【3-16】 图3-49所示为一圆柱形容器，直径d=300mm，高H=500mm，容器内装水，水深h1=300mm，使容器绕铅直轴作等角速旋转。（1）试确定水正好不溢出时的转速n1；（2）求刚好露出容器底面时的转速n2；这时容器停止旋转，水静止后的深度h2等于多少？
图3-49 习题3-16示意图
【解】 初始状态圆筒中没有水的那部分空间体积的大小为
1
V=πd2(H-h1) (1)
4
圆筒以转速n1旋转后，将形成如图所示的旋转抛物面的等压面。令h为抛
物面顶点到容器边缘的高度。空体积旋转后形成的旋转抛物体的体积等于具有相同底面等高的圆柱体的体积的一半
V=
112
⋅πdh (2) 24
由(1)(2)，得
1211
πd(H-h1)=⋅πd2h (3) 424
即
h=2(H-h1) (4)
等角速度旋转容器中液体相对平衡时等压面的方程为
ω2r2
2
-gz=C (5)
d
，z=h，2
对于自由液面，C=0。圆筒以转速n1旋转时，自由液面上，边缘处，r=则
⎛d⎫
ω2 ⎪
2-gh=0 (6) 2
2
得
ω=
22gh
(7) d
由于
ω=2π
n1=
30ω
=
n1
(8) 60
π
3022gh602gh⋅= (9) πdπd
（1）水正好不溢出时，由式(4)(9)，得
n1=
2g⋅2H-h1gH-h1= (10)
πdπd
即
n1=
120⨯.80665⨯0.5-0.3(rmin) =178.3
π⨯0.3
（2）求刚好露出容器底面时，h=H，则
n1=
2gh2gH60⨯2⨯9.80665⨯0.5
(rmin) ===199.4
πdπdπ⨯0.3
（3）旋转时，旋转抛物体的体积等于圆柱形容器体积的一半
V=
112
⋅πdH (11) 24
这时容器停止旋转，水静止后的深度h2，无水部分的体积为
1
V=πd2(H-h2) (12)
4
由(11)(12)，得
1121
⋅πdH=πd2(H-h2) (13) 244
得
h2=
H0.5
==0.25(m) 22
【3-21】 图3-54所示为绕铰链O转动的倾斜角α=60°的自动开启式水闸，当水闸一侧的水位H=2m，另一侧的水位h
=0.4m时，闸门自动开启，试求铰链至水闸下端的距离x。
图3-54 习题3-21示意图
【解】 设水闸宽度为b，水闸左侧水淹没的闸门长度为l1，水闸右侧水淹没的闸门长度为l2。
作用在水闸左侧压力为
Fp1=ρghc1A1 (1)
其中
hc1=
HHH l1= A1=bl1=b 2sinαsinα
则
HHρgH2b
Fp1=ρgb= (2)
2sinα2sinα
作用在水闸右侧压力为
Fp2=ρghc2A2 其中
hc2=
h2 lhh2=sinα A2=bl2=bsinα
则
F=ρgh2bhsinα=ρgh2b
p2
2sinα
由于矩形平面的压力中心的坐标为
xxIbl3
cylxA2l=2
D=c+=+l cbl3
2
所以，水闸左侧在闸门面上压力中心与水面距离为
xD1=
23⋅Hsinα
水闸右侧在闸门面上压力中心与水面距离为
xD2=
23⋅Hsinα
对通过O点垂直于图面的轴取矩，设水闸左侧的力臂为d1，则d1+(l1-xD1)=x 得
d⎛H
2H⎫H1=x-(l1-xD1)=x- ⎝sinα-3⋅sinα⎪
⎭
=x-3sinα 设水闸右侧的力臂为d2，则
(3)
(4)
(5)
(6) (7)
(8)
(9)
d2+(l2-xD2)=x (10)
得
2h⎫h⎛h
(11) d2=x-(l2-xD2)=x- -⋅⎪=x-
3sinα⎝sinα3sinα⎭
当满足闸门自动开启条件时，对于通过O点垂直于图面的轴的合力矩应为零，因此
Fp1d1-Fp2d2=0 (12)
则
ρgH2b⎛H⎫ρgh2b⎛h⎫
x-⎪= x-⎪ (13) 2sinα⎝3sinα⎭2sinα⎝3sinα⎭
H⎫h⎫⎛2⎛H2 x-⎪=h x-⎪
3sinα⎭3sinα⎭⎝⎝
(H
2
-h2x=
)
1
H3-h3
3sinα
()
1H3-h31H2+Hh+h2
x=⋅=⋅
3sinαH2-h23sinαH+h122+2⨯0.4+0.42
(m) x=⋅=0.795
2+0.43sin60
【3-29】 如图3-62所示，直径d=1m，高H=1.5m的圆柱形容器内充满密度ρ=900kg/m3的液体，顶盖中心开孔通大气。若容器绕中心轴以n=50r/min的转速旋转，求容器的上盖、底面和侧面所受的液体总压力。
图3-62 习题3-29示意图
【解】 由题设所述的容器内的压强分布与等角速度旋转运动容器中液体的静压强分布相同，为
⎛ω2r2⎫
⎪p=pa+ρg -z 2g⎪ (1)
⎝⎭
则计示压强为
⎛ω2r2⎫
⎪pe=ρg -z 2g⎪ (2)
⎝⎭
（1）作用在上盖的计示压强为
pe1=ρ
ω2r2
2
(3)
设圆柱体的底面积为Ad，则作用在上盖的总压力为
Fp1=⎰⎰pe1dA=⎰ρ
Ad
ω2r2
2
2πrdr=⎰
1
ρπωrdr=ρπω2r4
4
23
d0
11⎛d⎫=ρπω2 ⎪=ρπω2d4(4) 464⎝2⎭
4
由于
ω=
2πnπn
= (5) 6030
2
11⎛πn⎫
Fp1=ρπ ⎪d4=π3ρn2d4 (6)
64⎝30⎭57600
Fp1=
1
⨯π3⨯900⨯502⨯14=1211(N) 57600
（2）作用在底面的计示压强为
pe2=pe1+ρgH=ρ
ω2r2
2
+ρgH (7)
则作用在底面的总压力为
Fp2=⎰⎰pe2dA=⎰
Ad
ddd
⎛ω2r2⎫ω2r22 ⎪()ρ+ρgH2πrdr=ρ2πrdr+ρgH2πrdr=F+πρgHrp1⎰02⎰0 ⎪2⎝⎭
d
00
1⎛d⎫
=Fp1+πρgH ⎪=Fp1+πρgHd2
4⎝2⎭
2
(8)
Fp2=
11
⨯π3⨯900⨯502⨯14+⨯π⨯900⨯9.80665⨯1.5⨯12=11609(N) 576004
（3）由式(3)可知，作用在上盖边缘的计示压强为
⎛d⎫
ω ⎪
ρω2d22⎭⎝ (9) =ρ=
2
2
pe1b
28
则作用在侧面的计示压强为
pρω2d2
e3=pe1b+ρgh=
8
+ρgh 设圆柱体的侧面积为Ac，则作用在侧面的总压力为
F⎛ρω2d2⎫p3=⎰⎰pe3dA=A⎰⎰ +ρgh⎪dA=H2π⎛ ρω2d2
+ρgh⎫⎪d
dcAc⎝
8⎪⎭⎰0⎰0 ⎝8⎪⎭2θdh=⎰
H
2π
⎛ ρω2d2⎫⎪dH2π0
⎰
⎝8⎪⎭
2dθdh+⎰0⎰0(ρgh)d
2dθdh=⎛ ρω2d2⎫dH2πρgdH
2π⎝8⎪⎪⎭
2⎰0dh⎰0dθ+2⎰0hdh⎰0dθ ⎛ ρω2d2⎫dρgdH2= ⎝8⎪⎪⎭
2⋅H⋅2π+2⋅2⋅2ππρω2d3HπρgdH2=8+
2
将式(5)代入，得
2
πρ⎛ πn⎫
⎪d3H
F=⎝30⎭πρgdH2π3ρn2d3HπρgdH2p38+2=7200+
2
2F⨯13⨯1.5π⨯900⨯9.80665⨯1⨯1.52
p3=
π3⨯900⨯507200
+
2
=45728
(N)
(10)
(11)
(12)
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