二次函数中考题精选
二次函数中考题精选
一、例题解析
1、(12乐山)如图14,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(m ,m ),点B 的坐标为(n , -n ),抛物线经过A 、O 、B 三点,连结OA 、OB 、AB ,线段AB 交y 轴于点C .已知实数m 、
n (m <n )分别是方程x 2-2x -3=0的两根. (1)求抛物线的解析式;
(2)若点P 为线段OB 上的一个动点(不与点O 、B
PC 与抛物线交于D 、E 两点(点D 在y 轴右侧),连结OD 、BD ① 当△OPC 为等腰三角形时,求点P 的坐标; ② 求△BOD 面积的最大值,并写出此时点D 的坐标. 解(1)解方程x 2-2x -3
=0,得 x 1=3,x 2=-1.
∵m
图14∴⎨
⎧-1=a -b , 11121
解得a =-,b =. ∴抛物线的解析式为y =-x +x .
2222⎩-3=9a -3b .
(2)①设直线AB 的解析式为y =kx +b .
⎧-1=-k +b , 13
∴⎨ 解得k =-,b =-.
22⎩-3=3k +b .
∴直线AB 的解析式为y =-
133x -. ∴C 点坐标为(0,-)222
∵直线OB 过点O (0,0),B (3,-3),∴直线OB 的解析式为y =-x . ∵△OPC 为等腰三角形,∴OC =OP 或OP =PC 或OC =PC . 设P (x ,-x ) ,
22
(i )当OC =OP 时, x +(-x ) =
9
. 解得x 1=32,x =. ∴ P 1(32, -3).
2
4444
(ii )当OP =PC 时,点P 在线段OC 的中垂线上,∴ P 2 ((iii )当OC=PC时,由x 2+(-x +3) 2=9, 解得x 1=
2
4
33,-) . 44
333
,x 2=0(舍去). ∴ P 3(, -) . 222
∴P 点坐标为P 1(
33333232
, -)或P 2 (, -) 或P 3(, -) .
442244
②过点D 作DG ⊥x 轴,垂足为G ,交OB 于Q ,过B 作BH ⊥x 轴,垂足为H . 设Q (x ,-x ),D(x ,-
121
x +x ) . 22
S ∆BO D =S ∆O D Q +S ∆BD Q =
111
DQ ⋅OG +DQ ⋅GH =DQ (OG +GH ) 222332271⎡121⎤
-(x -) +=, x +(-x +x ) ⨯3⎥42162⎢22⎣⎦
27333
时,S 取得最大值为,此时D (,-) . 22816
y 轴相交
=
∵0<x <3, ∴当x =
2、(09湖南株洲) 如图,已知∆ABC 为直角三角形,∠ACB =90︒,AC =BC , 点A 、C 在x 轴上,点B 坐标为(3,m )(m >0),线段AB 与于点D ,以P (1,0)为顶点的抛物线过点B 、D . (1)求点A 的坐标(用m 表示);
(2)求抛物线的解析式;
(3)设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点,连结PQ 并延长交BC 于点
E ,连结 BQ 并延长交AC 于点F ,试证明:FC (AC +EC ) 为定值.
) 可知OC =3,BC =m ,又△ABC 为等腰直解:(1)由B (3, m
角三角形,∴AC =BC =m ,OA =m -3,所以点A 的坐标是(3-m ,0). ………………… 3分
(2)∵∠ODA =∠OAD =45︒ ∴OD =OA =m -3,则点D 的坐标是(0, m -3). 又抛物线顶点为P (1,0),且过点B 、D ,所以可设抛物线的解析式为:y =a (x -1) 2,得:
2
⎧⎧a =1⎪a (3-1) =m 2
解得 ∴抛物线的解析式为y =x -2x +1 ………7分
⎨⎨2
⎪⎩m =4⎩a (0-1) =m -3
(3)过点Q 作QM ⊥AC 于点M ,过点Q 作QN ⊥BC 于点N ,设点Q 的坐标是,则QM =CN =(x -1) 2,MC =QN =3-x . (x , x 2-2x +1)
QM PM (x -1) 2x -1
==∵QM //CE ∴∆PQM ∽∆PEC ∴ 即,得EC =2(x -1) EC PC EC 2
QN BN 43-x 4-(x -1) 2
==∵QN //FC ∴∆BQN ∽∆BFC ∴ 即,得FC = FC BC x +1FC 4
又∵AC =4 ∴FC (AC +EC ) =
444
[4+2(x -1)]=(2x +2) =⋅2(x +1) =8 x +1x +1x +1
即FC (AC +EC ) 为定值8. ……………………12分
二、过关练习题
1、(12株海). 如图,一次函数y=-
1
x +2分别交y 轴、x 轴于A 、B 两点,抛物线2
y =-x 2+bx +c 过A 、B 两点。
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)作垂直x 轴的直线x=t,在第一象限交直线AB 于M ,交这个抛物线于N 。求当t
取何值时,MN 有最大值?最大值是多少?
(3)在(2)的情况下,以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形,求第四个顶点D 的坐标。
备用图
2、(12广安)如图,在平面直角坐标系xOy 中,AB ⊥x 轴于点B ,AB=3,tan ∠AOB=,将△OAB 绕着原点O 逆时针旋转90°,得到△OA 1B 1;再将△OA 1B 1绕着线段OB 1的中点旋转180°,得到△
2
OA 2B 1,抛物线y=ax+bx+c(a ≠0)经过点B 、B 1、A 2. (1)求抛物线的解析式.
(2)在第三象限内,抛物线上的点P 在什么位置时,△PBB 1的面积最大?求出这时点P 的坐标. (3)在第三象限内,抛物线上是否存在点Q ,使点Q 到线段BB 1的距离为的坐标;若不存在,请说明理由.
?若存在,求出点Q
3、(12铜仁)如图已知:直线y =-x +3交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,抛物线y=ax2+bx+c
经过A 、B 、C (1,0)三点. (1)求抛物线的解析式;
(2)若点D 的坐标为(-1,0),在直线y =-x +3上有一点P, 使ΔABO与ΔADP相似,求出点P 的坐标;
(3)在(2)的条件下,在x 轴下方的抛物线上,是否存在点E ,使ΔADE的面积等于四边形APCE 的面积?如果存在,请求出点E 的坐标;如果不存在,请说明理由.
25
4、(12安徽)如图,排球运动员站在点O 处练习发球,将球从O 点正上方2m 的A 处
发出,把球看成点,其运行的高度(y m )与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O 点的水平距离为9m ,高度为2.43m ,球场的边界距O 点的水平距离为18m 。
(1)当h=2.6时,求y 与x 的关系式(不要求写出自变量x 的取值范围) (2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由; (3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h 的取值范围。
第23题图
5、(09山东德州)如图,在平面直角坐标系xOy 中,半径为1的圆的圆心O 在坐标原点,且与两坐标轴分别交于
A 、B 、C 、D 四点.抛物线
y =ax 2+bx +c 与y 轴交于点D ,与直线y =x 交于点M 、N ,且MA 、NC 分别
与圆O 相切于点A 和点C .
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴交x 轴于点E ,连结DE ,并延长DE 交圆O 于F ,求EF 的长. (3)过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ,判断点P