解析几何中的定点和定值问题
解析几何中的定点定值问题
考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。 一、
定点问题
解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
例1、已知A 、B 是抛物线y =2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=
21
2
π
时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。 4
22
解析： 设A （
y y
，B （，则 , y 1）, y 2）
2p 2p
2p
α+β) =1 ，代入tan(tan β=
y 2
2p
tan α=,
y 1
得2p (y 1+y 2) =y 1y 2-4p 2 （1） 又设直线AB 的方程为y =kx +b ，则
⎧y =kx +b
⇒ky 2-2py +2pb =0 ⎨2
⎩y =2px
∴y 1y 2=
2pb
, k
y 1+y 2=
2p
，代入（1）式得b =2p +2pk k
∴直线AB 的方程为y -2p =k (x +2p ) ∴直线AB 过定点（-2p , 2p )
说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。
x 2y 2
例2．【2010·东城一模】已知椭圆C ：2+2=1(a >b >
0) ，以原点为圆心，椭圆的短
a b
半轴长为半径的圆与直线x -y 0相切． ⑴求椭圆C 的方程；
⑵设P (4,0) ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；
⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．
c c 2a 2-b 23222
b ==1，所以a =
4b 解析：
⑴由题意知e ==，所以e =2=，即，又因为=
a a a 24x 2
a =4, b =1，故椭圆C 的方程为C ：+y 2=1．
4
2
2
⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为y =k (x -4) ① ⎧y =k (x -4) ⎪联立⎨x 2消去y 得：(4k 2-1) x 2-32k 2x +4(16k 2-1) =0， 2
⎪+y =1⎩4
由∆=(32k 2) 2-4(4k 2+1)(64k 2-4) >0得12k 2-1
所以直线PN
的斜率的取值范围是
0或0
(x -x 2) ， x 2-x 1
⑶设点N (x 1, y 1), E (x 2, y 2) ，则M (x 1, -y 1) ，直线ME 的方程为y -y 2=令y =0，得x =x 2-
2x x -4(x 1+x 2) y 2(x 2-x 1)
，将y 1=k (x 1-4), y 2=k (x 2-4) 代入整理，得x =12． ②
x 1+x 2-8y 2+y 1
32k 264k 2-4
由得①x 1+x 2=2代入②整理，得x =1， , x 1x 2=
4k +14k 2+1
所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0) ．
【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M
到点F 1
, 0，F 2
()
, 0的距离之和是4，点M 的轨
)
迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线l :y =kx +b 与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；
⑵当AP ⋅AQ =0时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．
解：⑴∵点M
到
, 0, 0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x
轴上焦中为(
))
x 2
的椭圆，其方程为+y 2=1．
4
⑵将y =kx +b ，代入曲线C
的方程，整理得(1+4k 2) x 2++4=0 ，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以∆=64k 2b 2-4(1+4k 2)(4b 2-4) =16(4k 2-b 2+1) >0 ① 设P (x 1, y 1)，Q (x 2, y
2)，则x 1+x 2=4
， ② x x =122
1+4k
且y 1⋅y 2=(kx 1+b )(kx 2+b ) =(k 2x 1x 2) +kb (x 1+x 2) +b 2，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点A (-2, 0)，所
以AP =(x 1+2, y 1)，AQ =(x 2+2, y 2)．由AP ⋅AQ =0，得(x 1+2)(x 2+2) +y 1y 2=0．
6
将②、③代入上式，整理得12k 2-16kb +5b 2=0．所以(2k -b ) ⋅(6k -5b ) =0，即b =2k 或b =k ．经检验，
5都符合条件①，当b =2k 时，直线l 的方程为y =kx +2k ．显然，此时直线l 经过定点(-2, 0)点．即直线l 65⎫6⎛
经过点A ，与题意不符．当b =k 时，直线l 的方程为y =kx +k =k x +⎪．
56⎭5⎝
6⎛6⎫
显然，此时直线l 经过定点 -, 0⎪点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：b =k ，且直线l 经过定点
5⎝5⎭⎛6⎫
-, 0⎪点． ⎝5⎭
x 2y 2
+=1的左、右顶点为A 、B ，右焦点【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆95
为F 。设过点T （t , m ）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M (x 1, y 1) 、
N (x 2, y 2) ，其中m>0,y 1>0, y 2
（1）设动点P 满足PF -PB =4, 求点P 的轨迹； （2）设x 1=2, x 2=
2
2
1
，求点T 的坐标； 3
（3）设t =9, 求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。
【解析】 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。
解：（1）设点P （x ，y ），则：F （2，0）、B （3，0）、A （-3，0）。 由PF -PB =4，得(x -2) 2+y 2-[(x -3) 2+y 2]=4, 化简得x =故所求点P 的轨迹为直线x =（2）将x 1=2, x 2=
2
2
9
。 2
9。 2
15120分别代入椭圆方程，以及y 1>0, y 2
1y -0x +3
直线MTA 方程为：，即y =x +1， =
3-02+33
55y -0x -3
直线NTB 方程为：，即y =x -。
=
62--0-393
⎧x =7⎪
联立方程组，解得：⎨10，
y =⎪3⎩
所以点T 的坐标为(7,
10) 。 3
（3）点T 的坐标为(9,m )
y -0x +3m
=(x +3) ， ，即y =m -09+312y -0x -3m
=直线NTB 方程为：，即y =(x -3) 。 m -09-36
直线MTA 方程为：
x 2y 2
+=1联立方程组，同时考虑到x 1≠-3, x 2≠3， 分别与椭圆953(80-m 2) 40m 3(m 2-20) 20m
, ) N (, -) 。 解得：M (、
80+m 280+m 220+m 220+m 2
20m 3(m 2-20)
y +x -22
（方法一）当x 1≠x 2时，直线MN 方程为： =22
3(80-m ) 3(m -20) +-280+m 220+m 280+m 20+m 2
令y =0，解得：x =1。此时必过点D （1，0）；
当x 1=x 2时，直线MN 方程为：x =1，与x 轴交点为D （1，0）。 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）。
240-3m 23m 2-60=（方法二）若x 1=x 2，则由及m >
0，得m = 22
80+m 20+m
此时直线MN 的方程为x =1，过点D （1，0）。
若x 1≠
x 2，则m ≠MD 的斜率k MD
40m
210m ， ==
240-3m 240-m 2
-1
80+m 2
直线ND 的斜率k ND
-20m
210m ，得k MD =k ND ，所以直线MN 过D 点。 ==2
3m 2-6040-m
-1
20+m 2
因此，直线MN 必过x 轴上的点（1，0）。
【针对性练习3】（2011年石景山期末理18）已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长
为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：y =kx +m (k ≠0)与椭圆交于不同的两点M 、N （M 、N 不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l
过定点，并
求出定点的坐标．
解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，则
⎧2c =2,
⎧⎪⎪a =2,
⎨2b = 解得
⎨
⎪⎩b =⎪a 2=b 2+c 2,
⎩
x 2y 2
∴ 椭圆C 的标准方程为 +=1． „„ 4分
43
22
⎧x y ⎪
（Ⅱ）由方程组⎨4+3=1 消去y ，得
⎪⎩y =kx +m
222
3+4k x +8kmx +4m -12=0． „„ 6分
()
由题意△=(8km )-43+4k
2
2
2
(
2
)(4m
2
-12)>0，
整理得：3+4k -m >0 ① „„„7分 设M (x 1, y 1)、N (x 2, y 2)，则
8km 4m 2-12
x 1+x 2=-， x 1x 2= ． „„„ 8分 2
3+4k 23+4k
由已知，AM ⊥AN ， 且椭圆的右顶点为A (2,0)， ∴
(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2=0．
„„ 10分
22
即 1+k x 1x 2+(km -2)(x 1+x 2)+m +4=0，
()
4m 2-12-8km
+km -2⋅+m 2+4=0， 也即 (1+k )⋅()22
3+4k 3+4k
2
整理得7m +16mk +4k =0． 解得m =-2k 或 m =-
22
2k
，均满足① „„„ 11分 7
当m =-2k 时，直线l 的方程为 y =kx -2k ，过定点(2,0)，不符合题意舍去；
当m =-
2k 22⎫⎛
时，直线l 的方程为 y =k x -⎪，过定点(,0) ， 777⎭⎝
2
7
故直线l 过定点，且定点的坐标为(,0) ． „„„„ 13分
例3、已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x =
4y 的焦点，离心率e =
2
（Ⅱ）设点M (m ,0) 是线段OF 上的一个动点，且(MA +MB ) ⊥AB ，求m 的取值范围； （Ⅲ）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N
三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由。
x 2y 2
解法一： （I ）设椭圆方程为2+2=1(a >b >0) ，由题意知b =
1
a b
x 22
=⇒a =5故椭圆方程为+y 2=1 5 （Ⅱ）由（I ）得F (2,0)，所以0≤m ≤2，设l 的方程为y =k (x -2) （k ≠0）
x 2
+y 2=1，得(5k 2+1) x 2-20k 2x +20k 2-5=0 设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), 代入5
20k 220k 2-5
, x 1x 2=则x 1+x 2=2, ∴y 1+y 2=k (x 1+x 2-4), y 1-y 2=k (x 1-x 2) 2
5k +1
5k +1
∴MA +MB =(x 1-m , y 1) +(x 2-m , y 2) =(x 1+x 2-2m , y 1+y 2), AB =(x 2-x 1, y 2-y 1)
(MA +MB ) ⊥AB , ∴(MA +MB ) ⋅AB =0, ∴(x 1+x 2-2m )(x 2-x 1) +(y 2-y 1)(y 1+y 2) =0
m 820k 24k 2
>0, ∴0
8-5m 55k +15k +1
8
∴当0
5
5
（Ⅲ）在x 轴上存在定点N (,0) ，使得C 、B 、N 三点共线。依题意知C (x 1, -y 1) ，直线BC 的方
2
y +y 1y (x -x ) y x +y 2x 1
程为y +y 1=2 (x -x 1) ， 令y =0，则x =121+x 1=12
x 2-x 1y 2+y 1y 2+y 1
l 的方程为y =k (x -2), A 、B 在直线l 上，
k (x 1-1) x 2+k (x 2-1) x 12kx 1x 2-2k (x 1+x 2)
∴y 1=k (x 1-2), y 2=k (x 2-2) ∴x ==
k (x 1+x 2) -4k k (x 1+x 2) -4k
椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点。
（I ）求椭圆的标准方程；
20k 2-520k 22k ⋅-2k ⋅2
2
=5∴在x 轴上存在定点N (5,0) ，使得C B N 三点共线。 =
220k 22
k 2-4k 5k +1
解法二：（Ⅱ）由（I ）得F (2,0)，所以0≤m ≤2。设l 的方程为y =k (x -2) (k ≠0),
x 2
+y 2=1，得(5k 2+1) x 2-20k 2+20k 2-5=0设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), 则 代入5
4k 20k 220k 2-5
∴y +y =k (x +x -4) =-, y 1-y 2=k (x 1-x 2) x 1+x 2=2, x 1x 2= 121222
5k +15k +15k +1
(MA +MB ) ⊥AB , ∴|MA |=|MB |,=
∴(x 1+x 2-2m )(x 1-x 2) +(y 1+y 2)(y 1-y 2) =0,
(1+k 2)(x 1+x 2) -2m -4k 2=0, ∴(8-5m ) k 2-m =0
88k 2882
∴002
55k +155(5k +1
8
∴当0
5
（Ⅲ）在x 轴上存在定点N (,0) ，使得C 、B 、N 三点共线。
设存在N (t ,0), 使得C 、B 、N 三点共线，则CB //CN ，
C B =(1 y ∴(x 2-x 1) y 1-(t -x 1)(y 1+y 2) =0 x -x y ) , C N =(-t 1, x ，2, y 2+11)
即(x 2-x 1) k (x 1-2) -(t -x 1) k (x 1+x 2-4) =0∴2x 1x 2-(t +2)(x 1+x 2) +4t =0
5520k 2-520k 2
∴t =N (,0) ，使得C B N 三点共线。 -(t +2) +4t =0 ∴2，存在∴
225k 2+15k 2+1
二、
定值问题
在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果，；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效。
例4、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，+与=(3, -1) 共线。 （1）求椭圆的离心率；
（2）设M 为椭圆上任意一点，且=λ+μ(λ, μ∈R ) ，证明λ+μ为定值。
2
2
5
2
x 2y 2
解析：（1）设椭圆方程为2+2=1 （a >b >0），A(x1,y 1) ，B(x2,y 2) ，AB 的中点为N(x0,y 0) ，
a b ⎧x 12y 12
+=1⎪y 2-y 1b 2b 2⎪a 2b 2
∴⎨22，两式相减及所以直线ON 的方向向量为=(1, -2) ，=1得到y 0=-2x 0，
x y a a x -x 21⎪2+2=1⎪⎩a 2b 2
1b 2622
∵ //，∴=2，即a =3b ，从而得e =
3a 3
（2）探索定值 因为M 是椭圆上任意一点，若M 与A 重合，则=，此时λ=1,
μ=0，
∴λ2+μ2=1
22222
证明 ∵ a =3b ，∴椭圆方程为x +3y =3b ，又直线方程为y =x -c
∴ ∴
⎧y =x -c
⇒4x 2-6cx +3c 2-3b 2=0 ⎨222
⎩x +3y =3b
3
x 1+x 2=c ,
2
3c 2-3b 232
x 1x 2==c
48
⎧x =λx 1+μx 2
得⎨，代入椭圆方程整理得
y =λy +μy 12⎩
又设M （x ，y ），则由=λ+μ22
λ2(x 12+3y 12) +μ2(x 2+3y 2) +2λμ(x 1x 2+3y 2y 2) =3b 2
222
又∵ x 1+3y 12=3b 2，x 2+3y 2=3b 2，
x 1x 2+3y 1y 2=4x 1x 2-3c (x 1+x 2) +3c 2=
∴
3292
c -c +3c 2=0 22
λ2+μ2=1
例5、已知，椭圆C 过点A (1,) ，两个焦点为（－1，0），（1，0）。
3
2
（1） 求椭圆C 的方程；
（2） E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率
为定值，并求出这个定值。
解析：（1）由题意，c=1,可设椭圆方程为
19322
+=1b =-b =3，解得，（舍去）
41+b 24b 2
x 2y 2
+=1。 所以椭圆方程为43
3x 2y 2
+=1得 （2）设直线AE 方程为：y =k (x -1) +，代入
243
3
(3+4k 2) x 2+4k (3-2k ) x +4(-k ) 2-12=0
2
设E (xE , y E ) , F (xF , y F ) , 因为点A (1,) 在椭圆上，所以
32
3
4(-k ) 2-12
3
y =kx +-k x F =E E 2
23+4k ，
又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以—K 代K ，可得
3
4(+k ) 2-12
3
y =-kx ++k ， x F =E E 2
23+4k
所以直线EF 的斜率K EF
y F -y E -k (x F +x E ) +2k 1=== x F -x E x F -x E 2
1
。 2
即直线EF 的斜率为定值，其值为将第二问的结论进行如下推广：
x 2y 2
结论1. 过椭圆2+2=1(a >0, b >0) 上任一点A (x 0, y 0) 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于
a b
b 2x 0
E 、F 两点，则直线EF 的斜率为定值2（常数）。
a y 0
证明：直线AE 的方程为y -y 0=k (x -x 0) ，则直线AF 的方程为y -y 0=-k (x -x 0) ，
x 2y 2
联立y -y 0=k (x -x 0) 和2+2=1，消去y 可得
a b
(a 2k 2+b 2) x 2+2a 2k (0y -0
k ) x +
2
a (0-y
k ) 2x -
2
2
b 0a =
2a 2k (y 0-kx 0)
设E (x 1, y 1), F (x 2, y 2), 则x 1+x 0=-a 2k 2+b 2
a 2k 2x 0-2a 2ky 0-b 2x 0a 2k 2x 0+2a 2ky 0-b 2x 0
? x 1, 同理，x 2=
a 2k 2+b 2a 2k 2+b 2-4a 2ky 0
由x 1-x 2=22,
a k +b 2
-4b 2kx 0
y 1-y 2=k (x 1-x 0) +y 0+k (x 2-x 0) -y 0=22,
a k +b 2
y 1-y 2b 2x 0
则直线EF 的斜率为=.
x 1-x 2a 2y 0
x 2y 2
结论2. 过双曲线2-2=1(a >0, b >0) 上任一点A (x 0, y 0) 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆
a b
b 2x 0
于E 、F 两点，则直线EF 的斜率为定值-2（常数）。
a y 0
结论3. 过抛物线y =2px (p >0) 上任一点A (x 0, y 0) 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E 、F 两点，则直线EF 的斜率为定值-2
p
（常数）。 y 0
例6、【2010·巢湖市第一学期期末质检】已知椭圆的中心在原点，焦点F 在y 轴的非负半轴上，点F 到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F 距离的最大值是6.
(Ⅰ) 求椭圆的标准方程和离心率e ； (Ⅱ) 若F '为焦点F 关于直线y =
|MF |3
=e ，的对称点，动点M 满足问是否存在一个定点A ，使M 到|MF '|2
点A 的距离为定值？若存在，求出点A 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
解析：(Ⅰ) 设椭圆长半轴长及半焦距分别为a ，c ，由已知得
⎧a =4，
解得a =4, c =2. ⎨
a +c =6，⎩
21y 2x 2
所以椭圆的标准方程为+=1. 离心率e ==.
421612
|MF |
=e 得
(Ⅱ) F (0,2),F '(0,1), 设M (x , y ), 由
|MF '|
=
1 2
72
化简得3x 2+3y 2-14y +15=0，即x 2+（y -) 2=() 2
33
72
故存在一个定点A (0,) ，使M 到A 点的距离为定值，其定值为.
33
例7、【2010·湖南师大附中第二次月考】已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，P(2，0) 为定点．
(Ⅰ) 若点P 为抛物线的焦点，求抛物线C 的方程；
(Ⅱ) 若动圆M 过点P ，且圆心M 在抛物线C 上运动，点A 、B 是圆M 与y 轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C ，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由．
解析：(Ⅰ) 设抛物线方程为y =2px (p ≠0) ，则抛物线的焦点坐标为(
2
p p
,0) . 由已知，=2，即22
p =4，故抛物线C 的方程是y 2=8x ．
(Ⅱ) 设圆心M (a , b ) (a ≥0) ，点A (0,y 1) ，B (0,y 2) . 因为圆M 过点P(2，0) ，则可设圆M 的方程为
2
得y -2(x -a ) 2+(y -b ) 2=(a -2) 2+b 2. 令x =0，b y +a 4-4=0
. 则y 1+y 2=2b ，y 1⋅y 2=4a -4.
所以|AB |=
== ，设抛物线C 的方程为
y 2=mx (m ≠0) ，因为圆心M 在抛物线C 上，则b 2=ma .
所以
|AB |=由此可得，当m =4时，|AB |=4为定值．故存在一条抛物
线y =4x ，使|AB|为定值4.
例8、已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值
1，离心率为e ﹒
2
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）过点(1, 0)作直线 交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，MP ⋅MQ 为定值？
若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由﹒
⎧a -c =1
（I ）设椭圆E 的方程为x 2y 2解析：⎪
a 2+b 2=1,
由已知得：⎨⎪c 。。。。。2分
⎩a
∴⎧⎪⎨
a =⎪b 2=a 2-c 2
=1∴椭圆E 的方程为x 2+y 2=⎩c =1
21。。。。 3分 （Ⅱ） 法一：假设存在符合条件的点M(m,0)，又设P(x1,y MP =(x),MQ =(x
1),Q(x2,y 2) ，则： 1-m, y 12-m, y 2),MP ⋅MQ =(x1-m) ⋅(x2-m) +y 1y 2 =x 1x 2-m(x1+x 2) +m 2+y 1y 2。
。。。。 5分 ①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y =k(x-1) ，则 ⎧x 2由⎪⎨2+y 2
=1得x 2+2k 2(x-1) 2-2=0 ⎪⎩
y =k(x-1) 2
2
2
2
4k 2(2k+1)x -4k x +(2k-2) =0x 2k 2-2
1+x 2=2k 2+1, x 1⋅x 2=2k 2
+1
7分 2y k 2(x-k
1y 2=1-1)(x2-1) =k 2[x1x 2-(x1+x 2) +1]=2k 2
+1
所以 MP ⋅ MQ =2k 2-24k 22
k 2(2m2-4m +1)k 2+(m2-2) 2k 2+1-m ⋅2k 2+1+m -2k 2+1=
2k 2+1 9分 对于任意的k 值， MP ⋅ MQ 为定值，所以2m 2-4m +1=2(m2-2) ，得m =5
所以M(54,0),MP ⋅ MQ 4
，
=-7
16
； 11分
②当直线l 的斜率不存在时，直线l:x =1,x 1
1+x 2=2,x 1x 2=1,y 1y 2=-
由m =4得 MP ⋅ 2
5MQ =-7
16
综上述①②知，符合条件的点M 存在，起坐标为(5
4
,0) ﹒ 13分
法二： 假设存在点M(m,0)，又设P(x
1,y 1),Q(x2,y 2), 则：MP =(x1-m,y 1),MQ =(x2-m,y 2MP ⋅ MQ
) =(x1-m) ⋅(x2-m) +y 1y 2=x 1x 2-m(x1+x 2) +m 2+y 1y 2…. 5分 ①当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x =ty +1，
⎧x 22
由⎪⎨2+y =1
得(t2+2)y =-2t -1⎪2+2ty -1=0∴y 1+y 22,y 1⋅y 2= 7分 ⎩
x =ty +1
t +2t 2
+2x +1) ⋅(ty-t 2-2t 2+t 2+2-2t 2+2
1x 2=(ty12+1) =t 2y 1y 2+t(y1+y 2) +1=t 2
+2=t 2
+2
x +y -2t 2+2t 2
+44
1+x 2=t(y12) +2=t 2+2=t 2
+2
∴ MP ⋅ MQ =-2t 2+24m 2
1(m2-2)t 2+2m 2-4m +1t 2+2-t 2+2+m -t 2+2=
t 2+2
9分 (m2⋅MQ =λ则-2)t 2+2m 2设MP -4m +1t 2+2
=λ
5⎧m =⎪⎧∴(m-2)t +2m -4m +1=λ(t+2) 5⎪⎪m -2-λ=04∴∴∴M(,0) 11分 ⎨⎨222274∴(m-2-λ)t +2m -4m +1-2λ=0⎪⎩2m -4m +1-2λ=0⎪λ=-⎪16⎩
5
②当直线l 的斜率为0时，直线l :y =0，由M(,0) 得：
4
55257MP ⋅MQ =) ⋅() =-2=-
441616
5
综上述①②知，符合条件的点M 存在，其坐标为(,0) 。。。。13分
4
2
2
2
2
2
三、 定直线问题
x 2y 2
例9、设椭圆C :2+2=1(a >b >
0) 过点M
，且焦点为F 1(
a b
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）当过点P (4,1)的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点A , B 时，在线段AB 上取点Q ，满足
AP QB =AQ PB ，证明：点Q 总在某定直线上
解析： (1)由题意：
⎧c 2=2⎪
x 2y 2⎪2122
+=1 ⎨2+2=1 ，解得a =4, b =2，所求椭圆方程为 42⎪a b
222⎪⎩c =a -b
(2)设点Q (x , y ), A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，由题设，PA , PB , AQ , QB 均不为零。
PA PB 且 =
AQ QB
又 P , A , Q , B 四点共线，可设PA =-λAQ , PB =λBQ (λ≠0, ±1) , 于是
4-λx 1-λy
, y 1= （1） 1-λ1-λ4+λx 1+λy
, y 2= x 2= （2） 1+λ1+λ
x 1=
由于A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程x +2y =4, 整理得 (x +2y -4) λ-4(2x +y -2) λ+14=0 （3）
2
2
2
2
2
(x 2+2y 2-4) λ2+4(2x +y -2) λ+14=0 (4)
(4)－(3) 得 8(2x +y -2) λ=0
∵λ≠0, ∴2x +y -2=0，即点Q (x , y ) 总在定直线2x +y -2=0上
例10、已知椭圆C
的离心率e =
A 1(-2, 0)，A 2(2, 0)。（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x =my +1与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线A 1P 与A 2Q 交于点S 。试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。
x 2y 2解法一：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为2+2=1(a >b >0)。 „„„„„„„
a b
∵a =
2，e =
c =
c =b 2=a 2-c 2=1。 a 1分
„„„„„„ 4分
x 2
∴椭圆C 的方程为2+y 2=1。 „„„„„„„„„„„„„„„ 5分
4
⎛⎛+ A 1P
的方程是y =（Ⅱ）取m =
0, 得P ，直线,Q 1, ⎝⎭⎝⎭
直线A 2Q
的方程是y =
交点为S 1. „„„„7分,
(⎛⎛S 4, . 若P 1, ,Q ，由对称性可知交点为2
⎝⎭⎝⎭
(若点S 在同一条直线上，则直线只能为 :x =4。„„„„„„„8分
⎧x 22
⎪+y =1
以下证明对于任意的m, 直线A 1P 与直线A 2Q 的交点S 均在直线 :x =4上。事实上，由⎨4得
⎪x =my +1⎩
(my +1)
2
+4y 2=4, 即m 2+4y 2+2my -3=0，
9分
()
-2m -3
。„„„„ , y y =12
m 2+4m 2+4y y 16y 1
, 得y 0=. 设A 1P 与 交于点S 0(4,y 0), 由0=
4+2x 1+2x 1+2记P (x 1, y 1),Q (x 2, y 2)，则y 1+y 2=设A 2Q 与 交于点S 0'(4,y 0'), 由
2y 2y 0'y 2
. „„„ 10 =, 得y 0'=x -24-2x 2-22
y 0-y 0'=
6y (my 2-1)-2y 2(my 1+3)4my 1y 2-6(y 1+y 2)6y 12y 2
-==1 x 1+2x 2-2x 1+2x 2-2x 1+2x 2-2-12m -12m -2
2
==0，……12分 x 1+2x 2-2∴y 0=y 0'，即S 0与S 0'重合，这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线 :x =4上。 13分
⎛⎛+直线A 2Q
的方程是A 1P
的方程是y =解法二：（Ⅱ）取m =
0, 得P ，直线,Q 1, ⎝⎭⎝⎭y =
交点为S 1. „„„„„„„„„„„„„„„„ (7分
111⎛83⎫
取m =1, 得P , ⎪,Q (0, -1)，直线A 1P 的方程是y =x +, 直线A 2Q 的方程是y =x -1, 交点为S 2(4,1).
632⎝55⎭
∴若交点S 在同一条直线上，则直线只能为 :x =4。 „„„„„8分
⎧x 22
⎪+y =1
以下证明对于任意的m, 直线A 1P 与直线A 2Q 的交点S 均在直线 :x =4上。事实上，由⎨4得
⎪x =my +1⎩
(my +1)
2
+4y 2=4, 即
(m
2
+4)y 2+2my -3=0
，记
P (
1
x )
1
(
,
)y
2
，,
2
则Q x
-2m -3
9分 , y y =21。„„„„„„222
m +4m +4
y 1y y y
A 1P 的方程是y =(x +2), A 2Q 的方程是y =2(x -2), 消去y, 得1(x +2)=2(x -2)„
x 1+2x 2-2x 1+2x 2-2y 1+y =
①以下用分析法证明x =4时，①式恒成立。要证明①式恒成立，只需证明
②
6y 12y 2
=, 即证x 1+2x 2-2
3y 1(my 2-13即证, 2my 1y 2=3(y 1+y 2). „„„„„„ )=y 2(my 1+)
∵
2my 1y -3(y +y )=
-6m -6m
:x =4上。这说明，当m 变化时， -=20, ∴②式恒成立。1点S 恒在定直线
m 2+4m 2+4
2
⎧x 22
⎪+y =12
解法三：（Ⅱ）由⎨4得(my +1)+4y 2=4, 即m 2+4y 2+2my -3=0。
⎪x =my +1⎩
()
记P (x 1, y 1),Q (x 2, y 2)，则y 1+y 2=
-2m -3
。„„„„„ , y y =12
m 2+4m 2+4
y 1y
A 1P 的方程是y =(x +2), A 2Q 的方程是y =2(x -2), „„
x 1+2x 2-2
6分 7分
y 1⎧
y =(x +2), ⎪x +2y y 2⎪1由⎨得1(x +2)=(x -2), „„„„„„„
x +2x -2y 122⎪y =x -2), (⎪x 2-2⎩
9分
y (x +2)+y 1(x 2-2)y (my 1+3)+y 1(my 2-1)2my 1y 2+3y 2-y 1
=2=22即x =221
3y 2+y 1y 2x 1+2-y 1x 2-2y 2my 1+3-y 1my 2-1-3⎛-2m ⎫
2m 2+3 2-y 1⎪-y 1
m +4⎝m +4⎭=2=4. „„„„„„„„„„„„
⎛-2m ⎫3 2-y 1⎪+y 1
m +4⎝⎭
12分
这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线 :x =4上。„„„„„„
四、 其它定值问题
13分
x 2y 2例11、已知双曲线C :2-2=1(a >0, b >
0)
x =
a b （Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 是圆O :x +y =2上动点P (x 0, y 0)(x 0y 0≠0) 处的切线，l 与双曲线C 交于不同
22
的两点A , B ，证明∠AOB 的大小为定值.
解析：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
⎧a 2⎪（Ⅰ）由题意，得⎪=⎨c
，解得a =1, c = ⎪c ⎪⎩
a
= ∴b 2
=c 2
-a 2
=2，∴所求双曲线C 的方程为x 2
-y 2
2
=1. （Ⅱ）点P (x 0, y 0)(x 0y 0≠0)在圆x 2
+y 2
=2上，
圆在点P (x x 0
0, y 0)处的切线方程为y -y 0=-
y (x -x 0)， 0
⎧化简得x +y ⎪x 2-y 2
=122
0x 0y =2. 由⎨及x 0+y 0=2得 ⎪2
⎩x 0
x +y 0y =2
(3x
2
0-4)x 2-4x 2
0x +8-2x 0=0 ① (3x
20
-4)y 2-8y 20x -8+2x 0=0 ②
∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且0
0
02x 0-8
1x 23x 2-4, y 1y 2=3x 2
， 00-4
∴ OA ⋅ OB =x ，∴ ∠AOB 的大小为90︒
1x 2+y 1y 2=0.
例12、己知椭圆x 2y 2
a 2+b
2=1 （a >b >0）, 过其中心O 的任意两条互相垂直的直径是P 1P 2、Q 1Q 2，求证：以两条直径的四个端点所成的四边形P 1Q 1P 2Q 2与一定圆相切。
探索定圆：取椭圆长轴和短轴为两直径，则A
2B 2x +y
=1，原点O 到直线A ab a b
2B 2的距离为r =a 2
+b
2
，
a 2b 2
则与菱形A 1B 1A 2B 2内切的圆方程为x +y =2。 2
a +b
2
2
证明：设直径P 1P 2的方程为y =kx , 则Q 1Q 2的方程为y =-
1x k
⎧2a 2b 2
⎧y =kx x =2⎪22(k 2+1) a 2b 2⎪2⎪22b +a k ∴⎨x +y =1 解得⎨ ∴OP 2= 222222
k a b b +a k ⎪y 2=⎪⎩a 2b 2
⎪b 2+a 2k 2⎩
(k 2+1) a 2b 2
同理OQ 2=，作OH ⊥P 2Q 2 则OH =222
a +b k
2
OP 2⋅OQ 2OP 2+OQ 2
2
2
22
=
ab a +b
2
2
a 2b 2
又四边形P 1Q 1P 2Q 2是菱形，∴菱形P 1Q 1P 2Q 2必外切于圆x +y =2. 2
a +b
例13、已知P (x 0, y 0) 是双曲线xy =a 2(a ≠0) 上的一个定点，过点P 作两条互相 垂直的直线分别交双曲线于P 1、P 2两点（异于P 点），求证：直线P 1P 2的方向不变。
a 2
探索定值：取P (x 0, ) ，过P 点且互相垂直的直线中有一条过原点，则这一条直线
x 0a 2a 2
与曲线的另一个交点P ) ，其斜率k PP =1(-x 0, -21
x 0x 0
∴k PP 2
把y =
x x
=-02 PP 2的方程为y -y 0=-02(x -x 0)
a a x a a x
代入解得P 2(3, 02) ∴k P 1P 2=02（定值） x a x 0a
1
， k
2
22
4
32
证明：设PP 1的斜率为k ，则PP 2的斜率为 －
∴PP 1的方程为y -y 0=k (x -x 0) PP 2的方程为y -y 0=-
1
(x -x 0) ，与抛物xy =a 2 联立解得k
2
y 0a 2k a 2a 2x 0
P 1(-, -) 、 P 2(ky 0, ) ，从而k P 1P 2=2=2（定值）
k y 0ky 0y 0a
EX ：过抛物线y =2px（P>0）上一定点（x 0,y 0）作两条直线分别交抛物线于A ，B 两点，满足直线PA 、PB 斜率存在且倾斜角互补，则AB 的斜率为定值。 推广：抛物线推广到椭圆或双双曲线均可。 五、练习
2
1、（2008唐山三模）椭圆中心在原点，焦点在x
，三角形ABM
的三个顶点都
在椭圆上，其中M 点为（1，1），且直线MA 、MB 的斜率之和为0。（1）求椭圆的方程。（2）求证：直线AB 的斜率是定值。
122
分析：（1）x +2y=3 （2）
2
2、（2008年西城一模）已知定点C (-1，0) 及椭圆x 2+3y 2=5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两
点. （Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是-
1
，求直线AB 的方程； 2
（Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 分析：M （-
3、已知不垂直于x 轴的动直线l 交抛物线y2=2mx（m>0）于A 、B 两点，若A 、B 两点满足∠AQP=∠BQP ，若其中Q 点坐标为（-4，0），原点O 为PQ 中点。（1）证明：A 、P 、B 三点线；（2）当m=2时，是否存在垂直于x 轴的直线l ‘，使得l ‘被以PA 为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在求出l ’的方程。 分析：设点AB 的坐标 （2）l ：x=3.
74
，0） 39
x 2y 2
4、（2009年保定统测）已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的两个端点为
a b
A 、B ，且四边形F1AF2B 是边长为2的正方形。 （1） 求椭圆的方程。
OP （2） 若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD, 连结CM 交椭圆于点P ，证明：OM
为值。
（3） 在（2）的条件下，试问x 轴上是否存在异于C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆过直线DP ，MQ 的
交点，若存在，求出点Q 的坐标。
x 2y 2
+=1 分析：（1）42
y p y m
OP =4 （2）由O 、M 、P 三点共线，得，所以OM =
4x p +2
（3）设Q 点（a ，0），由QM DP =0，得a=0.
x 2y 2
5、（2009年邯郸第一次模拟）设P 为双曲线2-2=1(a , b >0) 上任意一点，F1，F2是双曲线的左右焦
a b
点，若PF 的最小值是-1
，双曲线的离心率是。 PF 12
3
（1） 求双曲线C 的方程；
（2）过双曲线C 的右焦点F2的直线交双曲线于A 、B 两点，过作右准线的垂线，垂足为C ，求证：直线AC 恒过定点。
7x 2
-y 2=1 （2）先猜再证：分析：（1）（，0）
43
２
２
y 1x 1-
7
4
=
y 2
换掉x1代入韦达定理得证。方法二：1-4
设AB ：ｘ＝ｍｙ＋２代入方程得：（ｍ－３）ｙ＋４ｍｙ＋１＝０
-4m ⎧
y +y =2⎪⎪1m 2-3故⎨ ⎪y y =112⎪m 2-3⎩
AC ：y =
1y 1-y 2y -y 3(y -y ) -2my 1y 2-y 23
又2my 1y 2=-（y1+y2）然后代入韦达(x -) +y 2=12x -12
222my 1+1-x 1my 1+22
定理得。
6、在平面直角坐标系xOy 中,Rt △ABC 的斜边BC 恰在x 轴上，点B(－2,0) ，C （2，0），且AD 为BC 边上的高。
(I)求AD 中点G 的轨迹方程； (II)若过点(1,0)的直线l 与(I)中G 的轨迹交于两不同点P 、Q ，试问在x
轴上是否存在定点E(m,0)，使PE ·QE 恒为定值λ？若存在，求出点E 的坐标及实数λ的值；若不存在，
请说明理由。
x 2
+y 2=1(y ≠0) 分析：（1）4
（2） m =
7、（2009年衡水三模）已知直线l 过椭圆E ：x +2y =2的右焦点F, 且与E 相交于P ，Q 两点。
2
2
1733
定值为 不容易先猜出，只能是化简求出。 864
1
（1） 设OR =(OP +OQ ) ，求点R 的轨迹方程。
2
（2） 若直线l 的倾斜角为60︒，求
1111
++的值。（当l 的倾斜角不定时，可证是|PF ||QF ||PF ||QF |
定值。）
分析：x 2+2y 2-x =0 （2）可先猜再证
: