高中数学解题方法谈:轨迹方程的若干求法
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轨迹方程的若干求法
求轨迹方程是高考中常见的一类问题. 本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.
一、直接法
直接根据等量关系式建立方程.
0) B (3，0) ，动点P (x ，y ) 满足PA ·PB =x 2，则点P 的轨迹是（ ） 例1 已知点A (-2，，
Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线
解析：由题知PA =(-2-x ，-y ) ， -y ) ，PB =(3-x ，
·PB =x 2，得(-2-x )(3-x ) +y 2=x 2，即y 2=x +6， 由PA
∴P 点轨迹为抛物线．故选Ｄ． 二、定义法 运用有关曲线的定义求轨迹方程． 例2 在△ABC 中，BC =24，AC ，AB 上的两条中线长度之和为39，求△ABC 的重心的轨迹方程．
解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 2为重心，则有BM +CM =⨯39=26． 3
∴M 点的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，
其中c =12，
a =13．∴b 5．
x 2y 2+=1(y ≠0) ． ∴所求△ABC 的重心的轨迹方程为16925注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性. 三、转代法 此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.
0) C (1，0) ，顶点A 在抛物线y =x 2上运动，求△ABC 的 例3 已知△ABC 的顶点B (-3，，
重心G 的轨迹方程．
-3+1+x 0⎧x =，⎧x =3x +2， ①⎪0⎪3∴⎨ 解：设G (x ，y ) ，A (x 0，y 0) ，由重心公式，得⎨ y y =3y ． ②⎪y =0，⎩0⎪3⎩
2 又∵A (x 0，y 0) 在抛物线y =x 2上，∴y 0=x 0． ③
将①，②代入③，得3y =(3x +2) 2(y ≠0) ，
4 即所求曲线方程是y =3x 2+4x +(y ≠0) ． 3
四、参数法
如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x ，y 联系起来．
例4 已知线段AA '=2a ，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P ，P '，使有向线段 ·OP '=4，求直线AP 与A 'P '的交点M 的轨迹方程． OP ，OP '满足OP
解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线
为y 轴建立直角坐标系．
设点P (0，t )(t ≠0) ，
⎛4⎫ 则由题意，得P ' 0⎪． ⎝t ⎭
由点斜式得直线AP ，A 'P '的方程分别为
t 4y =(x +a ) ，y =-(x -a ) ． a ta
两式相乘，消去t ，得4x 2+a 2y 2=4a 2(y ≠0) ．
这就是所求点M 的轨迹方程．
评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.
五、待定系数法
当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.
0) ，B (2，0) ，AD =2， 例5 已知Ａ，Ｂ，Ｄ三点不在一条直线上，且A (-2，
1 AE =(AB +AD ) ． 2
（1）求E 点轨迹方程；
（2）过A 作直线交以A ，B 为焦点的椭圆于M ，N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距 4，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程． 5
1 2y ) ． 解：（1）设E (x ，y ) ，由AE =(AB +AD ) 知E 为BD 中点，易知D (2x -2，2
又AD =2，则(2x -2+2) 2+(2y ) 2=4． 离为
即E 点轨迹方程为x 2+y 2=1(y ≠0) ；
（2）设M (x 1，y 1) ，N (x 2，y 2) ，中点(x 0，y 0) ．
x 2y 2
由题意设椭圆方程为2+2=1，直线MN 方程为y =k (x +2) ． a a -4
∵直线MN 与E 点的轨迹相切，
=1，解得k =．
(x +2) 代入椭圆方程并整理，得4(a 2-3) x 2+4a 2x +16a 2-3a 4=0， x 1+x 2a 2
=- ∴x 0=， 22(a 2-3)
将y =a 244= 又由题意知x 0=-，即，解得a 2=8． 22(a -3) 55
x 2y 2
故所求的椭圆方程为+=1． 84