柏拉图的多面体

并不是由柏拉图所发明，但是却是由柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名，由于它们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为正多面体，但是，在这里，我们仍以柏拉图多面体称之，以免与其它有规则的多面体产生混淆。柏拉图多面体所有的面都是不自交、以直线段为边长的正凸多边形平面，每一种多面体都只有一种正多边形的表面，而且在每一个顶点处都有相同数目的面交会。不仅在每一个顶点处都有相同数目的面交会，而且在每一个顶点处所有交会的面的内角之总和会相等。

简介

熟悉柏拉图多面体的最佳方法莫过于经由构造模型并透过模型研究它们。下图表示一种称之为”展开图”的个别柏拉图多面体平面排列图示。为了构造柏拉图多面体的模型，一组类似的展开图必须被描绘在适当的材料上。同学可以将本资料所附之多面体的展开图直接剪下或经放大、缩小影印在合适的漂亮纸张上。如果材料不方便影印，您也可以依样绘制或把影印展开图并贴在所用材料上。

Albrecht Durei 早在1525年，于他所著的《Unterweisung der Messung Mit dem Zirkel und Richtsheit》一书中，给出了几个多面体的展开图。

编辑本段为什么只有五个柏拉图多面体

很容易看出柏拉图多面体每一个都是凸的，并且在每一个顶点处交会着相同数目、相似、正的凸多边形。要理解为什么只有五个柏拉图多面体是相当简单的，这是因为在每一个顶点处交会着至少三个面才能构造出一个立体图形，而且围绕每一个顶点的面的角度和不能等于或超过360°，否则所得的面将是平的或是凹的。

具有最少边数的正多边形是正三角形，三个如此的多边形可以使它们交会在一个顶点上，接下来，加入第四个面，如此，每三个面就会交会在图形的四个顶点处之一。由于这个图形有四个全等的面，故称之为正四面体(TETRAHEDRON)。 四个正三角形可以使它们交会在一个顶点上，而且加入四个面之后，在图形的六个顶点处都会有四个面交会在这里。由于这个图形有八个面，故称之为正八面体(OCTAHEDRON)。

另外，我们可以构造出五个正三角形可以交会在它的12个顶点处的图形。由于这样的图形有20个面。故称之为正二十面体。

假如六个正三角形交会在一顶点处，那么交会在这顶点的面的角之总和为

360°，于是这些三角形将构成一平面或是凹面。所以表面是正三角形的柏拉图多面体只能有三种。

接下来要考虑的多边形是正方形，我们可以构造成三个正方形交会在它的八个顶点处的多面体，它是另一种柏拉图多面体，一般称之为正方立体（CUBE ），由于它有六个面，故亦称之为正六面体（HEXAHEDRON ）。

一个凸多面体不能由每个顶点处都有四个正方形交会，这是由于交会在每个顶点处的面的角之总和将会是360°

接下来考虑的是有五个等边及五个内角均是108°的正五边形。一个多面体可以由三个交会在它的20个顶点处的正五边形所构成所得的图形称之为正十二面体（DODECAHEDRON ），这是由于它有12个面的缘故。通常我们也将其称之为正五角十二面体。

四个五边形将不能交会在一顶点而构成一凸多面体，这是由于这些交会在一顶点的面的角之总和将超过360°

接下来考虑的是正六边形，但是假如三个正六边形交会在一顶点处那么这些面的角之总和将是360°，于是构成一平面。从这里也可以看出多边形的面数愈多，它们的内角就愈大，多于六边的正多边形其三个内角之总和将超过360°，于是，无法将它们连接在一起而构成一正的凸多面体。

编辑本段只有五种正多面体的证明

假设一个正多面体共有 V 个顶点、F 块面及 E 条边；每一块面均为正 n 边形，且每一个顶点共有 m 块面的顶点相连。

由于共有 F 块面，且每块面均为正 n 边形，所以将该正多面体拆开为 F 个正 n 边形后，应有 nF 条边；

由于一个顶点与其他 m 个顶点相连，所以将该正多面体拆开为 F 个正 n 边形后，应有 mV 个顶点，因多边形顶点数目和边的数目相等，即共有 mV 条边； 同样地，当多个正 n 边形合成为一个正多面体时，两个正 n 边形的各一条边便会合并成正多面体的一条边，所以将该正多面体拆开后，应有 2E 条边； 因此，可得 nF = mV = 2E

利用欧拉公式 V + F - E = 2

代入 V 及 F 得

重整后得

因 E 须为正整数 (m - 2)(n - 2)

因着基本立体几何及平面几何，m > 2 及 n > 2，所以 (m, n) 只可能为 (3, 3) 、(3, 4)、(4, 3)、(3, 5) 及 (5, 3)；即 (V, F, E) 只可能为 (4, 4, 6)、(8, 6, 12)、(6, 8, 12)、(20, 12, 30) 及 (12, 20, 30)。

编辑本段柏拉图多面体与宇宙万物的关系

火====四面体

水====二十面体

土====六面体

空气====八面体

宇宙====十二面体

1. 说明

柏拉图体即为正多面体。

编辑本段2. 定义

定义：

如果一个多面体的所有面都是全等正多边形，所有多面角也全等，我们就说它是正多面体（柏拉图体）。

有无限多种正多边形，而正多面体只有五种。正多面体根据面的数目来命名，也就是：

4个正三角形的正4面体；

6个正方形的正6面体（立方体）；

8个正三角形的正8面体；

12个正五边形的正12面体；

20个正三角形的正20面体。

编辑本段3. 发展史

正多面体发源史已消失在过去的烟云里。欧几里德《原本》第八卷才开始用数学的眼光看它们。第一卷的第一个注释指出，本卷“将处理所谓的柏拉图体，那名称实在是错了。因为其中的三种，正4面体，立方体，正12面体来自毕达格拉斯学派，而正8面体和正20面体来自泰阿泰德（Theaeteus ）。”事实也许真是这样。

不管怎么说，柏拉图描绘了5种正多面体。他在《蒂迈欧篇》里讲了如何拿正三角形，正方形和正五边形来构造正多面体的面。柏拉图的蒂迈欧（Timaeus ），就是毕达格拉斯门下的洛克里的蒂迈欧。柏拉图大概在访问意大利时见过他。在柏拉图的作品里，蒂迈欧神秘地将4种易构造的多面体：正4面体，正6面体，正8面体，正20面体，配给恩培多克勒（Empedocles ）的一切物质的四种基本“元素”：火气水土。剩下的正20面体，就特意拿它来联系包围我们的宇宙。 编辑本段4. 柏拉图体的特性

1）内接于同一个球的正12面体的体积大于正20面体的体积，立方体的体积大于正八面体的体积。

2）内接于同一个球的正12面体和正20面体具有这共同的内接球，立方体和正八面体也有共同的内接球。

3）如果正12面体，正20面体和立方体内接于同一个球，那么正12面体的体积与正20面体的体积之比，等于立方体边长与正20面体的边长之比。

4）如果正12面体与正20面体内接于同一个球，那么二者体积之比等于表面积之比。

5）内接于同一个球的正12面体和正20面体具有相等的表面周长。

编辑本段5. 柏拉图体只有5种的证明

顶点数V ，面数F ，棱数E

设正多面体的每个面是正n 边形，每个顶点有m 条棱。棱数E 应是面数F 与n 的积的一半（每两面共用一条 棱），即

nF=2E -------------- ①

同时，E 应是顶点数V 与m 的积的一半，即

mV=2E -------------- ②

由①、②，得

F=2E/n, V=2E/m,

代入欧拉公式V+F-E=2，

有2E/m+2E/n-E=2

整理后，得1/m+1/n=1/2+1/E.

由于E 是正整数，所以1/E>0。因此

1/m+1/n>1/2 -------------- ③

说明m,n 不能同时大于3，否则③不成立。另一方面，由于m 和n 的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多 边形的边数）知，m≥3且n≥3。因此m 和n 至少有一个等于3

当m=3时，因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数，所以n 只能是3，4，5 同理n=3，m 也只能是3，4，5

所以有以下几种情况：

类型 n m

3 3 正四面体

4 3 正六面体

3 4 正八面体

5 3 正十二面体

3 5 正二十面体

由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体 所以正多面体只有5种

编辑本段6. 柏拉图体展开图

柏拉图体展开图：