大学物理上学习指导作业参考答案

第一章 质点运动学

课 后 作 业

1、一质点沿x 轴运动，其加速度a 与位置坐标x 的关系为 a ＝2＋6 x 2 (SI)

如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度．

解：设质点在x 处的速度为v ，

a =

d v d v d x

=⋅=2+6x 2 2分 d t d x d t

v

v d v =

⎰

⎰(2+6x )d x 2分

2

x

3

v =2x +x

()

1分

2、一质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m处，初速度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式．

解： a =d v /dt =4t ， d v =4t dt

v

⎰⎰

d v =⎰4t d t

t

v =2t 2 3分

v =d x /d t=2t 2

3、一质点沿半径为R 的圆周运动．质点所经过的弧长与时间的关系为S =bt +

x x 0

d x =⎰2t 2d t

t

x =2 t 3 /3+x 0 (SI) 2分

12ct 2

其中b 、c 是大于零的常量，求从t =0开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时间．

解： v =d S /d t =b +ct 1分

a t =d v /d t =c 1分

a n =(b +ct )/R 1分

2

根据题意： a t = a n 1分 即 c =(b +ct )/R

2

解得 t =

R b

- 1分 c c

4、如图所示，质点P 在水平面内沿一半径为R =2 m的圆轨道转动．转动的角速度ω与时间t 的函数关系为ω=kt (k 为常量) ．已知t =2s 时，质点P 的速度值为32 m/s．试求

2

t =1s 时，质点P 的速度与加速度的大小．

解：根据已知条件确定常量k

2

k =ω/t 2=v /Rt 2=4rad /s 2 1分

ω=4t , v =R ω=4Rt

t =1s 时， v = 4Rt 2 = 8 m/s 1分

a t =d v /dt =8Rt =16m /s 1分 a n =v /R =32m /s 1分

22

a =a t +a n

()

2

2

22

()

1/2

=35. 8 m/s2 1分

5、一敞顶电梯以恒定速率v =10 m/s上升．当电梯离地面h =10 m时，一小孩竖直向上抛出一球．球相对于电梯初速率v 0=20 m/s．试问： (1) 从地面算起，球能达到的最大高度为多大？ (2) 抛出后经过多长时间再回到电梯上？

解：(1) 球相对地面的初速度

v '=v 0+v =30 m/s 1分

v '2

=45. 9 m/s 1分 抛出后上升高度 h =2g

离地面高度 H = (45.9+10) m =55.9 m 1分

(2) 球回到电梯上时电梯上升高度＝球上升高度

v t =(v +v 0) t -

t =

6、在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S 处，如图所示．当人以

12

gt 1分 2

2v 0

=4. 08 s 1分 g

υ0(m·s -1) 的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．

解： 设人到船之间绳的长度为l ，此时绳与水面成θ角，由图可知

l =h +s

将上式对时间t 求导，得 2l

2

2

2

d l d s

=

2s d t d t

题1-4图

根据速度的定义，并注意到l , s 是随t 减少的， ∴ v 绳=-即 v 船=-

d l d s

=v 0, v 船=- d t d t

v d s l d l l =-=v 0=0 d t s d t s cos θ

或 v 船

lv 0(h 2+s 2) 1/2v 0

==

s s

将v 船再对t 求导，即得船的加速度

d l d s

-l d v -v 0s +lv 船

a =船=2v 0=v 0

2

d t s s

2

l 2

(-s +) v 02

h 2v 0==3

s 2s

s

第二章 运动与力

课 后 作 业

1、 一人在平地上拉一个质量为M 的木箱匀速前进，如图. 木箱与地面间的摩擦系数μ＝0.6. 设此人前进时，肩上绳的支撑点距地面高度为h ＝1.5 m，不计箱高，问绳长l 为多长时最省力?

解：设绳子与水平方向的夹角为θ，则sin θ=h /l ． 木箱受力如图所示，匀速前进时, 拉力为F , 有

F cos θ－f ＝0 2分

F sin θ＋N －Mg ＝0 f ＝μN

N

μMg

2分

cos θ+μsin θd F μMg (-sin θ+μcos θ)

=-=0 令 2d θ(cosθ+μsin θ)

∴ tg θ=μ=0. 6，θ=30︒57'36''

得 F =2分

d 2F

且 >0

d θ2

∴ l ＝h / sin θ＝2.92 m时，最省力．

2、一质量为60 kg的人，站在质量为30 kg的底板上，用绳和滑轮连接如图．设滑轮、绳的质量及轴处的摩擦可以忽略不计，绳子不可伸长．欲使人和底板能以1 m/s2的加速度

上升，人对绳子的拉力T 2多大？人对底板的压力多大? (取g ＝10 m/s2)

解：人受力如图(1) 图2分 T 2+N -m 1g =m 1a 1分 底板受力如图(2) 图2分

T 1+T 2-N '-m 2g =m 2a 2分

T 1=2T 2 1分 N '=N

由以上四式可解得 4T 2-m 1g -m 2g =(m 1+m 2) a

∴ T 2=(m 1+m 2)(g +a ) /4=247. 5 N 1分

N '=N =m 1(g +a ) -T 2=412. 5 N 1分

3、一条轻绳跨过一轻滑轮(滑轮与轴间摩擦可忽略) ，在绳的一端挂一质量为m 1的物体，在另一侧有一质量为m 2的环，求当环相对于绳以恒定的加速度a 2沿绳向下滑动时，物体和环相对地面的加速度各是多少？环与绳间的摩擦力多大？

解：因绳子质量不计，所以环受到的摩擦力在数值上等于绳子张力T ．设m 2相对地面的加

'，取向上为正；m 1相对地面的加速度为a 1(即绳子的加速度) ，取向下为速度为a 2

正． 1分

m 1g -T =m 1a 1 2分

T -m 2g =m 2a 2 2分 '=a 1-a 2 2分 a 2

(m 1-m 2) g +m 2a 2

解得 a 1= 1分

m 1+m 2

(2g -a 2) m 1m 2

T = 1分

m 1+m 2

(m -m 2) g -m 1a 2'=1 a 2 1分

m 1+m 2

4、一条质量分布均匀的绳子，质量为M 、长度为L ，一端拴在竖直转轴OO ′上，并以恒定角速度ω在水平面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r 处绳中的张力T ( r) ．

解：取距转轴为r 处，长为d r的小段绳子，其质量为 ( M /L ) dr ．

(取元，画元的受力图) 2分

由于绳子作圆周运动，所以小段绳子有径向加速度，由牛顿定律得：

T ( r )-T ( r + d r ) = ( M / L) dr rω2

令 T ( r )－T (r + d r ) = - d T ( r) 得 d T =－( Mω2 / L) r d r 4分 )

由于绳子的末端是自由端 T (L ) = 0

1分

L

有

T (r )

2

d T =-(M ω/L ) r d r ⎰⎰

r

∴ T (r ) =M ω(L -r ) /(2L ) 3分

第三章 动量与角动量

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222

1、如图，用传送带A 输送煤粉，料斗口在A 上方高h ＝0.5 m处，煤粉自料斗口自由落在A 上．设料斗口连续卸煤的流量为q m ＝40 kg/s，A 以v ＝2.0 m/s的水平速度匀速向右移动．求装煤的过程中，煤粉对A 的作用力的大小和方向．（不计相对传送带静止的煤粉质重）

解：煤粉自料斗口下落，接触传送带前具有竖直向下的速度

v 0=

2gh 1分

设煤粉与A 相互作用的∆t 时间内，落于传送带上的煤粉质量为

∆m =q m ∆t 1分

设A 对煤粉的平均作用力为f ，由动量定理写分量式：

f x ∆t =∆m v -0 1分

f y ∆t =0-(-∆m v 0) 1分

将 ∆m =q m ∆t 代入得 f x =q m v ， f y =q m v 0 ∴ f =

f 与x 轴正向夹角为α = arctg (f x / f y ) = 57.4° 1分

由牛顿第三定律煤粉对A 的作用力f ′= f = 149 N，方向与图中f 相反．2分

f x 2+f y 2=149 N 2分

2、质量为1 kg的物体，它与水平桌面间的摩擦系数μ = 0.2 ．现对物体施以F = 10t (SI)的力，（t 表示时刻），力的方向保持一定，如图所示．如t = 0时物体静止，则t = 3 s时它的速度大小v 为多少?

解：由题给条件可知物体与桌面间的正压力

N =F sin 30︒+mg 1分

物体要有加速度必须 F cos 30︒≥μN 2分 即 5(-μ) t ≥μmg ， t ≥0. 256s =t 0 1分

t

物体开始运动后，所受冲量为 I =(F cos 30︒-μN ) d t

t 0

⎰

=3. 83(t -t 0) -1. 96(t -t 0)

t = 3 s, I = 28.8 N s 2分

则此时物体的动量的大小为 m v =I

速度的大小为 v =

22

I

=28. 8 m/s 2分 m

3、一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点h ＝19.6 m处炸裂成质量相等的两块．其中一块在爆炸后1秒钟落到爆炸点正下方的地面上．设此处与发射点的距离S 1＝1000 m，问另一块落地点与发射地点间的距离是多少？（空气阻力不计，g ＝9.8 m/s2）

解：因第一块爆炸后落在其正下方的地面上，说明它的速度方向是沿竖直方向的． 利用 h =v 1t '+

12

g t '， 式中t '为第一块在爆炸后落到地面的时间． 可解得v 1 2

＝14.7 m/s，竖直向下．取y 轴正向向上, 有v 1y ＝－14.7 m/s 2分

设炮弹到最高点时(v y ＝0) ，经历的时间为t ，则有

S 1 = v x t ① h=

12

gt ② 2

由①、②得 t =2 s , v x =500 m/s 2分

以v 2表示爆炸后第二块的速度，则爆炸时的动量守恒关系如图所示．

1

m v 2x =m v x ③ 211

m v 2y +m v 1y =m v y =0 ④

22

解出 v 2x =2v x =1000 m/s， v 2y =-v 1y =14.7 m/s 3分

再由斜抛公式 x 2= S 1 +v 2x t 2 ⑤ y 2=h +v 2y t 2-

12

gt 2 ⑥ 2

落地时 y 2 =0，可得 t 2 =4 s , t 2＝－1 s（舍去）

故 x 2＝5000 ｍ 3分

v M

4、质量为M ＝1.5 kg的物体，用一根长为l ＝1.25 m的细绳悬挂在天花板上．今有一质量为m ＝10 g的子弹以v 0＝500 m/s的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小v ＝30 m/s，设穿透时间极短．求：

(1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小； (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量．

解：(1) 因穿透时间极短，故可认为物体未离开平衡位置．因此, 作用于子弹、物体系统上的外力均在竖直方向，故系统在水平方向动量守恒．令子弹穿出时物体的水平速度为v ' 有 m v 0 = m v +M v '

v ' = m (v 0 - v )/M =3.13 m/s 2分 T =Mg+Mv 2/l =26.5 N 2分

(2) f ∆t =m v -m v 0=-4. 7N ⋅s (设v 0方向为正方向) 2分

负号表示冲量方向与v 0方向相反． 2分

第四章 功和能

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1、一质量为m 的质点在Oxy 平面上运动，其位置矢量为 r =a cos ωt i +b sin ωt j (SI)

式中a 、b 、ω是正值常量，且a ＞b ． (1)求质点在A 点(a ，0) 时和B 点(0，b ) 时的动能；

F F (2)求质点所受的合外力F 以及当质点从A 点运动到B 点的过程中F 的分力x 和y 分

别作的功．

解：(1)位矢 r =a cos ωt i +b sin ωt j (SI) 可写为 x =a cos ωt ， y =b s i n ωt

d x dy

v x ==-a ωsin ωt ， v y ==-b ωc o ωs t

d t d t

在A 点(a ，0) ，cos ωt =1，sin ωt =0

1112222

E KA =m v x +m v y =mb ω 2分

222

在B 点(0，b ) ，cos ωt =0，sin ωt =1

E KB =

11122m v x +m v y =ma 2ω2 2分 222

22

(2) F =ma x i +ma y j =-ma ωcos ωt i -mb ωsin ωt j 2分

122ma ω 2分 ⎰a a a 2

b b b 12

W y =⎰F y d y =-⎰m ωb sin ωt dy =-⎰m ω2y d y =-mb 2ω2 2分

0002

由A →B W x =

F x d x =-⎰m ω2a cos ωt d x =-⎰m ω2x d x =

00

2、劲度系数为k 的轻弹簧，一端固定，另一端与桌面上的质量为m 的小球B 相连接．用外力推动小球，将弹簧压缩一段距离L 后放开．假定小球所受的滑动摩擦力大小为F 且恒定不变，滑动摩擦系数与静摩擦系数可视为相等．试求L 必须满足什么条件时，才能使小球在放开后就开始运动，而且一旦停止下来就一直保持静止状态．

解：取弹簧的自然长度处为坐标原点O ，建立如图所示的坐标系．在t =0时，静止于x ＝－L 的小球开始运动的条件是

kL ＞F ① 2分

小球运动到x 处静止的条件，由功能原理得

-F (L +x ) =

由② 解出

x =L -

1212

kx -kL ② 2分 22

2F k

使小球继续保持静止的条件为 k x =k L -

2F

≤F ③ 2分 k F 3F

所求L 应同时满足①、③式，故其范围为

k k

3、一链条总长为l ，质量为m ，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为a ．设

链条与桌面之间的滑动摩擦系数为μ．令链条由静止开始运动，则 (1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？

l -a

a

(2)链条刚离开桌面时的速率是多少？

解：(1)建立如图坐标.

某一时刻桌面上全链条长为y , 则摩擦力大小为

y

g 1分 l

00m

摩擦力的功 W f =⎰f d y =⎰μgy d y 2分

l -a l -a l

μmg 20μmg

=y l -a =-(l -a ) 2 2分

2l 2l

1122

(2)以链条为对象，应用质点的动能定理 ∑W ＝m v -m v 0

22

f =μm

其中 ∑W = W P ＋W f ，v 0 = 0 1分

mg mg (l 2-a 2)

W P =⎰P d x =⎰ 2分 x d x =

a l a 2l μmg (l -a ) 2

由上问知 W f =-

2l

mg (l 2-a 2) μmg 1

-(l -a ) 2=m v 2 所以

2l 2l 2

g (l 2-a 2) -μ(l -a ) 2 2分

得 v =

l

l

[

4、一物体与斜面间的摩擦系数μ = 0.20，斜面固定，倾角α = 45°．现给予物体以初速率v 0 = 10 m/s，使它沿斜面向上滑，如图所示．求： 物体能够上升的最大高度h ；

该物体达到最高点后，沿斜面返回到原出发点时的速率v ．

解：(1)根据功能原理，有 fs =

12m v 0-mgh 2分 2

fs =

μNh cos α12

=μmgh =μmgh ctg α=m v 0-mgh 2分 sin αsin α2

2

v 0

h ==4.5 m 2分

2g (1+μctg α)

1

(2)根据功能原理有 mgh -m v 2=fs 1分

2

1

m v 2=mgh -μmgh ctg α 1分

2

v =[2gh (1-μctg α) ]=8.16 m/s 2分

第五章 刚体的转动

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1、一轻绳跨过两个质量均为m 、半径均为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m 和2m 的重物，如图所示．绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑．两个定滑轮的转动惯量均为

12

mr ．将由两个定滑轮以及质量为m 和2m 的重物组成的系统从静止释放，2

求两滑轮之间绳内的张力．

解：受力分析如图所示． 2分 2mg －T 1＝2ma 1分

T 2－mg ＝ma 1分 T 1 r －T r＝ T r－T 2 r ＝

12

mr β 1分 2

12

mr β 1分 2

a ＝r β 2分

解上述5个联立方程得： T ＝11mg / 8 2分

2、一轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的半径为R , 质量为M / 4，均匀分布在其边缘上．绳子的A 端有一质量为M 的人抓住了绳端，而在绳的另一端B 系了一质量为

1

M 的2

重物，如图．设人从静止开始相对于绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B 端重物上升的加速度？(已知滑轮对通过滑轮中心且垂直于轮面的轴的转动惯量J ＝MR 2 / 4 )

解：受力分析如图所示．

设重物的对地加速度为a ，向上. 则绳的A 端对地有加速度a 向下，人相对于绳虽为匀速向上，但相对于地其加速度仍为a 向下. 2分 根据牛顿第二定律可得：

对人： Mg －T 2＝Ma ① 2分 对重物： T 1－

11

Mg ＝Ma ② 2分 22

根据转动定律，对滑轮有

(T 2－T 1) R ＝J β＝MR 2β / 4 ③ 2分

因绳与滑轮无相对滑动， a ＝βR ④ 1分 ①、②、③、④四式联立解得 a ＝2g / 7 1分

3、一质量为m 的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示．轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r ，整个装置架在光滑的固定轴承之上．当物体从静止释放后，在时间t 内下降了一段距离S ．试求整个轮轴的转动惯量(用m 、r 、t 和S 表示) ．

解：设绳子对物体(或绳子对轮轴) 的拉力为T ，则根据牛顿运动定律和转动定律得：

mg ­T ＝ma ① 2分 T r＝J β ② 2分 由运动学关系有： a = r β ③ 2分

由①、②、③式解得： J ＝m ( g －a ) r 2 / a ④ 又根据已知条件 v 0＝0

12

at ， a ＝2S / t 2 ⑤ 2分将⑤式2

22gt 代入④式得：J ＝mr (－1) 2分 2S

∴ S ＝

m 1 ,l

v 1 v 2

A

俯视图

4、有一质量为m 1、长为l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为μ的水平桌面上，它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动．另有一水平运动的质量为m 2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A 相碰撞，设碰撞时间极短．已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v 1和v 2，如图所示．求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间. (已知棒绕O 点的转动惯量J =

1

m 1l 2) 3

解：

对棒和滑块系统，在碰撞过程中，由于碰撞时间极短，所以棒所受的摩擦力 矩

1分

m 2v 1l ＝－m 2v 2l ＋m 1l 2ω ① 3分

碰后棒在转动过程中所受的摩擦力矩为

M f =

13

m 11x ⋅d x =-μm 1gl ② 2分 ⎰0

l 2t

由角动量定理 ⎰M f dt =0-m 1l 2ω ③ 2分

03

v +v 2

由①、②和③解得 t =2m 21 2分

μm 1g

l

-μg

第六章 狭义相对论基础

课 后 作 业

1、一体积为V 0，质量为m 0的立方体沿其一棱的方向相对于观察者A 以速度v 运动．求：观察者A 测得其密度是多少？

解：设立方体的长、宽、高分别以x 0，y 0，z 0表示，观察者A 测得立方体的长、宽、高分别为 x =x 0

v 2

-2，y =y 0，z =z 0．

c

v 2

-2 3分

c

相应体积为 V =xyz =V 0

观察者Ａ测得立方体的质量 m =

m 0-v c 2

2

故相应密度为 ρ=m /V =

v 2

m 0/1-2

c V 0-

v c 2

2

=

m 0V 0(1-

v ) c 2

2

2分

2、在O 参考系中，有一个静止的正方形，其面积为 100 cm2．观测者O ＇以 0.8c 的匀速度沿正方形的对角线运动．求O ＇所测得的该图形的面积．

解：令O 系中测得正方形边长为a ，沿对角线取x 轴正方向(如图) ，则边长在坐标轴上投影的大小为

11

2a ，a y =2a

22

面积可表示为： S =2a y ⋅a x 2分

a x =

x

在以速度v 相对于O 系沿x 正方向运动的O ＇系中 12

a ' x =a x -(v /c ) =0.6×

2

a 'y =a y =

1

2a 2

2

在O ＇系中测得的图形为菱形，其面积亦可表示为

2

' S '=2a ' 3分 y ⋅a x =0. 6a =60 cm

3、一艘宇宙飞船的船身固有长度为L 0 =90 m，相对于地面以v =0.8 c (c 为真空中光速) 的匀

速度在地面观测站的上空飞过．

(1) 观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？ (2) 宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？

解：(1) 观测站测得飞船船身的长度为

2

L =L 0-(v /c ) =54 m

则 ∆t 1 = L /v =2.25×107 s 3分

(2) 宇航员测得飞船船身的长度为L 0，则

- ∆t 2 = L 0/v =3.75×107 s 2分

4、半人马星座α星是距离太阳系最近的恒星，它距离地球S = 4.3×1016 m．设有一宇宙飞船自地球飞到半人马星座α星，若宇宙飞船相对于地球的速度为v = 0.999 c ，按地球上的时钟计算要用多少年时间？如以飞船上的时钟计算，所需时间又为多少年？

-

解：以地球上的时钟计算： ∆t =

S

≈4. 5 年 2分 v

v 2

以飞船上的时钟计算： ∆t '=∆t -2≈0.20 年 3分

c

5、在惯性系S 中，有两事件发生于同一地点，且第二事件比第一事件晚发生∆t =2s；而在另一惯性系S ＇中，观测第二事件比第一事件晚发生∆t '=3s．那么在S ＇系中发生两事件的地点之间的距离是多少？

解：令S ＇系与S 系的相对速度为v ，有 ∆t '=

∆t

-(v /c ) 2

， (∆t /∆t ') =1-(v /c )

21/2

-

22

则 v =c ⋅(1-(∆t /∆t ') ) ( = 2.24×108 m·s 1 ) 4分

那么，在S ＇系中测得两事件之间距离为：

∆x '=v ⋅∆t '=c (∆t '-∆t )

2

21/2

= 6.72×108 m 4分

6、要使电子的速度从v 1 =1.2×108 m/s增加到v 2 =2.4×108 m/s必须对它作多少功？

-(电子静止质量m e ＝9.11×1031 kg)

解：根据功能原理，要作的功 W = ∆E

根据相对论能量公式 ∆E = m 2c 2- m1c 2 2分 根据相对论质量公式 m 2=m 0/[1-(v 2/c ) ]

21/2

21/2

m 1=m 0/[1-(v 1/c ) ]∴ W =m 0c (

2

1分

1

2v 21-2

c

-

1v 12-2

c

) ＝4.72×10-14 J＝2.95×105 eV 2分