高二数学知识点总结

新泰市新汶中学2011-2012学年度期末考试

高二数学知识点及方法总结 2012-1-3

必修5知识点及方法

第一章：解三角形

1、正弦定理：在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为角A、B、C 的对边，R 为∆ABC 的外接圆的半径，则有

a b c

===2R ． sin Asin Bsin C

2、正弦定理的变形公式：①a =2R sin A，b =2R sin B，c =2R sin C ；

a b c

②sin A=，sin B=，sin C =；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中）

2R 2R 2R

③a :b :c =sin A:sinB:sinC ；

a +b +c a b c

④． ===

sin A+sin B+sin C sin Asin Bsin C

111

3、三角形面积公式：S ∆ABC =bc sin A=ab sin C =ac sin B．

222

4、余 定理：在∆ABC 中，有a =b +c -2bc cos A，b =a +c -2ac cos B，

2

2

2

2

2

2

c 2=a 2+b 2-2ab cos C ．

b 2+c 2-a 2a 2+c 2-b 2a 2+b 2-c 2

5、余弦定理的推论：cos A=，cos B=，cos C =．

2bc 2ab 2ac

6、设a 、b 、c 是∆ABC 的角A、B、C 的对边，则：①若a +b =c ，则C =90为直角三角形；

②若a +b >c ，则C 90为钝角三角形．

2

2

2

2

2

2

222

第二章：数列

1、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数．

3、有穷数列：项数有限的数列． 4、无穷数列：项数无限的数列．

5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 7、常数列：各项相等的数列．

8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系的公式．

10、数列的递推公式：表示任一项a n 与它的前一项a n -1（或前几项）间的关系的公式．

11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个

常数称为等差数列的公差．

12、由三个数a ，A，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A称为a 与b 的等差中项．若

b =

a +c

，则称b 为a 与c 的等差中项． 2

13、若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则a n =a 1+(n -1)d ．

通项公式的变形：①a n =a m +(n -m )d ；②a 1=a n -(n -1)d ；③d =⑤d =

a n -a 1a -a 1

；④n =n +1；n -1d

a n -a m

．

n -m

*

14、若{a n }是等差数列，且m +n =p +q （m 、n 、p 、q ∈N），则a m +a n =a p +a q ；若{a n }是等差

*

数列，且2n =p +q （n 、p 、q ∈N），则2a n =a p +a q ；下角标成等差数列的项仍是等差数列；连

续m 项和构成的数列成等差数列。 15、等差数列的前n 项和的公式：①S n =

n (a 1+a n )2

；②S n =na 1+

*

n (n -1)2

d ．

16、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为2n n ∈N

()，则S

2n

=n (a n +a n +1)，且S 偶-S 奇=nd ，

S 奇S 偶

=

S 奇a n n *

S =2n -1a 2n -1n ∈NS -S =a ．②若项数为，则2n -1(（其中)n ，且奇偶n ，=()a n +1S 偶n -1

S 奇=na n ，S 偶=(n -1)a n ）．

17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个

常数称为等比数列的公比． 18、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若G =ab ，则

称G 为a 与b 的等比中项．

19、若等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，则a n =a 1q 20、通项公式的变形：①a n =a m q

n -m

2

n -1

．

n -1

；②a 1=a n q

-(n -1)

；③q =

a n a n -m

=n ． ；④q

a 1a m

*

21、若{a n }是等比数列，且m +n =p +q （m 、n 、p 、q ∈N），则a m ⋅a n =a p ⋅a q ；若{a n }是等比数

*

列，且2n =p +q （n 、p 、q ∈N），则a n =a p ⋅a q ；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连续m

2

项和构成的数列成等比数列。

⎧na 1(q =1)

⎪

22、等比数列{a n }的前n 项和的公式：S n =⎨a 1(1-q n )a -a q ．

1n =(q ≠1)⎪

1-q ⎩1-q

q ≠1时，S n =

a 1a

-1q n ，即常数项与q n 项系数互为相反数。 1-q 1-q

23、等比数列的前n 项和的性质：①若项数为2n n ∈N

(

*

)

，则

S 偶S 奇

=q ．

②S n +m =S n +q ⋅S m ． ③S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n 成等比数列．

n

⎧⎪S n -S n -1(n ≥2)24、a n 与S n 的关系：a n =⎨

(n =1)⎪⎩S 1

一些方法：

一、求通项公式的方法：

1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法

①若相邻两项相减后为同一个常数设为a n =kn +b ，列两个方程求解；

②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为a n =an +bn +c ，列三个方程求解；

③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为a n =aq +b ，q 为相除后的常数，列两个方程求解； 2、由递推公式求通项公式：

①若化简后为a n +1-a n =d 形式，可用等差数列的通项公式代入求解； ②若化简后为a n +1-a n =f (n ), 形式，可用叠加法求解；

③若化简后为a n +1÷a n =q 形式，可用等比数列的通项公式代入求解；

④若化简后为a n +1=ka n +b 形式，则可化为(a n +1+x ) =k (a n +x ) ，从而新数列{a n +x }是等比数列，用等比数列求解{a n +x }的通项公式，再反过来求原来那个。（其中x 是用待定系数法来求得） 3、由求和公式求通项公式：

①a 1=S 1 ② a n =S n -S n -1 ③检验a 1是否满足a n ，若满足则为a n ，不满足用分段函数写。 4、其他

（1）a n =a n -1+f (n )形式，f (n )便于求和，方法：迭加；

例如：a n =a n -1+n +1 有：a n =a n -1+n +1

n 2

a 2=a 1+3a 3=a 2+4

a n =a n -1+n +1

各式相加得a n =a 1+3+4+ +n +1=a 1+

(n +4)(n -1)

2

（2）a n -a n -1=a n a n -1形式，同除以a n a n -1，构造倒数为等差数列；

⎧1⎫a n -a n -111例如：a n -a n -1=2a n a n -1，则=2=-，即⎨⎬为以-2为公差的等差数列。

a n a n -1a n -1a n ⎩a n ⎭

（3）a n =qa n -1+m 形式，q ≠1，方法：构造：a n +x =q (a n -1+x )为等比数列；

例如：a n =2a n -1+2，通过待定系数法求得：a n +2=2(a n -1+2)，即{a n +2}等比，公比为2。

n

（4）a n =qa n -1+pn +r 形式：构造：a n +xn +y =q a n -1+x (n -1)+y 为等比数列； （5）a n =qa n -1+p n 形式，同除p ，转化为上面的几种情况进行构造；

因为a n =qa n -1+p n ，则

()

a n q a n -1q

，若=+1=1转化为（1）的方法，若不为1，转化为（3）的方n n -1

p p p p

法

二、等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）

①若⎨

⎧a k ≥0⎧a 1>0

，则S n 有最大值，当n=k时取到的最大值k 满足⎨

⎩a k +1≤0⎩d

⎧a k ≤0⎧a 1

②若⎨，则S n 有最小值，当n=k时取到的最大值k 满足⎨

a ≥0d >0⎩⎩k +1

三、数列求和的方法：

①叠加法：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；

②错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：a n =(2n -1)⨯3；

n

③分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：

a n =

11111⎛11⎫

=-= -，a n =⎪等；

2n -12n +122n -12n +1n n +1n n +1⎝⎭

④一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分，如：

a n =2n +n -1等；

四、综合性问题中

①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为a +d 和a -d 类型，这样可以相加约掉，相乘为平方差； ②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为aq 和

a

类型，这样可以相乘约掉。 q

第三章：不等式

1、a -b >0⇔a >b ；a -b =0⇔a =b ；a -b

比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。

2、不等式的性质： ①a >b ⇔b b , b >c ⇒a >c ；③a >b ⇒a +c >b +c ；

④a >b , c >0⇒ac >bc ，a >b , c b , c >d ⇒a +c >b +d ； ⑥a >b >0, c >d >0⇒ac >bd ；⑦a >b >0⇒a >b ⑧a >b >0⇒

n n

(n ∈N, n >1)；

>n ∈N, n >1)．

3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．

4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

判别式∆=b

2

-4ac

∆>0 ∆=0 ∆

二次函数

y =ax 2+bx +c

(a >0)的图象

有两个相异实数根

一元二次方程ax

2

有两个相等实数根

+bx +c =0

(a >0)的根

ax 2+bx +c >0 (a >0)

ax 2+bx +c 0)

-b ±x 1,2=

2a

(x 1

1

x 1=x 2=-

b 2a

没有实数根

{x x x }

2

一元二次不等式的解集

⎧b ⎫⎨x x ≠-⎬

2a ⎭⎩

R

∅

{x x

1

∅

5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式．

6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(x , y )，所有这样的有序数对(x , y )构成的集合．

8、在平面直角坐标系中，已知直线Ax +By +C =0，坐标平面内的点P(x 0, y 0)．

①若B>0，Ax 0+By 0+C >0，则点P(x 0, y 0)在直线Ax +By +C =0的上方． ②若B>0，Ax 0+By 0+C

①若B>0，则Ax +By +C >0表示直线Ax +By +C =0上方的区域；Ax +By +C

Ax +By +C =0下方的区域．

②若B0表示直线Ax +By +C =0下方的区域；Ax +By +C

Ax +By +C =0上方的区域．

10、线性约束条件：由x ，y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ，y 的线性约束条件．

目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式． 线性目标函数：目标函数为x ，y 的一次解析式．

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 可行解：满足线性约束条件的解(x , y )． 可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．

a +b

称为正数a 、b

a 、b 的几何平均数． 2

a +b

12、均值不等式定理： 若a >0，b >

0，则a +b ≥

，即≥．

2

11、设a 、b 是两个正数，则13、常用的基本不等式：

①a +b ≥2ab (a , b ∈R )；

2

2

a 2+b 2

②ab ≤(a , b ∈R )；

2

a 2+b 2⎛a +b ⎫⎛a +b ⎫

≥ ③ab ≤ ⎪(a >0, b >0)；④⎪(a , b ∈R )． 2⎝2⎭⎝2⎭

14、极值定理：设x 、y 都为正数，则有

2

2

s 2

⑴若x +y =s （和为定值），则当x =y 时，积xy 取得最大值．

⑵若xy =p （积为定值），则当x =y 时，和x +y 取得最小值

选修2－1知识点及方法

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.

2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.

3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题. 其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.

4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题. 中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若⌝p ，则⌝q ”.

5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题. 其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若⌝q ，则⌝p ”. 6、四种命题的真假性：

原命题

真 真 假 假

逆命题 真 假 真 假

否命题 真 假 真 假

逆否命题

真 真 真 假

四种命题的真假性之间的关系：

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真

假性；

(2)两个命题为互逆命题或互否命题，

它们的真假性没有关系．

7、若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件． 8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p ∧q ．

当p 、q 都是真命题时，p ∧q 是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p ∧q 是假命题．

用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p ∨q ．

当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p ∨q 是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p ∨q 是假命题． 对一个命题p 全盘否定（否定结论），得到一个新命题，记作⌝p ． 若p 是真命题，则⌝p 必是假命题；若p 是假命题，则⌝p 必是真命题．

9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M中任意一个x ，有

p (x )

成立”，记作“∀x ∈M，

p (x )

”．短语“存在一个”、

“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题“存在M中的一个x ，使

p (x )

成立”，记作“∃x ∈M，

p (x )

”．

p (x )⌝p (x )10、全称命题p ：∀x ∈M，，它的否定⌝p ：∃x ∈M，．全称命题的否定是特称命题．

11、平面内与两个定点

F 1

，

F 2

的距离之和等于常数（大于

F 1F 2

）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称

为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 12、椭圆的几何性质：

焦点的位置

焦点在

x 轴上

焦点在

y 轴上

图形

标准方程 范围

x 2y 2

+=1(a >b >0)a 2b 2 -a ≤x ≤a 且-b ≤y ≤b A1(-a ,0)

、、

y 2x 2

+=1(a >b >0)a 2b 2 -b ≤x ≤b 且-a ≤y ≤a A1(0, -a )B1(-b ,0)

、、

A2(a ,0)B2(0, b )F 2(c ,0)

顶点

A2(0, a )B2(b ,0)F 2(0, c )

B1(0, -b )F 1(-c ,0)

轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

、

短轴的长=

2b 长轴的长=2a

F 1(0, -c )

、

F 1F 2=2c c 2=a 2-b 2关于轴、

轴、原点对称

准线方程

a 2

x =±

c

a 2

y =±

c

对应准线的距离为

13、设M是椭圆上任一点，点M到

F 1d 1

，点M到

F 2

对应准线的距离为

d 2

，则

MF 1d 1

=

MF 2d 2

=e

．

14、平面内与两个定点

F 1

，

F 2

的距离之差的绝对值等于常数（小于

F 1F 2

）的点的轨迹称为双曲线．这

两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．

15、双曲线的几何性质：（类比椭圆写出双曲线的性质，并参看课本） 16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 17、设M是双曲线上任一点，点M到

F 1

对应准线的距离为

d 1

，点M到

F 2

对应准线的距离为

d 2

，则

MF 1d 1

=

MF 2d 2

=e

．

18、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．

19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A、B两点的线段AB，称为抛物线的“通径”，即

AB=2p

．

20、焦半径公式：

若点

P(x 0, y 0)

在抛物线

y =2px (p >0)

2

上，焦点为F ，则

PF =x 0+

p

2； p 2；

若点

P(x 0, y 0)

在抛物线

y =-2px (p >0)

2

上，焦点为F ，则

PF =-x 0+

若点

P(x 0, y 0)

在抛物线

x =2py (p >0)

2

上，焦点为F ，则

PF =y 0+

p 2； p 2．

若点

P(x 0, y 0)

在抛物线

x =-2py (p >0)

2

上，焦点为F ，则

PF =-y 0+

21、抛物线的几何性质：

标准方程

y 2=2px

(

p >

0)

y 2=-

2

px

x 2=2py

(p >0)

(p >0)

x 2=-2py

(p >0)

图形

顶点

(0,0)

对称轴

x 轴

⎛p ⎫F , 0⎪⎝2⎭y 轴

p ⎫⎛

F 0, ⎪⎝2⎭p ⎫⎛

F 0, -⎪

2⎭⎝

焦点

⎛p ⎫

F -, 0⎪⎝2⎭准线方程

x =-

p

2

x =

p 2

y =-

p 2

y =

p 2

离心率

e =1范围

x ≥0x ≤0y ≥0y ≤022、空间向量的概念：

(2)向量可用一条有向线段来表示．(1)在空间，

具有大小和方向的量称为空间向量． 有

3)(向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． 向量AB的大小称为向量的模（或长

度），记作

AB

．

(4)模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．

(5)与向量a -a a 长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作．

(6)方向相同且模相等的向量称为相等向量．

23、空间向量的加法和减法：

(1)求两个向量和的运算称为向量的加法，

它遵循平行

Oa 则．即：在空间以同一点为起点的两个已知向量、

作平行四边形OAC B，则以O起点的对角线OC 就

的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边

四边形法

b 为邻边

是a 与b

形法则． 形法则．即：

(2)求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角

在空间任取一点O，作OA=a ，OB=b ，则 BA=a -b ．

λλa λ>0λa a 24、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算．当时，与a 方向相同；当

λ

25、设λ，μ为实数，a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．

分配律：

λa +b =λa +λb

()

；结合律：

λ(μa )=(λμ)a

．

26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．

b b ≠0

a //b 的充要条件是存在实数λ，27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，，使a =λb ．

()

28、平行于同一个平面的向量称为共面向量．

P=ABx +Ay C 29、向量共面定理：空间一点P位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使A

；

y +C ；A或若四点P，A，B，C 共面，则或对空间任一定点O，有OP=OAx +AB

OP=x OA+y OB+z OC (x +y +z =1)

．

30、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O，作OA=a ，OB=b ，则∠AOB称为向量a ，b 的夹

〈a , b 〉∈[0, π]角，记作〈a , b 〉．两个向量夹角的取值范围是：．

π 〈a , b 〉=

2，则向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b ． 31、对于两个非零向量a 和b ，若

c o s ab , 〈〉a b ⋅=c o s ab 〈, 〉

b 的数量积，32、已知两个非零向量a 和b ，则称为a ，记作a ⋅b ．即

向量与任何向量的数量积为0．

．零

b cos 〈a , b 〉a b a a ⋅b a 33、等于的长度与在的方向上的投影的乘积． e ⋅a =a ⋅e =a cos 〈a , e 〉1()34、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有；

⎧

⎪a b a 与b 同向a ⋅b =⎨

2 -a b a 与b 反向⎪a ⋅a =a a =23()a ⊥b ⇔a ⋅b =0；()⎩，，；

a ⋅b

cos 〈a , b 〉=

a b (5)a ⋅b ≤a b (4)

()

()

；．

(1)a ⋅b =b ⋅a ；(2)(λa )⋅b =λa ⋅b =a ⋅λb ；

35、向量数乘积的运算律：

a (3)+b ⋅c =a ⋅c +b ⋅c

()()

()

．

{x , y , z }，使得j p 36、若i ，，k 是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量，存在有序实数组

p =xi +yj +zk ，称xi ，yj ，zk 为向量p 在i ，j ，k 上的分量．

{x , y , z }，使得p b a c 37、空间向量基本定理：若三个向量，，不共面，则对空间任一向量，存在实数组

p =xa +yb +zc ．

38、若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是

{

{

p p =xa +yb +zc , x , y , z ∈R

a , b , c

}．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，

e 1

e 2

e 3

}称为空间的一个基底，a

，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个

e 2

e 3

基底． 39、设

e 1

，，

为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以

，，的

公共起点O为原点，分别以

e 1

，

e 2

，

e 3

的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．则

对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP=p ．存在有序实

{x , y , z }，使得p =xe 1+ye 2+ze 3．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，数组

记作

p =(x , y , z )

(x , y , z )． p ．此时，向量的坐标是点P在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标

，

40、设

a =(x 1, y 1, z 1)

b =(x 2, y 2, z 2)

，则

(1)a +b =(x 1+x 2, y 1+y 2, z 1+z 2)

．

(2)a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2, z 1-z 2)

．

(3)λa =(λx 1, λy 1, λz 1)．

(4)a ⋅b =x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2

．

(5)

a ⊥b ⇔a ⋅b =0⇔x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0

若a 、b 为非零向量，则．

(6)若b ≠0，则a //b ⇔a =λb ⇔x 1=λx 2, y 1=λy 2, z 1=λz 2．

a ==7()

a ⋅b

cos 〈a , b 〉==

a b (8)

(9)A(x 1, y 1, z 1)

，

B=(x 2, y 2, z 2)

，则

d AB

=AB=

41、在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置可以用向量OP来表示．向量OP称为

点P的位置向量．

l l l a AA42、空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定．点是直线上一点，向量

AP=ta l l a AP表示直线的方向向量，则对于直线上的任意一点，有，这样点和向量不仅可以确定直线l

的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点．

43、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O，它们的方向向

x , y ()OP=xa +yb b Oa a αP量分别为，．为平面上任意一点，存在有序实数对，使得，这样点与向量，

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b 就确定了平面α的位置．

l l a a α44、直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面α的法向量．

45、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则a //b ⇔a //b ⇔

a =λb (λ∈R )

，a ⊥b ⇔a ⊥b ⇔a ⋅b =0．

a //α⇔a //α a n a ⊄αa α46、若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则

⇔a ⊥n ⇔a ⋅n =0，a ⊥α⇔a ⊥α⇔a //n ⇔a =λn ．

α//β⇔a //b ⇔ 47、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则

a =λb ，α⊥β⇔a ⊥b ⇔a ⋅b =0．

48、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有

a ⋅b

cos θ=cos ϕ=a b

．

49、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有 l ⋅n

sin θ=cos ϕ=l n

n 1

n 2

．

50、设，

是二面角α-l -β的两个面α，β的法向量，则向量

n 1

，

n 2

的夹角（或其补角）就是二面

角的平面角的大小．若二面角α-l -β的平面角为θ，则

n 1⋅n 2

cos θ=n 1n 2

．

AB

51、点A与点B之间的距离可以转化为两点对应向量AB的模计算．

l l n AP52、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点A到直线l 的距离为

PA⋅n

d =PAc o s 〈PAn , 〉=n

．

n ααAP53、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面α的一个法向量，则点P到平面α的距离为

PA⋅n

d =PAcos 〈PA, n 〉=n

．

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