5-2换元积分法1
第二节 换元积分法
求解不定积分,能应用直接积分法的函数不多,因此,有必要进一步研究不定积分的求解方法。
1、换元积分法的基本思想
应用换元积分法进行积分是常见的积分方法。其实,换元积分法就是复合函数微分法的逆运算。
回顾复合函数的微分手法,是将复合函数f[(x)]的复合变量替换为简单变量(x)u,然后应用简单函数的微分方法得df(u)f'(u)du,
应用替换法,同样可以将复合函数的积分转化为简单函数的积分:
f[(x)]d(x) (x)u f(u)du
于是,得到复合函数的积分法,称为换元积分法。
换元积分法通常分两类:第一类换元法和第二类换元法。
第一类换元法是将复杂变量替换为简单变量:(x)u,从而将复合函数的积分转化为简单函数的积分;
第二类换元法是将简单变量替换为复杂变量:x(u),从而将复杂的被积函数转化为可积分的函数。
下面分别进行分析。
一、第一类换元法(P210)
1、第一类换元法的积分思路
第一类换元法并非一种独立存在的积分方法,它建立在直接积分法的基础上,依赖直接积分法去最终完成积分。或者说,它以换元法为主要手段,以直接积分法为解决积分的最终方法。
换言之,第一类换元法的积分思路,就是将含复合函数的积分转换为简
单函数的积分,从而应用直接积分法解决问题。
2、第一类换元法的基本公式
定理1 设f(u)具有原函数,u(x)可导,则有换元公式
f[(x)]d(x) (x)u f(u)du
或为
公式的要点:
①可以应用第一换元积分法的积分式必须具有结构: ]f[(x)'x(d)x x()u fu) (du
f[(x)]d(x) 或 f[(x)] 'x(d)x
②换元时必须对两个位置的复合变量进行一致替换:一个是复合函数f[(x)]的第一中间变量(x),一个是微分函数d(x)中的待微分函数(x)。
③换元后得到的积分式f(u)du必须是简单函数的积分,如果仍含有复合函数,那么换元失败或复合变量认定错误。
3、第一类换元积分法的步骤分解
第一类换元法的基本公式在具体运用时,有许多技巧性手法,一下子不容易掌握,但万变不离其宗,根本的是掌握好基本公式的上述三个要点。
为准确理解和掌握第一类换元法的基本公式,下面进行分解说明。
第一类换元法的积分过程分为五个步骤:特征判断,凑微分,变量代换,直接积分,变量回代。
下面分别对五个步骤进行详细的分解分析。
第一步骤:特征判断——检查被积函数是否适合应用第一换元法
第一换元法要求被积函数具有结构特征:
f[(x)]d(x) 或 f[(x)]
亦即被积式可分解为具有乘积关系的两个部分:
①复合函数f[(x)]; x'x(d)
②该复合函数中间变量(x)的微分d(x)或'(x)dx,
注意:这里所指的中间变量,与求复合函数导数内容中的中间变量是一致的,专指去掉函数最外层后所得到的复合变量。
于是,积分的第一步,就是要求被积函数可分解为具有上述特征的两个部分。若不能实现上述分解,则不可应用第一类换元积分法进行积分。
由于第一类换元积分法要求被积函数中含有复合函数f[(x)],所以又可以将第一类换元积分法称为复合函数积分方法。
【例1
】积分2可否应用第一换元法进行积分?
【分析】被积式2
与微分部分2xdx之积,该微分部分恰为其中间变量1x2的微分d(1x2)2xdx,符合第一换元积分公式的结构特征,说明可以应用第一换元法进行积分。
【例2
】积分可否应用第一换元法进行积分?
【分析】被积式
可分解为复合函数与微分部分xdx之积,该微分部分与其中间变量1x2的微分d(1x2)2xdx对比仅
差一常数倍2
,由于可变形为
12,由上【例1】2
知,该积分可以应用第一换元法进行积分。
【例3
】积分x可否应用第一换元法进行积分?
【分析】被积式x
可分解为复合函数与微分部分
2x2dx之积,该微分部分与其中间变量1x的微分d(1x2)2xdx对比相
差一变量x,不符合第一换元积分公式的结构特征,于是该积分不可以应用第一换元法进行积分。
注意:①可以对积分号内外乘、除同一常数,使其符合公式结构要求;
②不可将积分式中的变量抽到积分符号外面,或对积分号内外
乘、除同一变量,强行将积分式“整理”成为结构上符合第一换元法要求的形式!
第二步骤:凑微分——将积分式整理成为换元前的形式
第一类换元法在将积分式整理为可换元形式
行凑微分。
凑微分,即为将积分式中的微分部分h(x)dx,整理成为中间变量(x)的微分形式d(x)时所应用的运算手法。
运算时,将微分部分与中间变量的微分结果相对比,是“凑”的关键。 正因为第一类换元积分法的这一重要而关键的运算手法,常将第一类换元积分法称为凑微分法。
【例4
】对积分2进行凑微分,将积分式整理为第一换元法公式的结构。
【解】积分式中的微分部分为2xdx,
1x的微分为d(1x)2xdx 两部分恰相等,即得
2f[(x)]d(x)时常须进2
2(1x2) 【例5
】对积分进行凑微分,将积分式整理为第一换元法
公式的结构。
【解】积分式中的微分部分为xdx,
的中间变量1x的微分为d(1x2)2xdx,两部分相差一个常数2,
将原积分式恒等变形,使得微分部分为2xdx,即
21122
(1x) 22
第三步骤:变量代换——将复合函数的可换元结构
换为简单函数的积分f[(x)]d(x)代f(u)du。
第一类换元积分法的换元手段为:将复合函数f[(x)]的中间变量(x),以及微分函数d(x)中的变量(x),一致转换为简单变量u,即令(x)u,将复合函数的积分f[(x)]d(x)变换成为简单函数的积分f(u)du,从而可通过直接积分解决问题。
第一类换元积分法正是由此而得名。
【例6
】对积分进行换元,将积分式转换为简单函数的积分。
【解】
1(1x2) 2
1 1x2=u
为简单函数的积分。 2
注意:第三步骤中,被积函数能否转换成简单函数,是成功积分的关键。而这一转换的关键,又在于函数关系f( )是否为最外层的。
第四步骤:直接积分——应用直接积分法进行积分
这是回到本章第一节的内容——直接积分法。
注意:积分符号“∫”消失的同时,应在积分结果的末尾加上不定常数“C”。
【例7
】求1。
2
31111【解】u2duu2C 223
第五步骤:变量回代——对积分结果恢复原积分变量
即:将简单函数的积分结果作变量回代u(x),恢复原积分变量。 注意:若积分的最终结果中,函数变量与原来的变量不相一致,则属于错误的结果。
至此,得到的积分全过程:
【例8
】求解。
【解】
12xdx ---- ①检查并配型
2
1(1x2) ---- ②凑微分 2
1 1x2=u
---- ③换元 2
13
u2C ---- ④直接积分 3
3122 u=1x (1x)C ---- ⑤变量回代 32
4、第一类换元积分法要点归纳
⑴第一类换元积分法的主要思路,是通过将复合函数的中间变量置换成为简单变量,使含复合函数的被积式转换成为简单函数的被积式,达到可应用直接积分法的目的,从而解决含复合函数的积分。因此,第一换元法也可
称为含复合函数的积分方法。
⑵第一类换元积分法在对中间变量进行置换前,首先应检查被积式的结构特征。检查的结果无非为如下三种情况:
假设含复合函数的积分为f[(x)]h(x)dx,于是
①中间变量的微分d(x)与被积式中的微分部分h(x)dx完全一致,则直接将h(x)dx转换成d(x);
②中间变量的微分d(x),与被积式中的微分部分h(x)dx仅相差一个常数倍A,则将h(x)dx作恒等变换,h(x)dxAd(x);
③中间变量的微分d(x)与被积式中的微分部分h(x)dx不一致,且存在变量的差异,则第一类换元法失效或分析有误(可能对中间变量选择错误)。
综上所述,第一换元法的特征判断、凑微分和变量代换这三个主要步骤,目标就是为使置换后的积分可以进行直接积分。若实现不了这个目标,则说明第一换元法失效或中间变量的设置失当。例如:
【例9
14x,则
2
12(14x) 81为简单函数的积分;
8 14x2=u
而的中间变量是2x,则
1(2x) 21为简单函数的积分, 22 2x=
u 但若后一积分也用14x作中间变量,则无法进行一致换元
成为简单函数的积分。硬换会成为
14x2=u
,导致积分函数的变量u与积分变量x不一致,无法正确积分。
【例10】求2cos2xdx。(P196例2)
【解】2cos2xdx=cos2x2dx ---- ①特征判断
cos2xd2x ---- ②凑微分
2x=u cosudu ---- ③换元
sinuC ---- ④直接积分
u=2x sin2xC ---- ⑤变量回代
dx(P197例3) 3x2。
11dx3dx ---- ①特征判断 【解】3x233x2
11(3x2) ---- ②凑微分 33x2
11 3x2=u ---- ③换元 3u
1lnuC ---- ④直接积分 3【例11】求
1 u=3x2 ln3x2C---- ⑤变量回代 3
5、第一类换元积分法的简化
第一类换元积分法在应用熟练后,可以大大简化积分过程:
①合并特征判断与凑微分两个步骤;
②免除变量代换与回代过程。
具体做法是:
①合并特征判断与凑微分两个步骤
应用口诀“复合函数照抄,中间变量放d后面,检查相等关系。” 若前后相等,或补乘常数后相等,则可以继续积分,否则凑微分出
错或第一换元积分法失效。
②免除变量代换与回代过程。
与复合函数求导方法类似,只须将中间变量视作简单变量,直接进
行积分运算。或者将中间变量写成空括号,运算后再填入原中间变量。其中的运算过程,可以仅在草稿上进行而不须书写在解题过程中。
熟能生巧,只要多练习,多归纳提炼,不定积分的第一换元积分法就容易掌握了。
6、第一换元积分法的一般分析步骤
⑴将积分式分离成相乘的两部分:复合函数f[(x)]和微分部分h(x)dx;
⑵以基本导数公式的结果与积分中复合函数部分f[(x)]进行结构对比,从而判断简单函数积分f(u)du是否可积;
⑶应用口诀“复合函数照抄,中间变量放d后面,检查相等关系。” 设法构造可换元的积分结构Af[(x)]d(x)。
在被积函数较为简单时,可以直接进入第⑶步骤。
⑷将换元后的简单积分Af(u)du的积分结果回代复合变量
(x)u得到积分结果。
下面通过具体的例解进行引导说明。
7、一次换元
对于只进行一次换元的,可以免写换元过程,将中间变量当作简单变量处理即可。
x【例12】求xedx。(P197例4) 2
【分析】复合函数为e,微分式为xdx,于是
x【解】xedxx221x2212edxdxxdx -----22
12exC ----- eudxeuC 2
【例13
】求。(P197例5)
xdx,于是
【解】
112(1x)d(1x2)xdx -----22
31223
22(1x)C
------u2C 233
3122(1x)C 3
【例14】求tanxdx。(P197例6)
【分析】被积式中只有单一函数tanx,而导数公式中,没有哪个函数
的导数结果是tanx,说明tanx不能直接积分,应尝试应用第一换元积分法,即先将tanx分解为复合函数与微分式两部分,由于
11sinx(cosx)',即得 cosxcosx
1
dcosx ---- dcosxsinxdx 【解】tanxdxcosx
1
lncosxC ----dulnuC
u
1
dx。【例15】求2(P198例7) 2
ax
1
【分析】被积式中只有单一函数2,而求导结果为平方和的倒数2
ax11
的导数公式只有:(arctanx)',对比被积函数,应该先将
1x2a2x21111x
其变形为的结构,得,于是,以为中间变
a2x2a21(x)21u2a
a
1
量,就成为的积分了。 2
1u
11
这时,积分式分解为复合函数和微分部分2dx,得
xa1()2
a
111
【解】2dxdx 22axa1()2
a
1x111x
d ------d2dx
aaaa1()2a
a1x1arctanC ------duarctanuC 2
aa1u1
dx。 【例16】求xa
1
【分析】求导结果为一次式的倒数的有(lnu)',于是,以xa为
u
tanx
中间变量,即可积分为
【解】
11dxxaxad(xa)
1
lnxaC ------dulnuC
u
【例17】求
1
(P198例8) x2a2dx。
【分析】求导结果为平方差的倒数的导数公式绝无仅有,倒是有
(lnu)'
11
,即求导结果为一次式的倒数,于是考虑将2分拆为两个uxa2
一次式的倒数的代数和。由于
11111
()
x2a2(xa)(xa)2axaxa
而
111
与均可利用dulnuC积分,可得
uxaxa
1111
dx()dx 【解】2
2xa2axaxa
111(dxdx) 2axaxa111[d(xa)d(xa)] 2axaxa1
[lnxalnxa]C 2a
【例18】求e【分析】易见
1xalnC 2axadx
。(P199例9) 1x2
arctanx
1
dxdarctanx,于是 2
1xdxarctanx
earctanxdarctanx 【解】e2
1x
earctanxC ------eudueuC
【例19
】求arccos
2
。(P199例10)
2
darccosx,于是
【解】arccos
arccos2xdarccosx
11
arccos3xC ----u2duu3C 33
【例20】求
dx
(P199例11) x(12lnx)。
dx11dx,于是有
x(12lnx)12lnxx
【分析】由于
【解】
dx
x(12lnx)
1111
(12lnx)d(12lnx)dx ----212lnx2x
11
ln2lnxC ----lnuC 2u
8、多次换元
对于一些较为复杂的积分,有时须作多次换元,在这种情况下,书
写换元过程有利于步骤的分析。当然,在熟练的情况下,也可以将中间变量当作简单变量处理。
【例21】求
dx
(P199例12) cosx。
1
的导数公式绝无cosx
1dxcosxdxdsinx
仅有,倒是有,于是考虑变形,于是可
cos2xcosxcos2x1sin2xdudu
以换元成为,由P198例8知道,可以将1u2分拆为两个一次分1u2
【分析一】被积函数为单一函数,但求导结果为母的分式和,分别积分即可。
【解法一】
dxdsinx
cosx1sin2x ---- 变形
du
---- 换元 sinx=u 2
1u
111()du ---- 分拆
21u1u111[dudu] ---- 分别积分 21u1u111[d(1u)d(1u)] --凑微分 21u1u
11
[lnulnu]C--dulnuC
u2
M11u
lnC --- lnMlnNlnN21u
11sinx
C ---- 回代 u=sinx ln
21sinx
1(1sinx)2lnC ---- 整理化简 21sin2x1(1sinx)2lnC ---- 整理化简 22cosx
ln
1sinx
C ---- 整理化简
cosx
lnsecxtanxC ---- 整理化简
若将中间变量当作简单变量处理,则过程可以简化很多。 【解法二】
dxdsinx
cosx1sin2x 111()dsinx
21sinx1sinx111[d(1sinx)d(1sinx)] 21sinx1sinx
1
[lnsinxlnsinx]C 2
本结果也可以恒等变形为lnsecxtanxC。
【分析二】与中学里对三角函数的处理差不多,对不太熟悉的三角函数可以有两种处理方法,一是化为正弦、余弦进行处理,二是利用“万能变换”进行处理。“万能变换”是将三角函数化为正切函数的表达式,如本题中
xxx
1tan2sec2,于是 xxx
1tan21tan2222
2xsecdxdx ---- 2dxdx【解法三】 2cosx221tan2
21x2
ududtan u2dtan ---- sec
x21tan2211x
2()dtan ---- 分拆
21tan1tan221x1x
2(dtandtan)
21tan21tan22
1x1x
2[d(1tan)d(1tan)]
xx221tan1tan22
cos2
2[lntan
xx
ln1tan]C 22
x2
sin1
xcosx
cos2sin2
2
x
C 2ln
1tan
2
1tan
本结果也可以恒等变形为lnsecxtanxC。
dx
(P200例13) xlnxlnlnx。
dxdx1dlnx,于是dlnx,【分析一】易见,xxlnxlnlnxlnxlnlnx111
du,又再有dudlnu,从而得 可以换元成为
ulnuulnulnu
dx1dx
dlnx ----dlnx 【解法一】
xlnxlnlnxlnxlnlnxx
1
du ---- 换元 lnx=u ulnu
1dudlnu ----dlnu
lnuu
dv
lnlnuC ---- lnvC
v
【例22】求
u=lnx lnlnlnxC ---- 回代
1dx
和微分部份,lnlnxxlnx
111
dx,于而由于复合函数的中间变量为lnlnx,而dlnlnx
lnlnxlnxx
【分析二】被积函数可以分解为复合函数是有
【解法二】
dx1
xlnxlnlnxlnlnxdlnlnx
lnlnlnxC
9、联合换元
有时替换为简单变量的中间变量(x)由多个函数的和差、积、商构成,但换元的手法还是如上的口诀。
但有时须通过恒等变形才能获得f[(x)]d(x)的结构。 【例23】求
1sinx
(P200例14) xcosx。
1
和微分部份
xcosx
【分析】被积函数可以分解为复合函数
(1sinx)dx,可见复合函数
1
的中间变量为xcosx,而
xcosx
d(xcosx)(1sixnd,即得)x
【解】
1sinx1
xcosxxcosxd(xcosx)
lnxcosxC ----
【例24】求
dv
vlnvC
cos2x
(P200例15) (sinxcosx)3dx。
【分析】由于分子、分母的三角函数不同角,应先将分子的两倍角化为单角,即
cos2xcos2xsin2x 33
(sinxcosx)(sinxcosx)
(cosxsinx)(sinxcosx)
(sinxcosx)3
cosxsinx
2
(sinxcosx)
1
和微分部份
(sinxcosx)2
这时,被积函数可以分解为复合函数
(cosxsinx)dx,可见复合函数
12
(sinxcosx)的中间2
(sinxcosx)
变量为sinxcosx,且d(sinxcosx)(cosxsinx)dx,即得
【解】
cos2x2
(sinxcosx)d(sinxcosx) dx(sinxcosx)3
(sinxcosx)1C
(1x)ex
dx。【例25】求(P201例16)
1xex
【分析】被积函数可以分解为复合函数
1
和微分部份x
1xe
(1x)exdx,可见复合函数
1x
的中间变量为1xe,且d(1xex) x
1xe
(exxex)dx(1x)exdx,于是
1(1x)ex
d(1xex) dx【解】xx1xe1xe
lnxexC
3
【例26】求sinxdx。(P201例17)
【分析】明显可见sinx不可直接积分,故需要将sinxdx分解为复合函数与微分部份,考虑到sinxdxdcosx,而sinx1cosx,于是
32
【解】sinxdxsinxsinxdx
33
22
(1cos2x)dcosx
1
(cosxcos3x)C ---利用(1u2)du的积分
3
规律:当被积函数是sinx或cosx的奇数次幂时,分离出1次部分凑微分,而余下偶数次幂部分变换为余函数的表达式:
sin2k1xdxsin2kxsinxdx(1cos2x)kdcosx,可换元
为(1u2)kdu,展开(1u)即可积分。
类似地可得到cos
2k1
2k
x的积分方法。
25
【例27】求sinxcosxdx。(P201例18)
25222
【解】sinxcosxdxsinx(1sinx)dsinx
sin2x(1sin2x)2dsinx (sin2x2sin4xsin6x)dsinx
121
sin3xsin5xsin7xC 357
2
【例28】求cosxdx。(P201例19)
【分析】这里cosx的幂次是偶数而非奇数,不可如上三例同法处理。这里应该利用半角公式将其降次:cosx
2
【解】cosxdx
2
2
1cos2x
,从而可以积分 2
1cos2x2dx 1
(xcos2xdx) 211
(xcos2xd2x) 2211
xsin2xC 24
规律:当被积函数是sinx或cosx的偶数次幂时,利用半角公式降次后再设法积分。
4
【例29】求sinxdx。(P202例20)
4
【分析】sinx(sinx)(
22
1cos2x2
) 2
1
(12cos2xcos22x) 41111cos4xcos2x 4242311
cos2xcos4x, 828
于是得
4
【解】sinxdx(
311
cos2xcos4x)dx 828
311
xsin2xsin4xC 8432
【例30】求cos3xcos2xdx。(P202例21)
【分析】只要将两余弦的积拆开即可以积分,故须应用积化和差公式
1
coscos[cos()cos()]
21
【解】cos3xcos2xdx(cos5xcosx)dx
211
(sin5xsinx)C 25