2016年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
2016年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
（考试时间：2016年7月2日上午9:30-11:30）
注意：1. 本试卷共12小题，满分150分；2. 请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；
3.书写不要超过装订线； 4.不得使用计算器.
一．填空题（每题8分，共64分）
1. 设sin x +cos x =133，则sin x +cos x =2
20162. 设i 是虚数单位，化简(i +1) +(i -1) 2016=3. 已知等差数列a 1, a 2, , a 1000的前100项之和为100，最后100项之和为1000， 则a 14. 集合{[x ]+[2x ]+[3x ]|x ∈R } {1,2, ,100}共有
个元素，其中[x ]表示不超过x 的最大整数.
5. 若关于x 的方程x =ae 恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是 .
6. 在如图所示的单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设O 是正方形ABCD 的中心， 点M , N 分别在棱A 1M =1D 1, CC 1上，A 2x 12, CN =，则四面体OMNB 1的体积等于23
7. 已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点，P 经过E 的两个焦点，
并且P 与E 恰有三个交点，则E 的离心率等于 .
8. 等可能地随机产生一个正整数x ∈{1,2, ,2016}，则x 在二进
制下的各位数字之和不超过8的概率等于 .
二．解答题（第9-10题，每题21分，第11-12题每题22分，共86分）
9. 已知数列{a n }满足
22a n -1-3a n -1-9 a 0=1, a 2=5, a n =, n ? 2. 2a n -2
用数学归纳法证明：a n =2n +1-3.
10. ∆ABC 的内切圆与三边相切于D , E , F . 证明：∆ABC 与∆DEF 相似当且仅当∆ABC 是正三角形.
11. 证明：对任意实数a , b , c 都有
≥并求等号成立的充分必要条件.
12. 求满足1≤m -n ≤mn 的所有正整数对(m , n ) .
n m