数学开放式教学案例
中学数学课堂如何开展开放式教学
-----以点到直线距离公式教学为例
案例
点到直线的距离公式是解析几何的一个重要公式，已往的教学中不少教师采用教师在黑板上讲解推导过程得出公式，然后重在运用公式。事实上，本课题的内涵丰富，涉及到许多数学知识，且具有开放性和可演算的特点，是开展数学开放式教学的好素材，开放程度可依学生的数学素养而定，它留给学生的空间很大，极具启发性。
【课堂实录】
师：今天我们共同探索点到直线的距离公式（幻灯片出示问题）。 问题：已知点P（x0,y0）是直线l：Ax + By + C = 0外一点，求点P
到直线l的距离？（问题提在学生的最近发展区，让学生能亲近问题，同时解决问题又需努力）
师：请大家认真思考，仔细推算，不拘一格地解决这个问题！（只有在民主和谐的课堂氛围中，学生的思维才能活跃起来，思维活起来后就不时的迸出创新的火花，同时要留给学生充足的思考时空及创新的机会）
生1：（反应快的）我的思路是先由方程思想求出过点P向直线l作垂线时垂足Q的坐标，再根据两点间的距离公式求|PQ|（得意地坐下）。
师：很好，这种求法思路自然简单，你算出了最后的公式吗？（解题
思路得出是解题成功的一半，但解析几何的题目有时思路正确，但不一定能算出最终结果，其中最主要的是过运算关，同时教学中也要努力克服学生眼高手低的不良现象。）
生1：（坐在座位的他摇摇头）没有！
生2：算起来太麻烦了，我算了许久都没有得到最后结果！
师：大家都有来思考一下这种思路，让这种思路走出困境（教师是学生思维保持的维护者，同时也是学生学习的合作者与引导者）。
生3：当A≠0时，设点Q(m,n)，由Q点在直线l上和直线PQ⊥直线l得： Am + Bn + C = 0 ①
A(n－y0)－B(m－x0) = 0 ②
注意到P、Q两点间的距离(m－x0)2 + (n－y0)2 ，发现垂足Q的坐标没有必要计算出来，只需计算出(n－y0)和(m－x0)即可，但是①式中没有这两个式子，所以„„
生2：有了，从①式中构造出一个A(m－x0) + B(n－y0) = －(Ax0 + By0 + C)，由②式变形得B(m－x0)－A(n－y0)= 0，将(m－x0)与(n
－A－y0)看成整体，用加减消元即得m－x0 = (Ax0 + By0 + C)； A2+B2
－Bn－y0 = A2+B2
|Ax0 + By0 + C|将其代入得d = |PQ| = ；当A = 0时，可以验证A2 + B2
公式仍然成立。
师：太妙了，以上运算巧妙地避开了计算垂足Q点的坐标而直达目的，
运算过程启迪我们在进行运算时目标意识要强一些，这种整体代换思想在解析几何中是一种重要的思想方法。
生4：我还有一种求法：利用等积法求|PQ| 。
师：我们一起来分享他的成果（将生4的解答放在视频展示台上投影） 当A、B都不为0时，过点P分别作x轴、y轴平行线PR、PS交直线l于R(xR,y0)、S(x0,ys)两点，如图1，由R、S在直线l上得AxR +
－By0－CBy0 + C = 0 ，Ax0 + ByS + C = 0 ，从而解得 ，A
－Ax0－CyS = B
Ax0 + By0 + C∴ |PR| = |x0－| AAx0 + By0 + C|PS| = |y0－
B
A2 + B2|SR| = PR2 + PS2 = |Ax0 + By0 + C| |AB|
从三角面积公式可知d·|SR| = |PR|·|PS| ，所以d = |Ax0 + By0 + C|
A + B 22
当A = 0或B = 0时，可验证公式仍然成立。
师：请你讲一下是如何找到这个思路的？（旨在暴露学生的思维过程） 生4：类比联想到两点间距离公式的推导方法，那里是用构造直角三角形求长度，这里也是类似的。
师：善用类比，妙构直角三角形，化繁为简，是一种极好的求法，课本中推导两点间距离公式的方法是一个很好的启示，因此要重视课本的学习与运用。
生5：我利用直线的方向向量，同时受前面两位同学的启发，得到如
下求法。（教师要努力创造机会让学生交流与合作，在交流与合作中学习，在交流与合作中思维互相启迪，互相碰撞，不时地产生创新的火花。） P⊥直线lQ(m,n)，则直线l 的一个方向向量为v = (－B,A)，PQ⊥v，PQ = (m－x0,n－y0)，由PQ⊥v和Q点在直线l上得
－y0)－B(m－x0) = 0
联想到所求距离公式将方程组变形为：
－y0) + A(m－x0)= －(Ax0 + By0 + C)
A(n－y0)－B(m－x0) = 0
－A将n－y0和m－x0视为整体，求得 m－x0 = (Ax0 + By0 + C) A2+B2
－Bn－y0 = A2+B2
|Ax0 + By0 + C|将其代入得d = |PQ| = A2 + B2
师：用直线与向量的关系来解决是一个不错的想法，有效地将向量与解析几何结合。
生6：受学生5的启发，我利用直线的法向量。
由已知可得直线l的法向量n = (A,B)
C当B≠0时，直线l与y轴交点M(0,―，则MP = (x0,y0 B
C|n·MP|+ )。根据向量数量积的几何意义知距离d = = B|n|
|Ax0 + By0 + C|A2 + B2
当B = 0时，容易验证公式仍成立。
师：运用直线法向量及数量积求距离，推导过程十分简洁，充分发挥了向量的几何作用，这种方法我们以后还会遇到。（说明：在学完直线方程后，我们介绍了直线的点向式方程）
生7：我用距离的定义，即点P到直线l的距离是P点到直线l上任意一点R的距离|PR|的最小值，设R(x,y)
AC当B≠0时，y = ――则 |PR|2 = (x0－x)2 + (y0－y)2 = (x0BB
ACA2AC－x)2 + (y0 + )x2 + (y0 + )－x0]x + x02 BBB2BB
C+ (y0 + B
上式可看成一个关于x的二次函数，其最小值为
A2CAC4(1 + －(y0 + )－x0]2B2BBB|PR|2min = A2)B2A2ACCACx02 + 2 )x0 + (y0 + [x0 + (y0 + B2BBBBB= = A2A2B2B2(Ax0 + By0 + C)2= A2 + B2
|Ax0 + By0 + C|∴ 当B = 0时，容易验证公式仍然成立。
师：返蹼归真，虽然运算复杂了一些，但思路简单自然，将几何中的距离问题转化为代数问题，体现了数形结合的思想，这也是解析几何一种重要的思想方法。
AC生8：学生7的运算用换元要简单些，令t = －，s = （具BB
体计算略）
生9：生1提出求点坐标我推导出来了！
A(n－y0)－B(m－x0) = 0 －Bm + An－Ay0 + Bx0 = 0
B2x0－ABy0 + ACA2y0－ABx0－BC解得m = ，n = 代入两点的距离A2+B2A2+B2
公式得
|Ax0 + By0 + C|d = A2 + B2
师：坚持就是胜利，敢于挑战，了不起！
小结：本节课由同学们的积极参与，相互交流与合作，获得了推导点到直线距离公式的多种方法，这是大家创新的具体表现，也是集体智慧的结晶！
问题：1：数学课堂为何要开展开放式教学？
2：数学课堂如何设计开放式教学？
案例分析
突出探索与开放是新课程标准的重点之一，因而我们应尽可能的将课堂设计为探索型、开放的课堂，努力让例题、习题尽可能的设计
为开放题型，让学生的思维、联想等开阔，让数学课堂成为学生思维翱翔的“天空”，智慧游弋的“海洋”。
现在数学开放题已经进入了中考和高考，而且这是今后发展的一个趋势。因而我们的平时教学不能仅仅满足于开放题的分析和讲解，而应更进一步将教材中的具有典型性的例题和习题，甚至是公式、性质改造成开放性问题，让学生在这样的学习中不自觉的学会处理开放性问题。
在数学课堂教学及教材编写中对于数学公式、性质、定理常以封闭式出现，如果像点到直线的距离公式一样将封闭总是改变为开放性问题，打破旧的教学模式，隐去结论，寻求多种解法，多个思维角度。通过引导学生设计解决问题的方案和思路，让学生主动探究，亲身体验问题。旨在解决问题的过程，突出问题解决的发散性。这也是深化课程改革的一个重要方面，体现了知识的“网络化”，典型题型的“变化”，思路方法的“优化”，引导问题解决的“内化”，思想方法的“点化”。
在教学中我们不应追求任何一种强制的统一，每个学生在学习过程中都应具有一定的自主性，允许学生在学习的过程中存在一定的“路径差”，有的学生善于运算推导，如学生7；有的善于提出分析路径，如学生1；有的追求新意，如学生6；有的善于类比，如学生4。
应给不同意见的同学以充分表达机会，包括让其他学生对所说的不同看法能有一个理解评价的机会，即在教学中应允许学生在学习过
程中表现出一定的“时间差”。同时，教师还应当积极地去拓宽学生的“学习空间”，给学生留下充分的自由度，让学生因时而相互讨论和独立思考，或相互启发，使学生在辩论中不断完善解决问题。 “条条道路通罗马”是方法开放的真实写照，每个学生各有不同的生活背景和个性特征，因而面对同一个开放性问题，不同的学生可能会有不同的解法。构建方法开放性问题旨在使学生思维发散力的发展，促使学生用已有的知识背景，通过教师的引导或学生之间的互动、交流完成学习的全过程，从而培养学生思维的灵活性和批判性，培养学生的合作能力，提倡了独创精神。
与此同时，教师应积极引导学生对做出多种不同解答进一步的比较和评价，通过比较和评价去发现各种不同解法之间可能存在的逻辑联系，对于各种解答的准确性和有效性做出判断并加以总结。