测量平差期末考试公式总结

测量平差期末复习资料

1. 将静止的海水面向整个陆地延伸，用所形成的封闭曲面代替地球表面，形成的重力等位

面，这个曲面称为大地水准面。其特点是水准面上任意一点的铅垂线(重力作用线) 都垂直于该点的曲面。

2. 6°带中央子午线经度N=Ｌ=6N-3, 3°带中央子午线经度Ｌ=3n。 3. 高程系统:确定该点沿铅垂方向到某基准面的距离。绝对高程（海拔）：指某点沿铅垂线

方向到大地水准面的距离，用Ｈ表示。相对高程：某点距假定水准面的铅垂距离。高差：n ⨯n

地面上两点间的高程之差。 4. 地形 ：

a, 地物:地面上固定性物体，如河流、房屋、道路、湖泊等； b. 地貌:地面的高低起伏的形态，如山岭、谷地和陡崖等。 5. 线性代数补充知识

1） 由m ⨯n 个数有次序地排列成m 行n 列的表叫矩阵通常用一个大写字母表示， 如：

⎡a 11⎢a 21

A =⎢

m ⨯n ⎢

⎢⎣a m 1

a 12a 22 a m 2

a 1n ⎤ a 2n ⎥⎥ ⎥

⎥

a mn ⎦

2) 若m=n，即行数与列数相同，称A 为方阵。元素a11、a22……ann 称为对角

元素。

3) 若一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O 表示。

4) 对于 的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为对角矩阵。

如：

n ⨯n

⎡a 11⎢0A =⎢m ⨯n ⎢

⎢⎣00⎤

a 22 0⎥⎥=diag (a

11

⎥

⎥

0 a mn ⎦

a 22 a nn )

5) 对于 对角阵，若a11=a22=……=ann =1，称为单位阵，一般用E 、I 表示。 6）若aij=aji，则称A 为对称矩阵.

矩阵的基本运算:

1）若具有相同行列数的两矩阵各对应元素相同，则： A =B

2）具有相同行列数的两矩阵A 、B 相加减，其行列数与A 、B 相同，其元素等于A 、

B 对应元素之和、差。且具有可交换性与可结合性。

3）设A 为m*s的矩阵，B 为s*n的矩阵, 则A 、B 相乘才有意义，C=AB，C 的阶数为

m*n。O A=AO =O ，IA=AI=A，A （B+C）=AB+AC，ABC=A（BC ）

矩阵的转置:

对于任意矩阵Cmn:

⎡c 11c 12 c 1n ⎤

⎢c ⎥c c 21222n ⎥C =⎢m ⨯n ⎢ ⎥

⎢⎥

c c c mn ⎦⎣m 1m 2

将其行列互换，得到一个nm 阶矩阵，称为C 的转置。即：

矩阵转置的性质：

⎡c 11c 21⎢c c 22T

C =⎢12n ⨯m ⎢

⎢

⎣c 1n c 2n c n 1⎤ c n 2⎥⎥ ⎥

⎥

c nm ⎦

(1) C =D T , 则：D =C T (4)(kA ) T =kA T

(2)(A T ) T =A (3)(A +B ) T =A T +B T

(5)(AB ) T =B T A T

矩阵的逆的性质：

(1)(AB ) -1=B -1A -1(2)(A -1) -1=A (3)(I ) -1=I

(4)(A T ) -1=(A -1) T

(5) 对称矩阵的逆仍为对称矩阵。

(6) 对角矩阵的逆仍为对角矩阵

矩阵求逆方法：

1）伴随矩阵法：

设Aij 为A 的第i 行j 列元素aij 的代数余子式，则由n*n个代数余子式构成

的矩阵为A 的伴随矩阵的转置矩阵A*称为A 的伴随矩阵。

⎡A 11A 21 A n 1⎤

⎢A ⎥A A 1*1222n 2* ⎥, A =⎢A -1=A ⎢⎥ A

⎢⎥

⎣A 1n A 2n A nn ⎦

6. 数学期望 ∞∞

p i 连续型： E (x ) =xf (x ) dx 离散型 ：E ( x ) = x i i =1_∞7. 方差

D (x ) =E {[x -E (x )]2}∞

∞2

D (x ) =[x -E (x )]f (x ) dx 2

x i - E 离散型：D ( x ) = [ ( x )] p i 连续型： -∞i =1

8. 协方差：σ xy ={[X -E (X )][Y -E (Y )]}

σxy

ρ=9. 相关系数：

σx σy

~~

10. 真值与真误差：表示真值 i L 表示真值 L 为观测值 ∆i =L i - L

O

11. 三角形内角和的真误差： ∆i =180-(L 1+L 2+L 3) i

12. 精度的定义：精度就是指误差分布的密集或离散的程度。

∑

⎰

∑

⎰

13. 用一些数字特征来说明误差分布的密集或离散的程度，称它们为衡量精度的指标。 14. 方差和中误差 ∆2

-

误差Δ的概率密度函数为： f (∆) =1e 2σ2

+∞

方差定义：σ 2 = D (∆) =E (∆2) =σ=E (∆2) ∆2f (∆) d ∆

-∞

方差和中误差的估值： [∆∆]=∆2+∆2+ +∆2

12n

15. 在一定的观测条件下，一组独立偶然误差绝对值的数学期望称为平均误差，以 θ 表示 。

∆θ=lim

n →∞n

∆16. 一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值 限

，并称为极限误差。 ∆ 限=3σ

17 .相对中误差，是中误差与观测值之比，在测量中一般将分子化为1，用 1/N 表示。 18. 精度：是指误差分布的密集或离散的程度，也就是观测值与数学期望的接近程度，是衡

量偶然误差大小程度的指标。

2⎛σx 19. 随机向量X 的自协方差阵是： σx 1x 2 σx 1x n ⎫ 1⎪2 T T σx 2x 1σx 2 σx 2x n ⎪D XX =E [X -E (X ) ][X -E (X ) ]=E ∆X ∆X = ⎪ n ⨯n ⎪ 2 σx x σx x σx ⎪

n 2n ⎭⎝n 1

随机向量X 和Y 的互协方差阵定义为:

⎛σx 1y 1σx 1y 2 σx 1y m ⎫

⎪

T T σx 2y 1σx 2y 2 σx 2y m ⎪D XY =E [X -E (X ) ][Y -E (Y ) ]=E ∆X ∆Y = n ⨯m ⎪

⎪ σx y σx y σx y ⎪

n 2n m ⎭⎝n 1

20. 准确度（偏差）：

~E 是指观测值X(随机变量）的真值X 与其数学期望 ( X ) 的接近程度，是衡量系统误

差大小程度的指标。 ~

ε=X -E (X )

21. 精确度

是精度和准确度的合成，是指观测值与真值的接近程度，是衡量偶然误差和系统误差联合影响的大小程度。衡量精确度的指标是均方误差，设观测值X ，它的均方误差定义为

~T ~~2

MSE (X ) =E (X -X ) (X -X ) MSE (X ) =E (X -X )

~22

=E (X -E (X ) )+E E (X ) -X 2

=σX +ε2

2T

22. 协方差传播律: D ZZ =σZ =KD XX K

23. S 公里观测高差的方差和中误差分别为: 22

σh =S ⋅σkm

24. 设L1,L2, …,Ln 为一组等精度的独立观测值(方差均为σ2) 应用协方差传播公式得

:

⎰

[]{}[]

{}[]

[[

]

[]

][()]

25.

26.

三角高程测量的中误差与三角点的距离成正比。

.

27. 权的定义 :

表示各观测值方差之间比例关系的数字特征称之为权。

2

1， 设有观测值 L i (i = 2，

， n ) ,

差为 σ i ，选定任一常

L i 数σ (i =1，0 ，定义观测值 2， ，n ) 28. 单位权中误差:

权等于1的观测值称为单位权观测值。 权等于1的观测值的方差称为单位权方差。

2σ 0即：

是单位权方差，也称为方差因子。权等于1的观测值的中误差称为单位

σ权中误差。即： 0 是单位权中误差;

权的单位:同类观测值： 权是无量纲，无单位；不同类观测值：权是有单位的。

29. 常用的定权方法: （1）水准测量定权

1）用测站数定权（用于山地） 22

=n

已知同精度观测N i 个测站的水准高差h i 的方差为： h 取C 个测站的

22

= C

按定权公式可得用测站数定权的

公式

2） 用路线长度定权（用于平地）

22= S σ已知，每

公里观测高差的方差为 σ h i i km

取C 路线长度定权的公式

上式说明，当每公里观测高差等精度时，水准测量高差的权与距离成反比。

（2）等精度观测算术平均值的权 已知一组等精度的独立观测值(方差均为σ2) 若取

C 即取术平均值的权

上式说明，算术平均值的权与观测次数成正比。 （3）. 距离量测定权 22

σσ

σσ

σ

S

=S σkm

12

=σi 2/σ030. 协因数阵：协因数，即观测值的权倒数，其表达式为： Q ii =P i

2

两个随机变量之间的互协因数表达式为： ij =σij /σ0Q

任一随机向量的协因数阵与协方差阵之间的关系式为： XX = σ 0 2Q xx 即任一D

随机向量的协方差阵恒等于它的协因数阵与单位权方差因子的乘积 如果有观测值 X 和Y ， 若当 ⎛ X ⎫ 则Z 的协因数阵Qzz 为：

Z = Y ⎪⎪ ⎛Q XX Q XY ⎫⎝⎭ ⎪Q =ZZ Q ⎪

⎝YX Q YY ⎭

-1

31. 权阵：观测值向量X 的权阵是其协因数阵的逆阵 Q XX =P XX

2-1

观测值向量X 的权阵与其协方差阵之间的关系式为 D XX =σ0P XX 2

⎡⎤⎡1σ⎤1 0 00 0⎥⎢2⎥⎢

p 1 ⎢σ0⎥⎢⎥2

1σ⎢⎥2 ⎢01 0⎥0 02⎢⎥Q ll =2D LL ==⎢⎥, p 2σ2 σ0⎢⎥⎢

⎥ ⎢⎥⎢21⎥σn

⎢⎥0 ⎢0⎥ 00 2p ⎢σ0⎥n ⎥⎣⎦⎣⎦⎢

32. 协因数传播律

Q ZZ =kQ XX k T Q YY =FQ XX F T Q ZY =kQ XX F T 33. 由双观测值之差求单位权中误差的公式为 σ=lim pdd 0

n →∞2n

当n 有限时，其估值为σ ˆ=±pdd 0

2n

1 按权的定义，可求得各观测值 L i ' 和 L i '' 的中误差为 σ'=σ'=σL 1L 20

P i

34. 对于线性函数 Z = L 1 + k 2 L 2 n L n 它们的综合误差之间的关系为 k 1+ + k

222 Ω Z = k 1 Ω k 2 Ω 2 + + k n Ω n 则Z 的综合误差方差为 +D ZZ =E Ω2+[k ε]1 Z =k σ

均方误差的计算式：

2222 D Z Z =σ2+[ε]=σ12+σ2+ +σn +(ε1+ε2+ +εn )

设单位长度距离丈量的方差为σ2 ， 则丈量距离S i 的方差为 取丈量长度C 的方差为单位权方差， 即取

2 = C 2 则按定权公式得

0km

σσ

()[]

[]

35. （条件平差r = n - t 观测元素的个数用t 表示，r 个这种函数关系式，观测个数n ； 间接平差r+u=r+t=n t 个独立量，n 个这种函数关系式r 多余观测个数；

附有参数平差c=r+u n 个观测，u 个独立量，c 个条件方程; 附有条件的间接平差：c=r+u=r+t+s=n+s s 个函数关系式） 条件平差的函数模型： A ∆+W =0

~ 间接平差的函数模型： ∆=B X -l

n ⨯1n ⨯t t ⨯1n ⨯1

~ 附有参数的条件平差的函数模型： A ∆+B X +W =0c ⨯n n ⨯1c ⨯u u ⨯1c ⨯1

间接平差的函数模型：

~ ∆ = B X - l C X ~ + W = 0 （限制条件方程）

x u ⨯1s ⨯u n ⨯1n ⨯u u ⨯1n ⨯1s ⨯1

四种平差模型线性化后的形式 ： 条件平差 A ∆+W =0

附有参数的条件平差 A ∆+B ~x +W =0

c ⨯n n ⨯1c ⨯u u ⨯1c ⨯1

∆=B ~x -l 间接平差法 n ⨯1n ⨯t t ⨯1n ⨯1

~ 附有条件的间接平差 ∆=B ~x -l C x +W =0s ⨯u u ⨯1s ⨯1x n ⨯1n ⨯t t ⨯1n ⨯1

22-1

36. 随机模型： D =σ0Q =σ0P

37. 参数估计及其最优性质：1. 无偏性： 1n 11

E () =E (X ) ={E (X ) +E (X ) +........ +E (X )}=n . E (X ) =E (X ) 12n n i n n i =1

ˆ⎫⎪ 2. 一致性： E (θ) =0

ˆ-θ) 2]=0⎬ lim E [(θ⎪n →∞⎭

ˆ )

38. 最小二乘原理：

∧

设V 是∆的估值，则V =B X -L , 有：V T PV =最小

39. 条件平差的数学模型为 函数模型： AV +W =0

22

随机模型： D =σ0Q =σ0P -1

n , n n , n n , n

条件平差计算步骤

1．根据平差问题的具体情况，列出条件方程式，条件方程的个数等于多余观测数r 。

2．根据条件式的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式，法方程的个数等于多余观测r 。 3．解算法方程，求出联系数K 值。

4．将K 代入改正数方程，求出V 值，并求出平差值=L+V。 5．为了检查平差计算的正确性，常用平差值重新列出平差值条件方程，看其是否满足方程。

∑

40. 水准网中必要观测数t 的确定

p -网点数⎧ 有已知点：t 等于待定点的个数 t =p -1-q ⎨

⎩q -多余的独立起算数据 无已知点：t 等于总点数减一 r =n -t 水准网中条件方程的列立方法 列条件方程的原则:

1、足数；2、独立；3、最简 （1）先列附合条件，再列闭合条件

（2）附合条件按测段少的路线列立，附合条件的个数等于已知点的个数减一 (3)闭合条件按小环列立（保证最简），一个水准网中有多少个小环，就列多少个闭合条件 41. 测角网中必要观测数t 的确定

1）网中有2个或2个以上已知点时 t=2p(P为待定点个数） 2）网中没有已知点或已知点不足时 t=2(k-2)(k为总点数） p -网点数⎧

t =2p -4-q ⎨

⎩q -多余的独立起算数据

r =n -t

42. 测角网的条件类型

ˆ+c 1) 三角形内角和条件或称图形条件 a V a i +V b i +V c 3+W i =0ˆi +b ˆi -180o =0i

ˆ1+c ˆ2+c ˆ3-360o =0V c 1+V c 2+V c 3+W 4=0 2) 圆周条件或称水平条件 c

ˆ3ˆ1sin a ˆ2sin a 3) 极条件或称边长条件 sin a

⋅⋅=1 sin b 1sin b 2sin b 3

列立规律：

列出从极点P 出发的各条边之比，把边长比换为正弦的比，即可列出 cot a 1v a 1-cot b 1v b 1+cot a 2v a 2-cot b 2v b 2+cot a 3v a 3-cot b 3v b 3+w 极=0

极条件或称边长条件

取一顶点（D ）为极点，从极点出发的各条边之比等于1。把边长比换为角度正弦比

DB ⋅DA ⋅DC

-1=0

DA ⋅DC ⋅DB

ˆ+L ˆ) sin L ˆsin L ˆsin(L 7824

-1=0

sin L 1sin(L 3+L 4) sin L 7ˆsin L ˆsin(L ˆ+L ˆ) sin L 2478

-1=0

sin L sin(L +L ) sin L

1

3

4

7

-ctgL 1v 1+ctgL 2v 2-ctg (L 3+L 4) v 3+(ctgL 4-ctg (L 3+L 4)) v 4 +(ctg (L 7+L 8) -ctgL 7) v 7+ctg (L 7+L 8) v 8-w =0

⎛sin L 1sin(L 3+L 4) sin L 7⎫

w =-ρ'' 1-sin L sin L sin(L +L ) ⎪⎪

2478⎭⎝

方位角条件（n=12 t=4 r=8 哪8个？) 条件方程：

ˆ=-L ˆ+L ˆ+L ˆ-L ˆ±3⋅180 ˆT EF AB 36912 EF T EF - = 0

ˆ - L ˆ ˆ ˆ 3+L 6+L 9-L 12+AB -EF ±3⋅180=0

-v 3+v 6+v 9-v 12+w T =0

常数项： w T =(-L 3+L 6+L 9-L 12+A B -E F ±3⋅180 ) 边长条件（边长条件：从一条已知边推算另一已知边，推算值等于已知值）

ˆ-=0ˆsin L ˆsin L ˆsin L ˆ 条件方程： S sin L EF EF 14710ˆS EF =AB

sin L sin L sin L sin L

⎛E F sin L 2sin L 5sin L 8sin L 11⎫

常数项： w S = ρ ''

1-sin L sin L sin L sin L ⎪⎪

A B 14710⎭⎝

坐标条件

ˆE -E =0 y

ˆE -E =0x

ˆE =B +∆x ˆB C +∆x ˆCE x

ˆcos T ˆcos T ˆ+S ˆ=B +S B C B C CE CE

ˆsin L ˆsin L ˆsin L ˆˆ sin L sin L 147121ˆˆS =S =BC AB CE AB sin L sin L sin L sin L sin L 225811

ˆ=-L ˆ±180 T BC AB 3

ˆ=-L ˆ+L ˆ+L ˆ+L ˆ±2⋅180 T CE AB 36910

将上述公式代入XE 式，用泰勒公式线性化得：

(x E -x B )(ctgL 1v 1-ctgL 2v 2) +(x E -x C )(ctgL 4v 4-ctgL 5v 5)

+(x E -x C )(ctgL 7v 7-ctgL 8v 8) +(x E -x C )(ctgL 12v 12-ctgL 11v 11)

-(y E -y B )(-v 3) -(y E -y C )(+v 6) -(y E -y C )(+v 9) -(y E -y C )(+v 10) -w x =0

E E

w x ==-206. 265(x E -E )

1000

同理得： (y E -y B )(ctgL 1v 1-ctgL 2v 2) +(y E -y C )(ctgL 4v 4-ctgL 5v 5) +(y E -y C )(ctgL 7v 7-ctgL 8v 8) +(y E -y C )(ctgL 12v 12-ctgL 11v 11)

-(x E -x B )(-v 3) -(x E -x C )(+v 6) -(x E -x C )(+v 9) -(x E -x C )(+v 10)

-w y =0

w y =-206. 265(y E -E )

-ρ''(x -)