空间向量及其运算测试题
高二选修(2—1)第三章3.1空间向量及其运算测试 一、选择题
12
x 的准线方程是 ( ) 811
A. x = B. y =2 C. y = D. y =-2
3232
1 抛物线y =-
2.已知两点F 1(-1,0) 、F 2(1,0) ,且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项,则动点P 的轨迹
方程是 ( )
x 2y 2
+=1 A .
169x 2y 2
+=1 B .
1612x 2y 2
+=1 C .43x 2y 2
+=1 D .34
1.已知向量a =(3,-2,1) ,b =(-2,4,0) ,则4a +2b 等于 ( ) A .(16,0,4)
B .(8,-16,4) C .(8,16,4) D .(8,0,4)
→→→→
2.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,若CA =a ,CB =b ,CC 1=c ,则A 1B = ( )
A .a +b -c B .a -b +c C .-a +b +c D .-a +b -c
4.在下列条件中,使M 与A 、B 、C 一定共面的是 ( ) →→→→ A. OM =2OA -OB -OC →→→
C. MA +MB +MC =0
→1→1→1→B. OM =++OC
532→→→→
D. OM +OA +OB +OC =0
→→→→
6.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,给出以下向量表达式:①(A 1D 1-A 1A ) -AB ;②(BC + →→→→→→→→ BB 1) -D 1C 1; ③(AD -AB ) -2DD 1;④(B 1D 1+A 1A ) +DD 1.
→
其中能够化简为向量BD 1的是 ( ) A .①② B .②③ C .③④ D .①④
7.已知向量a =(1,-1,1) ,b =(-1,2,1) ,且k a -b 与a -3b 互相垂直,则k 的值是 1320
A .1 B . C . D .-
559
8.若a =(2,-3,1) ,b =(2,0,3),c =(0,2,2),a ·(b +c ) 的值为 ( )
A .4 B .15 C .7 D .3
→→→→→→→→
9.已知四边形ABCD 满足:AB ·BC >0,BC ·CD >0,CD ·DA >0,DA ·AB >0,则该四边形 为 ( )
A .平行四边形 B .梯形 C .长方形 D .空间四边形
11. 如图所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为A 1C 1与B 1D 1→→→→
的交点.若AB =a , AD =b ,AA 1=c ,则下列向量中与BM 相等的向量是( ) 11
A .-+b +c
22
111111
B +b +c C .-a -+c D .a -+c
222222
11.已知A ,B 为双曲线E 的左,右顶点,点M 在E 上,ΔABM 为等腰三角形,且顶角为
120°,则E 的离心率为
A
B .2
C
D
x 2y 2M 是椭圆+=1上的点,F 1、F 2是椭圆的两个焦点,∠F 1MF 2=60 ,则∆F 1MF 2
259
的面积等于 .
已知双曲线过点, 且渐近线方程为y =±
(1
x , 则该双曲线的标准方程为 2
14.已知向量a =(-1,2,3) ,b =(1,1,1),则向量a 在b 方向上的投影为________. 16.如果三点A (1,5,-2) ,B (2,4,1),C (a, 3,b +2) 共线,那么a -b =________. 19.已知空间三点A (0,2,3),B (-2,1,6) ,C (1,-1,5) .
→→
(1)求以向量AB ,AC 为一组邻边的平行四边形的面积S ;
→→
(2)若向量a 分别与向量AB ,AC 垂直,且|a |=3,求向量a 的坐标.
→→
21. 已知空间三点A (-2,0,2) ,B (-1,1,2) ,C (-3,0,4) ,设a =AB ,b =AC .
(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值;
(2)若向量k a +b 与k a -2b 互相垂直,求k 的值.
(本小题満分12分) 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0),右顶点为(, 0) 。 (1) 求双曲线C 的方程;(2) 若直线l :y =kx +2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ,且⋅>2(其中O 为原点),求k 的取值范围。
1.D 提示:4+2=4(3,-2,1) +2(-2,4,0) =(12,-8,4) +(-4,8,0) =(8,0,4). →→→
2. D 提示: A 1B =A 1A +AB =-c +(b -a ) =-a +b -c .
1
3\ D 提示:向量的夹角是两个向量始点放在一起时所成的角,经检验只有 =.
2→→→→→→
4. C 提示:MA +MB +MC =0,即MA =-(MB +MC ) ,所以M 与A 、B 、C 共面. 5\ 解析 C ∵a +b ,a -b 分别与a 、b 、2a 共面,∴它们分别与a +b ,a -b 均不 能构成一组基底.
→→→→→→→→→→→
6. A 提示:①(A 1D 1-A 1A ) -AB =AD 1-AB =BD 1;②(BC +BB 1) -D 1C 1=BC 1-D 1C 1
=
→→→→→→→→→→→→
BD 1;③(AD -AB ) -2DD 1=BD -2DD 1≠BD 1;④(B 1D 1+A 1A ) +DD 1=B 1D +DD 1 →→
=B 1D 1≠BD 1,故选A.
7. D 提示:∵k a -b =(k +1,-k -2,k -1) ,a -3b =(4,-7,-2) ,(k a -b ) ⊥(a -3b ) ,
20
∴4(k +1) -7(-k -2) -2(k -1) =0,∴k =-98\解析 D ∵b +c =(2,2,5),∴a ·(b +c ) =(2,-3,1)·(2,2,5)=3.
9. 解析 D 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角,但在平面四边形中任一四边 形的外角和是360°,这与已知条件矛盾,所以该四边形是一个空间四边形. →→→→21→→→1→→→→
10. 解析 A OG 1=OA +AG 1=OA +×(AB +AC ) =OA +[(OB -OA ) +(OC -OA )]
3231→→→→3→1→→→
=(OA +OB +OC ) ,由OG =3GG 1知,OG =1=(OA +OB +OC ) ,
344
111 ∴(x ,y ,z ) =⎛⎝444.
→→→→→→
111
11\ A 解析 由图形知:BM =BB 1+B 1M =AA 1+AD -AB ) =-++c .
22212. B 解析 ①中a 与b 所在的直线也有可能重合,故①是假命题;②中当a =0,b ≠0 时,找不到实数λ,使b =λa ,故②是假命题;可以证明③中A ,B ,C ,M 四点共 →→→→→→→→
11111
面,OA +OC =OM ,等式两边同时加上MO ,则MO +OA ) MO +
33333→→→→→→→→→→→→1
OB ) (MO +OC ) =0,即MA +MB +MC =0,MA =-MB -MC ,则MA 与MB ,MC
3 共面,又M 是三个有向线段的公共点,故A ,B ,C ,M 四点共面,所以M 是△ABC 的重心,所以点M 在平面ABC 上,且在△ABC 的内部,故③是真命题.
→→→→→→
13. 解析 AB =(3,4,5),AC =(1,2,2),AD =(9,14,16),设AD =xAB +yAC . 即(9,14,16)
⎧⎪x =2,
=(3x +y, 4x +2y, 5x +2y ) ,∴⎨从而A 、B 、C 、D 四点共面.
⎪y =3,⎩
14.
-1+2+3343
解析 向量a 在b 方向上的投影为:|a |·cos a ,b =14×. 33143
→→→→→→→→→→→→
15. 3 解析 因为OA +AG =OG ,OB +BG =OG ,OC +CG =OG ,且AG +BG +CG =0, →→→→
所以OA +OB +OC =3OG .
→→
16. 1 解析:AB =(1,-1,3) ,BC =(a -2,-1,b +1) ,若使A 、B 、C 三点共线,须满 →→
足BC =λAB ,即(a -2,-1,b +1) =λ(1,-1,3) ,所以
a -2=λ,⎧⎪
⎨-1=-λ,解得a =3,b =2,所以a -b =1.
⎪⎩b +1=3λ,→→→→
1
17. 解析 (1)EF ·BA BD ·BA
2
→→→→111
|BD ||BA |cos〈BD ,BA 〉=cos 60°.
224→→→→
111
(2)EF ·BD =·BD =cos 0°=.
222
→→→→→→→→1111
(3)EF ·DC =BD ·DC =|BD ||DC |cos〈BD ,DC =-.
2224→→→
18. 解析 ∵BC =AC -AB ,
→→→→→→
∴OA ·BC =OA ·AC -OA ·AB
→→→→→→→→ =|OA |·|AC |·cos 〈OA ,AC 〉-|OA |·|AB |·cos 〈OA ,AB 〉 =8×4×cos 135°-8×6×cos 120°=24-2. →→
OA ·BC 24-1623-2→→
∴cos 〈OA ,BC 〉==.
5→→8×5
|OA |·|BC |3-22
∴OA 与BC 5→→
19. 解析 (1)∵AB =(-2,-1,3) ,AC =(1,-3,2) ,
→→AB ·AC 71
∴cos ∠BAC ,
→→×142|AB ||AC |
→→
∴∠BAC =60°∴S =|AB ||AC |sin 60°=3.
→
(2)设a =(x ,y ,z ) ,则a ⊥AB ⇒-2x -y +3z =0, →
a ⊥AC ⇒x -3y +2z =0,|a |=3⇒x 2+y 2+z 2=3, 解得x =y =z =1或x =y =z =-1, ∴a =(1,1,1)或a =(-1,-1,-1) .
→→
21. 解析 ∵A (-2,0,2) ,B (-1,1,2) ,C (-3,0,4) ,a =AB ,b =AC ,
∴a =(1,1,0),b =(-1,0,2) .
10a·b -1+0+0
(1) cos θ=,
|a||b|1025 ∴a 与b 的夹角θ的余弦值为-
10
(2) ∵k a +b =k (1,1,0)+(-1,0,2) =(k -1,k, 2) , k a -2b =(k +2,k ,-4) ,且(k a +b ) ⊥(k a -2b ) ,
∴(k -1,k, 2)·(k +2,k ,-4) =(k -1)(k +2) +k 2-8=2k 2+k -10=0, 5
则k =-或k =2.
2
x 2y 2
解:(Ⅰ)设双曲线方程为2-2=1 (a >0, b >0).
a b
由已知得a =3, c =2, 再由a 2+b 2=22, 得b 2=1. 故双曲线C 的方程为
x 2
-y 2=1. 3
x 2
-y 2=1得 (1-3k 2) x 2-62kx -9=
0. (Ⅱ)将y =kx +2代入3
2
⎧⎪1-3k ≠0,
由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎨
222
⎪⎩∆=) +36(1-3k ) =36(1-k ) >0.
2
即k ≠
1
且k 2
), B (x B , y B ) ,则 3
-9
x A +x B =x A x B =, 由OA ⋅OB >2得x A x B +y A y B >
2,
1-3k 2
而x A x B +y A y B =
x A x B +(kx A kx B =(k 2+1) x A x B
(x A +x B ) +2
-93k 2+7
=(k +1) +2=2. 21-3k 3k -1
2
3k 2+7-3k 2+912
2, 即>0, 解此不等式得于是22
33k -13k -1