用一次函数图象解二元一次方程组
用一次函数图象解二元一次方程组
山东 于秀坤
一次函数的表达式就是一个二元一次方程,任何一个二元一次方程都可以化为一次函数表达式的形式. 如y=2x+3是一函数表达式,也是二元一次方程;而2x-y=-3是一个二元一次方程,不是函数表达式. 但可以将其化为y=2x+3,就是一个函数不表达式.
一般来说,一个二元一次方程有无数多个解. 以这些解为坐标的点组成的图象就是一次函数的图象. 如以方程2x-y=-3的解为坐标所有的点组成的图形就是y=2x+3的图象.
一个一次函数图象上的任意一点,它的坐标一定能适合相应的二元一次方程. 如一次函数y=1x-1图2象上的一点(2,0),它适合方程x-2y=2,即⎨⎧x =2, 是方程x-2y=2的一个解. y =0⎩
由于二元一次方程可以转化为一次函数, 在平面直角坐标系中可以画出函数的图象, 所以将方程组中的两个方程都化为一次函数, 在同一平面直角坐标系中就可以画出两个函数的图象(即两条直线), 这两条直线的相交于一点, 交点的坐标既是满足第一个方程, 又满足第二个方程, 所以交点的坐标就是方程组的解. 这种将二元一次方程组转化为一次函数, 通过画函数的图象确定交点坐标解二元一次方程组的方法, 我们称为二元一次方程组的图象解法.
用一次函数的图象解二元一次方程组,一般分为以下几个步骤:(1)将方程组中的每个方程分别转化一次函数表达式;(2)在同一坐标系内分别画出转化后的两个一次函数的图象;(3)根据两个函数图象交点的坐标写出方程组的解.
例1 利用图象法解方程组⎨⎧x -y =5, ⎩x +y =3
解:方程x-y=5,变形为y=x-5,过两点(0,-5)和(5,0)画函数
y=x-5的图象; 方程x+y=3变形为y=-x+3,过两点(03,)和(3,0)画函数
y=-x+3的图象, 这两个函数图象的交点坐标是(4,-1)(如图1).
所以方程组的解为⎨⎧x =4, ⎩y =-1.
评注:由于一次函数的图象是一条直线, 所以只要取两个适当
的点, 画直线即可. 利用图象法求出的解与利用代入法或加减法解
得到的解是相同的, 但画图象时, 难免有一些误差, 所作图象要准确. 图1 例2 利用函数图象解方程组
⎧2x -y =2, ⎨⎩x +y =-5.
解:方程2x-y=2变形为y=2x-2,方程x+y=5变形为y=-x-5,画出直线y=2x-2与直线y=-x-5,可以
⎧2x -y =2, ⎧x =-1, 看出它们交点的横坐标为-1,交点的纵坐标为-4(如图2),于是方程组⎨的解为⎨ x +y =-5. y =-4. ⎩⎩
图2
练一练; 利用图象法解方程组:
(1)⎨⎧x -y =3, ⎧2x +3y =5, (2)⎨ 3x -8y =14. 3x -y =2. ⎩⎩