线性代数基础讲义

2015考研数学线性代数基础讲义

第一章 行列式

一．基本内容

1．排列与逆序

定义 ：由 n 个自然数1, 2,3,..., n 组成的无重复有序实数组 i 1 , i 2 , i n 称为一个 n 级排列。

定义 ：在一个 n 级排列中，如果一个较大数排在一个较小数前面，我们就称这两个数构成一个逆序。

i n 中逆序的总数，称为 n 级排列的逆序数， 对于逆序，我们感兴趣的是一个 n 级排列 i 1 , i 2 ,

记作 τ ( i 1 , i 2 , i n ) 。

2. 行列式的定义

2 n 个数 a ij （ i , j = 1,2, ⋅⋅⋅ , n ）排成的行列的方形表

a 11a 12⋅⋅⋅a 1n a a 22⋅⋅⋅a 2n D =21=(-1) τ(j 1, j 2, ⋅⋅⋅, j n ) a 1j 1a 2j 2⋅⋅⋅a nj n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅j 1, j 2, ⋅⋅⋅, j n a n 1a n 2a nn

称为一个n 阶行列式。它表示所有取自不同行不同列的个元素乘积的代数和。

3. 行列式的性质

（1）转置不改变行列式的值

（2）行列式某行（列）元素的公因子可以提到行列式之外

（3）行列式的分行（列）可加性

（4）行列式两行（列）元素成比例，则行列式值为0

（5）互换行列式的某两行（列）行列式的值改变符号

（6）行列式某行（列）的倍加到另外一行（列），行列式值不变

4. 行列式的余子式、代数余子式

划去元素a ij 所在的行、列，剩下的元素按照原来的顺序排成的n-1阶行列式称为 a ij 的余子式，记

i +j 为 M ij ，称 A ij = ( - 1) M ij 为 a ij 的代数余子式。

5. 行列式的展开

（1）展开定理

D =a A +a A +a A =a A +a A +a A i 1i 1i 2i 2in in 1j 1j 2j 2j nj nj

j =1,2, , n i =1,2, , n （2）行列式某一行（列）每个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积的和等于0 。

a k 1A i 1+a k 2A i 2+a kn A in =0k ≠i

a A +a A +a A =0k ≠i 1k 1i 2k 2i nk ni

二. 基本结论

（1）

a 11a 11**a 11 a 22a 22*a 22 ===*

a nn a nn **a nn

（2）

a 1n a 1n **a 1n a 2(n -1) a 2(n -1) *a 2(n -1) === * a n 1a n 1**a n 1 ∑

三. 基本题型与基本方法

题型1：行列式的计算：行列式基本方法：利用性质及展开

具体方法：

方法一 ：三角法（利用性质将行列式化为三角型行列式）

例

a 011 4124

1a 11202D =n +1 D =3320 1

a n 0112

方法二：降阶法（利用展开降阶）

例

a 1+x a 2a 3a 4 -x x 00 D 4=0-x x 0 00-x x

第二章 矩阵

第一节 矩阵及其运算

一. 基本内容

1．矩阵概念

1）定义

⎛a 11a 12⋅⋅⋅a 1n ⎫ ⎪ a a ⋅⋅⋅a 21222n ⎪ A =a ij m ⨯n = ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪a a a m 2mn ⎭⎝m 1

2）特殊矩阵：

（1）零矩阵：

（2）阶方阵：

（3）行矩阵（向量）、列矩阵（向量）：

（4）对角矩阵、单位矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵：

（5）对称矩阵、反对称矩阵：

2．矩阵的运算

1）线性运算：加法与数乘

2）乘法：

（1）乘法法则：

（2）运算律：

3）方阵的运算

（1）方阵的幂及其运算律：

（2）方阵的行列式

4）转置：

性质

5）伴随矩阵

性质：

二、基本结论

1．伴随矩阵的相关结论

2．分块矩阵的逆 ()

第二节 可逆矩阵

一、基本内容

1．可逆的定义：

2．阶矩阵可逆的充要条件：

3．性质：

二、基本题型与基本方法

题型1：逆矩阵的计算与证明（具体矩阵、抽象矩阵）

方法一：公式法求逆

方法二：初等变换求逆：方法：

例

⎛223⎫ ⎪A = 1-10⎪ -121⎪⎝⎭

方法四：利用定义，求（证明）逆矩（抽象矩阵的情形中常见）

例：n 阶矩阵满足 A 2+A -4E =0

求 (A -E ) -1

第三节 矩阵的初等变换与秩

一、基本内容

1．初等变换的定义：

2．初等矩阵

（1）定义：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵

（2）三种初等矩阵：

（3）性质：初等矩阵都是可逆的，其逆仍是初等矩阵

3．初等变换的本质（初等变换与初等矩阵的关系）

4．矩阵等价

1）定义：

2）性质：

5．矩阵的秩

（1）定义：

（2）性质：初等变换不改变矩阵的秩

二、基本题型与基本方法

题型：求矩阵的秩

基本方法：初等变换法

对矩阵作初等行变换，化为阶梯形，阶梯形中非零行的个数即为矩阵的秩。

例 求矩阵的秩

⎛1111⎫ ⎪01-1b ⎪ A = 23a 4⎪ ⎪3517⎝⎭

第三章 向量

第一节 向量组线性相关性

一、基本内容

1．向量及其运算

（1）定义：

（2）运算：

2．线性表示、线性组合

定义：

3．向量间的关系的描述（线性相关、线性无关）

定义：若存在一组不全为0的数 x 1, x 2 , , x n ，使得 x 1 x 2 α 2 + x n α n 则称向量组 α 1 += 0

α1, α2, , αn 线性相关，否则称为线性无关。

2）结论

（1） α 线性相关（无关） ⇔

（2）含有零向量的向量组一定线性相关

（3）向量组的一个部分组线性相关，则向量组一定线性相关

向量组本身线性无关，则其任何一个部分组线性无关

（4）m 个n 维向量构成的向量组， m > n 时向量组一定线性相关

α 1 , ααβ线性相关，则 β（5） 2 , , α n 线性无关， α 1 , α 2 , , n 可由 1 , α 2 , , α n 线性表示。 α

二、基本题型与基本方法

题型1：向量组线性表示的判定

例

题型2：向量组线性相关性的判定

T T T 例 判定向量组 α 1 = (2,3,0) α 2 = ( - 1 ,4,0) α 3 = (0,0,2) 的线性相关性 。

第二节 向量组的秩

一、基本内容

1．极大线性无关组与秩

定义：

2．向量组之间关系的描述（向量组等价）

二、基本题型与基本方法

题型：求向量组的极大无关组与秩

方法：定义法、初等变换法（以向量组中各向量为列作矩阵，对矩阵作

初等行变换，化为阶梯形）

例：设向量组 α=(1, -2,3, -1) T α=(3,-1,5, -3) T α=(5,0,7,-5) T α=(2,1,2, -2) T

2314

求（1）向量组的秩及一个极大无关组

（2）把其余向量用该极大无关组表示出来

第四章 线性方程组

第一节 齐次线性方程组

一、基本内容

1．齐次线性方程组的定义：

⎧a x +a x ++a x =01111221n n ⎪⎨ ⎪a x +a m 2x 2++a mn x n =

0 ⎩m 11

2．方程组的解：

1）解的形式：零解、非零解

2）解的线性性质：

（1）

（2）

3．解的判定： A m ⨯n x =0

仅有零解 ⇔

有非零解 ⇔

4．解的结构：

1）基础解系的定义：

2）基础解系特点及求法：

r ( 对于方程组 ⨯ n x = 0 ，若 A ) = r

二、基本题型与基本方法

题型：求的基础解系与通解

方法：具体的，利用初等变换法解方程组

抽象的，利用解的性质及结构

例 求

⎧x 1-x 2-x 3+x 4=0 ⎪x -x 2+x 3-3x 4=0 ⎨1⎪x -x -2x +3x =01 2 ⎩ 3 4

的基础解系与通解

第二节 非齐次线性方程组

1．非齐次线性方程组的定义：

2．方程组的解：

1）解的形式：无解、仅有一个解、无穷多个解

2）解的线性性质：

（1）

（2）

3．解的判定：

4．解的结构

二、基本题型与基本方法

题型：求解 Ax =b

求解方法：

具体的，利用初等变换法解方程组

抽象的，利用解的性质及结构

例

⎧x 1-x 2+2x 3+2x 4=1

⎪2x +x +4x +x =5⎨1234 ⎪⎩-x 1-2x 2-2x 3+x 4=-4

第一节 方阵的特征值与特征向量

一、基本内容

1．内积（向量之间的一种运算）

定义：

2．正交组的概念：

（1）向量正交的定义：

（2）正交组、正交组与线性无关组的关系：

3．Schmidt 正交化方法：

4．特征值与特征向量

1）定义

2）求法

3）特征值与特征向量性质：

λ1λ2λn =A （1） λ1+λ2+λn =a 11+a 22+a nn =tr (A )

2）关于特征向量的线性无关性： 属于不同特征值的特征向量一定线性无关 具体表现为：

二、基本结论

A = (a ) ， λ 是其特征值， ij n ⨯n 若 f ( A ) = a A m + + a + a E ，则 f ( A ) 一定有特征值 f (λ) A m 10

三、基本题型与基本方法

题型：求特征值与特征向量

具体矩阵：利用特征多项式、特征方程法 抽象矩阵：定义法、利用上述性质与结论求解 例

⎛324⎫

A = 202⎪ ⎪ 423⎪⎝⎭

第二节 相似矩阵与矩阵对角化

一、基本内容

1．相似矩阵

1）定义：

2）相似的性质：

（1） A B ⇒ A,B 有相同的：

（2） A B ⇒

2．矩阵对角化

1）定义：

2）对角化的条件

（1）充要条件：

（2）充分条件：

二、基本题型与基本方法

题型：对角化的判定与计算

例

⎛1-33⎫⎛1 A = 3-53⎪A = 2 ⎪ 2 6-64⎪⎝⎝⎭ 22⎫⎪12⎪21⎪⎭

第六章 二次型

一、基本内容

1．可逆（非退化）线性替换与正交替换 ⎧x 1=c 11y 1++c 1n y n ⎪X =CY ⎨⎪ ⎩x n =c n 1y 1++

c nn y n

2．合同矩阵

1）定义：

2）等价、相似、合同的关系：

223．二次型的定义： f (x 1, x 2, , x n ) =a 11x 1+2a 12x 1x 2++2a 1n x 1x n +a 22x 2+ 称为一个n 元二次型。

4．二次型的标准形、规范形

2222 f =d 1y 1++d n y n f =z 12++z 2-z --z p p +1p +q

二、基本题型与基本方法

题型：化二次型为标准型

方法：配方法、正交变换法

例 f (x , x , x ) =2x 2+x 2-4x 2-4x x -2x x 1231231223 +2a 2n x 2x n +2+a nn x n 22f (x 1, x 2, x 3) =x 12+4x 2+x 3-4x 1x 2-8x 1x 3-4x 2x 3