小学奥数平面几何五大定律
小学奥数平面几何五大定律
教学目标：
1． 熟练掌握五大面积模型
2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图S 1:S 2=a :b
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S △ACD
S 1S 2A B
=S △BCD ；
反之，如果S △ACD =S △BCD ，则可知直线AB 平行于CD ．
C D
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形) ； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角) 两夹边的乘积之比．
如图在△ABC 中，D , E 分别是AB , AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上) ， 则S △ABC :S △ADE =(AB ⨯AC ) :(AD ⨯AE )
D
A
A
E
E
B
图⑴ 图⑵
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”) ：
①S 1:S 2=S 4:S 3或者S 1⨯S 3=S 2⨯S 4②AO :OC =(S 1+S 2):(S 4+S 3)
C
B C
D
A S 2
S 1S 3
C
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
B
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ： a
A D 22
①S 1:S 3=a :b S 1
S 2S 4②S 1:S 3:S 2:S 4=a 2:b 2:ab :ab ；
2
③S 的对应份数为(a +b )．
S 3
C B b
四、相似模型
(一) 金字塔模型 (二) 沙漏模型
S 4
A
E
A
F D
D B
①
F G
E C
B G C
AD AE DE AF
； ===
AB AC BC AG
2
2
②S △ADE ：S △ABC =AF :AG ．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似) ，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、燕尾定理
在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么S ∆ABO :S ∆ACO =BD :DC ． A 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为∆ABO 和∆ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着
E
广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的F 三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
典型例题
C D 【例 1】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1. 5，CF =2．长方形EFGH 的B
面积为 ．
_A _E
_G
_A
_E
_G
_B
_F
_C
_B
_F
_C
【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．
三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
S △DEF =6⨯6-1.5⨯6÷2-2⨯6÷2-4.5⨯4÷2=16.5, 所以长方形EFGH 面积为33．
【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？
__ F
_ D
_ G
_ C _ B
_ F
__ B
_ G D _ C _
【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四
边形) ．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
证明：连接AG ．(我们通过△ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起) ．
∵在正方形ABCD 中，S △AB G =
1
⨯AB ⨯AB 边上的高， 2
1
S =S ∴△ABG
2
同理，S △ABG =
ABCD
(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)
1
S EFGB ． 2
∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等． 长方形的宽=8⨯8÷10=6.4(厘米) ．
【例 2】 长方形ABCD 的面积为36cm 2，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积
是多少？
E
【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：
E
111
S =S S =S ∆DHC ，而S ABCD =S ∆AHB +S ∆CHB +S ∆CHD =36 S =S 可得：∆EHB ∆CHB 、∆DHG ∆AHB 、∆FHB
222
11
S +S +S =(S +S +S ) =⨯36=18； 即∆EHB ∆BHF ∆DHG ∆AHB ∆CHB ∆CHD
22
11111
⨯BE ⨯BF =⨯(⨯AB ) ⨯(⨯BC ) =⨯36=4.5． 22228
所以阴影部分的面积是：S 阴影=18-S ∆EBF =18-4.5=13.5 解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，
那么图形就可变成右图：
而S ∆EHB +S ∆BHF +S ∆DHG =S 阴影+S ∆EBF ，S ∆EBF =
(H )
E G
这样阴影部分的面积就是∆DEF 的面积，根据鸟头定理，则有：
1111111
S =S -S -S -S =36-⨯⨯36-⨯⨯⨯36-⨯⨯36=13.5． 阴影ABCD ∆AED ∆BEF ∆CFD
2222222
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分
别与P 点连接, 求阴影部分面积．
【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部
11
分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面
46
11
积为62⨯(+) =15平方厘米．
46
（法2）连接PA 、PC ．
由于∆PAD 与∆PBC 的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和
11
等于正方形ABCD 面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的，
4611
所以阴影部分的面积为62⨯(+) =15平方厘米．
46
【例 3】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，AB =8，AD =15，四边形EFGO 的面积
为 ．
B
【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE
和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．
1
由于长方形ABCD 的面积为15⨯8=120，所以三角形BOC 的面积为120⨯=30，所以三角形AOE 和
4
3
DOG 的面积之和为120⨯-70=20；
4
⎛11⎫
又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为120⨯ -⎪=30，所以四边形EFGO 的面积为
⎝24⎭
30-20=10．
另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120-70=50，所以四边形的面积为60-50=10．
【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，AE =2ED ，则阴影部分的面积为 ．
A
B
【解析】 如图，连接OE ．
A
B
11
S =S ∆OED ； ON :ND =S :S =S :S =1:1根据蝴蝶定理，，所以∆OEN ∆COE ∆CDE ∆CAE ∆CDE
22
11
S =S ∆OEA ． OM :MA =S ∆BOE :S ∆BAE =S ∆BDE :S ∆BAE =1:4，所以∆OEM
52
11
S =⨯S 矩形ABCD =3，S ∆OEA =2S ∆OED =6，所以阴影部分面积为：3⨯1+6⨯1=2.7． 又∆OED
3425
【例 4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，
求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC
)
B
【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平
行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．
根据图形的容斥关系，有S ∆ABC
-S 丙=S ∆ABN +S ∆AMC -S AMHN ，
=S AMHN ．
1
⨯400=43． 4
即400-S 丙= 200+200-S AMHN ，所以S 丙
又S 阴影+S ∆ADF =S 甲+S 乙+S AMHN ，所以S 阴影=S 甲+S 乙+S 丙-S ∆ADF =143-
【例 5】 如图，已知CD =5，DE =7，EF =15，FG =6，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，
右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．
C G
C G
【解析】 连接AF ，BD ．
根据题意可知，CF =5+7+15=27；DG =7+15+6=28；
所以，S ∆BE F
15
S ∆CBF ，S ∆BE C =12S ∆CBF ，S ∆AEG =21S ∆ADG ，S ∆AED =7S ∆ADG ， 27282728
7122115
S +S ∆CBF =38； S +S =65于是：；∆ADG ∆ADG ∆CBF
28272827
可得S ∆ADG =40．故三角形ADG 的面积是40．
=
【例 6】 如图在△ABC 中，D , E 分别是AB , AC 上的点，且AD :AB =2:5，AE :AC =4:7，S △ADE =16平方厘
米，求△ABC 的面积．
A
A
D
E
D
E
B
C
B
【解析】 连接BE ，S △ADE :S △ABE
=AD :AB =2:5=(2⨯4) :(5⨯4) ，
C
，设S △ADE =8份，则S △ABE :S △ABC =AE :AC =4:7=(4⨯5) :(7⨯5) ，所以S △ADE :S △ABC =(2⨯4) :(7⨯5) S △ABC =35份，S △ADE =16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ABC 的面积是
70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角) 两夹边的乘积之比 ．
【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三
角形ABC 的面积是多少？
C
C
B
【解析】 连接BE ．
∵EC =3AE ∴S ABC =3S ABE 又∵AB =5AD
∴S ADE =S ABE ÷5=S ABC ÷15，∴S ABC =15S ADE =15．
【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分) 、乙两部分，BD =DC =4，BE =3，AE =6，乙部分面积
是甲部分面积的几倍？
E B
甲
D
E
B
乙
C
【解析】 连接AD ．
∵BE =3，AE =6
∴AB =3BE ，S ABD =3S BDE 又∵BD =DC =4，
∴S ABC =2S ABD ，∴S ABC =6S BDE ，S 乙=5S 甲．
【例 7】 如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB :AD =5:2，
AE :EC =3:2，S △ADE =12平方厘米，求△ABC 的面积．
D
B
甲
D
乙
C
A
A
E
B
C
E
B C
【解析】 连接BE ，S △ADE :S △ABE =AD :AB =2:5=(2⨯3) :(5⨯3)
S △ABE :S △ABC =AE :AC =3:(3+2) =(3⨯5) :[(3+2) ⨯5]，
所以S △ADE :S △ABC =(3⨯2) :[5⨯(3+2) ]=6:25，设S △ADE =6份，则S △ABC =25份，S △ADE =12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC 的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要
的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角) 两夹边的乘积之比
【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE =AB ，CF =2CB ，GD =3DC ，HA =4AD ，平行四边形ABCD 的面
积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．
H
H
A
G
D F
B E
A
G
F
E
【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理
∵在△ABC 和△BFE 中，∠ABC 与∠FBE 互补，
S AB ⋅BC 1⨯11
==． ∴△ABC =
S △FBE BE ⋅BF 1⨯33
又S △ABC =1，所以S △FBE =3．
同理可得S △GCF =8，S △DHG =15，S △AEH =8．
所以S EFGH =S △AEH +S △CFG +S △DHG +S △BEF +S ABCD =8+8+15+3+2=36．
S 21
=． 所以ABCD =
S EFGH 3618
【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？
C
13
12
13
D
12
B
【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：
把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置. 这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.
因此，原来四边形的面积为12⨯12=144. (也可以用勾股定理)
【例 10】 如图所示，∆ABC 中，∠ABC =90︒，AB =3，BC =5，以AC 为一边向∆ABC 外作正方形ACDE ，
中心为O ，求∆OBC 的面积．
【解析】 如图，将∆OAB 沿着O 点顺时针旋转90︒，到达∆OCF 的位置．
由于∠ABC =90︒，∠AOC =90︒，所以∠OAB +∠OCB =180︒．而∠OCF =∠OAB ， 所以∠OCF +∠OCB =180︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．
由于OB =OF ，∠BOF =∠AOC =90︒，所以∆BOF 是等腰直角三角形，且斜边BF 为5+3=8，所以它
1
的面积为82⨯=16．
4
5
根据面积比例模型，∆OBC 的面积为16⨯=10．
8
【例 11】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，∠AEB =90︒，AC 、BD 交于O ．已
知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．
D
【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将∆ADE 顺时针旋转90︒到∆ABF 的位置．
那么∠EAF =∠EAB +∠BAF =∠EAB +∠DAE =90︒，而∠AEB 也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且AF =AE =3，
所以梯形AFBE 的面积为：
1
(3+5)⨯3⨯=12(cm 2) ．
2
又因为∆ABE 是直角三角形，根据勾股定理，AB 2=AE 2+BE 2=32+52=34，所以
S ∆ABD =
1
AB 2=17(cm 2) ． 2
那么S ∆BDE =S ∆ABD -(S ∆ABE +S ∆ADE )=S ∆ABD -S AFBE =17-12=5(cm 2) ，
1
S =S ∆BDE =2.5(cm 2) ． 所以∆OBE
2
【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB =ED ，AF =CD ，BC =EF ，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，
BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知FD =24厘米，BD =18厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？
B
A
C
G
A
B
C
F
E
D
F
E
D
∆BCD CD 【解析】 如图，我们将平移使得与AF 重合，将∆DEF 平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重
合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为24⨯18=432平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．
【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且BD :DC =1:2，AD 与BE 交于
点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．
A
A
A
E
B
D C
B
33C D
E
B
D
C
S △ABF BD 1S △ABF AE
==1, ==，【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，
S EC S △ACF DC 2△CBF
设S △BDF
=1份，则S △DCF =2份，S △ABF =3份，S △AEF =S △EFC =3份，如图所标
55
S △ABC = 1212
所以S DCEF =
方法二：连接DE ，由题目条件可得到S △ABD =
11
S △ABC =， 33
BF S △ABD 11121
==， S △ADE =S △ADC =⨯S △ABC =，所以
FE S △ADE 12233
1111111
S △DEF =⨯S △DEB =⨯⨯S △BEC =⨯⨯⨯S △ABC =，
22323212
2115S =⨯⨯S =而△CDE ．所以则四边形DFEC 的面积等于． △ABC 32312
【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，EC =2DE ，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方
厘米
?
A
B
D E C
B B A D
D E
y C
E
G
C
【解析】 设S △DEF =1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S 阴影=
55
S △BCD =平方厘米. 1212
【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示) ．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面
1
积的，且AO =2，DO =3，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．
3
A
B
D
A C
B
D
ABCD 【解析】 在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知
条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件S ABD :S BCD =1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．
解法一：∵AO :OC =S ∆ABD :S ∆BDC =1:3，∴OC =2⨯3=6，∴OC :OD =6:3=2:1． 解法二：作AH ⊥BD 于H ，CG ⊥BD 于G ．
C
111S =S ∆DOC ， S =S ∵∆ABD ∆BCD ，∴AH =CG ，∴∆AOD
333
1
∴AO =CO ，∴OC =2⨯3=6，∴OC :OD =6:3=2:1．
3
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵AG :GC =？
B
【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，S
BGC
⨯1=2⨯3，那么S
BGC
=6；
⑵根据蝴蝶定理，AG :GC =(1+2):(3+6)=1:3．
【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，△CEF 、△OEF 、△ODF 、△BOE 的面积依次是2、
4、4和6．求：⑴求△OCF 的面积；⑵求△GCE 的面积．
A
D
F C
△BCD 2+4+4+6=16△BCO 【解析】 ⑴根据题意可知，的面积为，那么和∆CDO 的面积都是16÷2=8，所以
△OCF 的面积为8-4=4；
⑵由于△BCO 的面积为8，△BOE 的面积为6，所以△OCE 的面积为8-6=2，
根据蝴蝶定理，EG :FG =S ∆COE :S ∆COF =2:4=1:2，所以S ∆GCE :S ∆GCF =EG :FG =1:2， 那么S ∆GCE
B
E
=
112S ∆CEF =⨯2=． 1+233
【例 16】 如图，长方形ABCD 中，BE :EC =2:3，DF :FC =1:2，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方
形ABCD 的面积．
A
D F C
A
D F C
B
【解析】 连接AE ，FE ．
E
B
E
因为BE :EC =2:3，DF :FC =1:2，所以S 因为S
DEF
3111
=(⨯⨯) S 长方形ABCD =S 长方形ABCD ． 53210
S
AFD
111
=S ，AG :GF =:=5:1，所以S A G D =5S G D =AED F 10平方厘米，所以长方形ABCD 2210
=12平方厘米．因为S AFD =1S 长方形ABCD ，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．
6
【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．
B
C
A
【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以AM :BC =1:2，根据梯形蝴蝶定理可以知道
S △AMG :S △ABG :S △MCG :S △BCG =12（:1⨯2）（:1⨯2）:22=1:2:2:4，设S △AGM =1份，则S △MCD =1+2=3
份，所以正方形的面积为1+2+2+4+3=12份，S 阴影
=2+2=4份，所以S 阴影:S 正方形=1:3，所以
S 阴影=1平方厘米．
【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘
米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．
A D
B
E
C
2
S 梯形=（1+2）=9(平方厘米) ，
【解析】 连接DE ，根据题意可知B E :A D =1:2，根据蝴蝶定理得
S △ECD =3(平方厘米) ，那么S
ABCD
=12(平方厘米) ．
【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，BC :CE =3:2，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是
平方厘米．
B
B
【解析】 连接AC ．
由于ABCD 是平行四边形，BC :CE =3:2，所以CE :AD =2:3，
根据梯形蝴蝶定理，S
COE
:S
AOC
:S
DOE
:S
AOD A B C
=22:2⨯3:2⨯3:32=4:6:6:9，所以S =S
A C D
AOC
=6(平
方厘米) ，S AOD =9(平方厘米) ，又S 6+15=21(平方厘米) ．
=6+9=15(平方厘米) ，阴影部分面积为
【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米) ，阴影部分
的面积是
平方厘米．
B
B
2
【分析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么S ∆OCD =S ∆OAE ．
根据蝴蝶定理，S ∆OCD ⨯S ∆OAE =S ∆OCE ⨯S ∆OAD =4⨯9=36，故S ∆OCD =36， 所以S ∆OCD
=6(平方厘米) ．
【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米) ，阴影部分
的面积是
平方厘米．
B
B
【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么S ∆OCD =S ∆OAE ．
根据蝴蝶定理，
S ∆OCD ⨯S ∆OAE =S ∆OCE ⨯S ∆OAD =2⨯8=16
1
S 2
，故
S ∆OCD 2=16，所以
S ∆OCD =4(平方厘米) ．
另解：在平行四边形ABED 中，S ∆ADE =
ABED
1
=⨯(16+8)=12(平方厘米) ， 2
所以S ∆AOE =S ∆ADE -S ∆AOD =12-8=4(平方厘米) ，
根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8⨯2÷4=4(平方厘米) ．
【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余
下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．
A E
25
8
F
?
B A E
25
8
F
B
D
【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以S ∆EOD =S
D C C
FOC
，又根据蝴蝶定理，S ∆EOD ⋅S ∆FOC =S ∆EOF ⋅S ∆COD ，
所以S ∆EOD ⋅S ∆FOC =S ∆EOF ⋅S ∆COD =2⨯8=16，所以S ∆EOD =4(平方厘米) ，S ∆ECD =4+8=12(平方厘米) ．那
么长方形ABCD 的面积为12⨯2=24平方厘米，四边形OFBC 的面积为24-5-2-8=9(平方厘米) ．
【例 20】 如图，∆ABC 是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的
面积48，AK :KB =1:3，则∆BKD 的面积是多少？
B
【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，∆BDK 和
11
∆ACK 的面积是相等的．而AK :KB =1:3，所以∆ACK 的面积是∆ABC 面积的=，那么∆BDK 的
1+34
1
面积也是∆ABC 面积的．
4
由于∆ABC 是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM =D E ，可见∆ABM 和∆ACM 的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以∆ABC 的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．
1
那么∆BDK 的面积为48⨯=12．
4
【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中
m
点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，(m +n ) 的值等
n
于 ．
B
E E
【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都
比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积． 如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．
1
左图中AEGD 为长方形，可知∆AM D 的面积为长方形AEGD 面积的，所以三角形AMD 的面积为
4
11111
12⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为1-⨯4=．
24882
B
E
E
B
如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ． 可知EF ∥AC 且AC =2EF ．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的
1
，所以三角形BEF 的面4
111113
积为12⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为-=．
248288
在梯形AEFC 中，由于EF :AC =1:2，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：
311
12:1⨯2:1⨯2:22=1:2:2:4，所以三角形EFN 的面积为⨯，那么四边形BENF 的面积=
81+2+2+424
11111为+ =．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为1-⨯4=．824663
11m 3
那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为:=3:2，即=，
23n 2
那么m +n =3+2=5．
【例 22】 如图， △ABC 中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD =DF =FB ，
则S △ADE
:S 四边形DEGF :S 四边形FGCB = ．
A F B
E
C
【解析】 设S △ADE =1份，根据面积比等于相似比的平方，
因此S △AFG =4份，S △ABC =9份，
所以S △ADE :S △AFG =AD 2:AF 2=1:4，S △ADE :S △ABC =AD 2:AB 2=1:9，
进而有S 四边形DEGF =3份，S 四边形FGCB =5份，所以S △ADE :S 四边形DEGF :S 四边形FGCB =1:3:5
【巩固】如图，DE 平行BC ，且AD =2，AB =5，AE =4，求AC 的长．
A D B
E
C
AD =D F =FM =M P =PB ，则
S △ADE :S 四边形DEGF :S 四边形FGNM :S 四边形MNQP :S 四边形PQCB = ．
【解析】 设S △ADE
=1份，S △ADE :S △AFG =AD 2:AF 2=1:4，因此S △AFG =4份，进而有S 四边形DEGF =3份，
=5份，S 四边形MNQP =7份，S 四边形PQCB =9份．
同理有S 四边形FGNM 所以有
S △ADE :S 四边形DEGF :S 四边形FGNM :S 四边形MNQP :S 四边形PQCB =1:3:5:7:9
【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且DE :EC =1:3，AF
与BE 相交于点G ，求S △ABG
A
B
A
B
A
B
F
F
D
【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有AB :CM =BF :FC =1:1，
因此CM =4，根据题意有CE =3，再根据另一个沙漏有GB :GE =AB :EM =4:7，所以
E
D
E
C
M D
E
C
432=⨯(4⨯4÷2=) ． A B 1111
方法二：连接AE , EF ，分别求S △ABF =4⨯2÷2=4，S △AEF =4⨯4-4⨯1÷2-3⨯2÷2-4=7，根S △A B G =
据蝴蝶定理S △ABF :S △AEF =BG :GE =4:7，所以S △ABG =
4
S △
4+7
4432S △ABE =⨯(4⨯4÷2) =． 4+71111
【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求∆BMG
的面积．
A F D A E B
【解析】 解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得EF //BD ，而FD :BC =FH :HC =1:2，
EB :CD =BG :GD =1:2所以CH :CF =GH :EF =2:3， 并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG =GH ，所以
2
BG :EF =BM :MF =2:3，所以BM =BF ，S ∆BFD
5
111=S ∆ABD =⨯S 222
ABCD
1
=； 4
1212111
S =⨯⨯S =⨯⨯=又因为BG =BD ，所以∆BMG ． ∆BFD
35354303
CE 交DA 于I ，如右图，
可得，AI :BC =AE :EB =1:1，从而可以确定M 的点的位置，
21
BM :MF =BC :IF =2:3，BM =BF ，BG =BD (鸟头定理) ，
53
可得S ∆BMG =
21211⨯S ∆BDF =⨯⨯S 53534
ABCD
=
1
30
【例 25】 如图，ABCD 为正方形，AM =NB =DE =FC =1cm 且MN =2cm ，请问四边形PQRS 的面积为多少？
A
C
C
MQ MB MP PC
=【解析】 (法1) 由AB //CD ，有，所以PC =2PM ，又，所以 =
QC EC MN DC
A
11111
MQ =QC =MC ，所以PQ =MC -MC =MC ，所以S SPQR 占S AMCF 的，
2236612
所以S SPQR =⨯1⨯(1+1+2) =(cm2) ．
63
1
(法2) 如图，连结AE ，则S ∆ABE =⨯4⨯4=8(cm 2) ，
2
RB ER RB AB 2216而，所以===2，S ∆ABR =S ∆ABE =⨯8=(cm 2) ． AB EF EF EF 333
11MN MP
而S ∆MBQ =S ∆ANS =⨯3⨯4⨯=3(cm 2) ，因为， =
22DC PC 1114
所以MP =MC ，则S ∆MNP =⨯2⨯4⨯=(cm 2) ，阴影部分面积等于
3233
1642
S ∆ABR -S ∆ANS -S ∆MBQ +S ∆MNP =-3-3+=(cm 2) ．
333
【例 26】 如右图，三角形ABC 中，BD :DC =4:9，CE :EA =4:3，求AF :FB ．
F B
O D
E
C
【解析】 根据燕尾定理得S △AOB :S △AOC =BD :CD =4:9=12:27
S △AOB :S △BOC =AE :CE =3:4=12:16
（都有△AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S △AOC :S △BOC =27:16=AF :FB
【点评】本题关键是把△AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能
掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【巩固】如右图，三角形ABC 中，BD :DC =3:4，AE :CE =5:6，求AF :FB .
A
F B
O D
E
C
【解析】 根据燕尾定理得S △AOB :S △AOC =BD :CD =3:4=15:20 S △AOB :S △BOC =AE :CE =5:6=15:18
（都有△AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以S △AOC :S △BOC =20:18=10:9=AF :FB
【巩固】如右图，三角形ABC 中，BD :DC =2:3，EA :CE =5:4，求AF :FB .
A
F B
O D
E
C
【解析】 根据燕尾定理得S △AOB :S △AOC =BD :CD =2:3=10:15
S △AOB :S △BOC =AE :CE =5:4=10:8
（都有△AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S △AOC :S △BOC =15:8=AF :FB
【点评】本题关键是把△AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能
掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【例 27】 如右图，三角形ABC 中，AF :FB =BD :DC =CE :AE =3:2，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE
的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．
A
E
F
B
【分析】 连接AH 、BI 、CG ．
由于CE :AE =3:2，所以AE =
A
E
F
I D
C
I D
C
B
222
AC ，故S ∆ABE =S ∆ABC =； 555
根据燕尾定理，S ∆ACG :S ∆ABG =CD :BD =2:3，S ∆BCG :S ∆ABG =CE :EA =3:2，所以
49
S ∆ACG :S ∆ABG :S ∆BCG =4:6:9，则S ∆ACG =，S ∆BCG =；
1919
2248
那么S ∆AGE =S ∆AGC =⨯=；
551995
9
=∆S 同样分析可得S ∆ACH =，则E G :E H ，EG :EB =S ∆ACG :S ∆ACB =4:19，所以A C G :∆S A C =H 4:9
19
E G :G H :H =B 4:5:，同样分析可得10AG :GI :ID =10:5:4，
55215511
所以S ∆BIE =S ∆BAE =⨯=，S ∆GHI =S ∆BIE =⨯=．
[1**********]19
【巩固】 如右图，三角形ABC 中，AF :FB =BD :DC =CE :AE =3:2，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC
的面积．
A
A
F
I
B
D
E
F
C
B
D
E
C
【解析】 连接BG ，S △AGC =6份
根据燕尾定理，S △AGC :S △BGC =AF :FB =3:2=6:4，S △ABG :S △AGC =BD :DC =3:2=9:6
S 6
得S △BGC =4(份) ，S △ABG =9(份) ，则S △ABC =19(份) ，因此△AGC =,
S △ABC 19同理连接AI 、CH 得
S △ABH S 6S 619-6-6-61
=, △BIC =, 所以△GHI == S △ABC 19S △ABC 19S △ABC 1919
三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19
【巩固】如图，∆ABC 中BD =2D A ，CE =2EB ，AF =2FC ，那么∆ABC 的面积是阴影三角形面积的
倍．
B
C
B
C
【分析】 如图，连接AI ．
根据燕尾定理，S ∆BCI :S ∆ACI =BD :AD =2:1，S ∆BCI :S ∆ABI =CF :AF =1:2，
22
所以，S ∆ACI :S ∆BCI :S ∆ABI =1:2:4，那么，S ∆BCI =S ∆ABC =S ∆ABC ．
1+2+47
2
同理可知∆ACG 和∆ABH 的面积也都等于∆ABC 面积的，所以阴影三角形的面积等于∆ABC 面积的
7
21
1-⨯3=，所以∆ABC 的面积是阴影三角形面积的7倍． 77
△GHI 的面积DC EA FB 1
【巩固】如图在△ABC 中，的值． ===, 求
△ABC 的面积DB EC FA 2
A
E
H
F
B
G D
C
B F
G D
C
H A
E
【解析】 连接BG , 设S △BGC =1份，根据燕尾定理S △AGC :S △BGC =AF :FB =2:1, S △ABG :S △AGC =BD :DC =2:1, 得
S 2
S △AGC =2(份) ，S △ABG =4(份) , 则S △ABC =7(份) ，因此△AGC =, 同理连接AI 、CH 得
S △ABC 7
S △ABH 2S △BIC 2S 7-2-2-21
=, =, 所以△GHI == S △ABC 7S △ABC 7S △ABC 77
【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.
【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD =DE =EC ，CF =FG =GA ，三角形ABC 被分成9部分，请写出
这9部分的面积各是多少?
A
A
G
P
Q
B
B
N D
E
C
【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，
CM ，CN ．
根据燕尾定理，S △A B P :S △C B P =AG :GC =1:2，S △ABP :S △ACP =BD :CD =1:2，设S △ABP =1(份) ，则
1
S △ABC =1+2+2=5(份) ，所以S △ABP =
5
211213121
同理可得，S △ABQ =, S △ABN =, 而S △ABG =，所以S △APQ =-=，S △AQG =-=．
[**************]39
同理，S △BPM =，S △BDM =, 所以S 四边形PQMN =--=
[***********]1115
, S 四边形NFCE =--S 四边形MNED =--==, S 四边形GFNQ =--=
[***********]2
【巩固】如图，∆ABC 的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形
JKIH 的面积是多少？
D E C
C F G
A
B
C
D E
A G
B
F
D E
【解析】 连接CK 、CI 、CJ ．
根据燕尾定理，S ∆ACK :S ∆ABK =CD :BD =1:2，S ∆ABK :S ∆CBK =AG :CG =1:2，
1111
所以S ∆ACK :S ∆ABK :S ∆CBK =1:2:4，那么S ∆ACK ==，S ∆AGK =S ∆ACK =．
1+2+47321
2
类似分析可得S ∆AGI =．
15
1
又S ∆ABJ :S ∆CBJ =AF :CF =2:1，S ∆ABJ :S ∆ACJ =BD :CD =2:1，可得S ∆ACJ =．
4
1117
那么，S CGKJ =-=．
42184
17
根据对称性，可知四边形C E H J 的面积也为，那么四边形J K I H 周围的图形的面积之和为
84
172161619
，所以四边形JKIH 的面积为1-S CGKJ ⨯2+S ∆AGI +S ∆ABE =⨯2++==．
[1**********]
【例 29】 右图，△ABC 中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与
BG 交于N ，已知△ABM 的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则△ABC 的面积是多少平方厘米？
A G
F
C
B
D E
A G
B
【解析】 连接CM 、CN ．
D E F C
1
根据燕尾定理，S △ABM :S △CBM =AG :GC =1:1，S △ABM :S △ACM =BD :CD =1:3，所以S △ABM =S △ABC ；
5
再根据燕尾定理，S △ABN :S △CBN =AG :GC =1:1，所以S △ABN :S △FBN =S △CBN :S △FBN =4:3，所以AN :NF =4:3，那么
S △ANG 151542⎛2⎫
S △ABC ． =⨯=，所以S FCGN = 1-⎪S △AFC =⨯S △ABC =
7428S △AFC 24+37⎝7⎭
15
根据题意，有S △ABC -S △ABC =7.2，可得S △ABC =336(平方厘米)
528
【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点, 求阴影部分面
积
.
A
B
C B
G
C
【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！
令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P , BI 与CE 的交点为Q , 连接AM 、BN 、CP
⑴求S 四边形ADMI ：在△ABC 中，根据燕尾定理，S △ABM :S △CBM =AI :CI =1:2S △ACM :S △CBM =AD :BD =1:2
设S △ABM =1(份) ，则S △CBM =2(份) , S △ACM =1(份) , S △ABC =4(份) ,
1111
所以S △ABM =S △ACM =S △ABC ，所以S △ADM =S △ABM =S △ABC , S △AIM =S △ABC ,
431212111
所以S 四边形ADMI =(+) S △ABC =S △ABC ,
12126
1
同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ABC 面积的
6
⑵求S 五边形DNPQE ：在△ABC 中，根据燕尾定理
S △ABN :S △ACN =BF :CF =1:2S △ACN :S △BCN =AD :BD =1:2,
11111
所以S △ADN =S △ABN =⨯S △ABC =S △ABC , 同理S △BEQ =S △ABC
3372121
在△ABC 中，根据燕尾定理S △ABP :S △ACP =BF :CF =1:2, S △ABP :S △CBP =AI :CI =1:2 1⎫111⎛11
S △ABC 所以S △ABP =S △ABC ，所以S 五边形DNPQE =S △ABP -S △ADN -S △BEP = --⎪S △ABC =1055⎝52121⎭
1111113
同理另外两个五边形面积是△ABC 面积的，所以S 阴影=1-⨯3- ⨯3=
610570105
【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点, 求中心六边形
面积.
A
A
C
B
G
B
G
C
【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR
在△ABC 中根据燕尾定理，S △ABR :S △ACR =BG :CG . =2:1,
S △ABR :S △CBR =AI :CI =1:2
222
S △ABC , 同理S △ACS =S △ABC , S △CQB =S △ABC 77722211
所以S △RQS =1---=，同理S △MNP =
77777
11131
根据容斥原理，和上题结果S 六边形=+-=
777010所以S △ABR =
课后练习：
练习1. 已知△DEF 的面积为7平方厘米，BE =CE , AD =2BD , CF =3AF ，求△ABC 的面积．
A
D B
E
C
S △BDE :S △ABC =(BD ⨯BE ) :(BA ⨯BC ) =(1⨯1) :(2⨯3) =1:6，【解析】
S △CEF :S △ABC =(CE ⨯CF ) :(CB ⨯CA ) =(1⨯3) :(2⨯4) =3:8S △ADF :S △ABC =(AD ⨯AF ) :(AB ⨯AC ) =(2⨯1) :(3⨯4) =1:6
设S △ABC =24份，则S △BDE =4份，S △ADF =4份，S △CEF =9份，S △DEF =24-4-4-9=7份，恰好是7平方厘米，所以S △ABC =24平方厘米
练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA =AB ，CB =BF ，DC =CG ，HD =DA ，求四边形ABCD
的面积．
H D A E
【解析】 连接BD ．由共角定理得S △BCD :S △CGF
H
D
A E
F
=(CD ⨯CB ) :(CG ⨯CF ) =1:2，即S △CGF =2S △CDB
同理S △ABD :S △AHE =1:2，即S △AHE =2S △ABD 所以S △AHE +S △CGF =2(S △CBD +S △ADB ) =2S 四边形ABCD 连接AC ，同理可以得到S △DHG +S △BEF =2S 四边形ABCD
S 四边形EFGH =S △AHE +S △CGF +S △HDG +S △BEF +S 四边形ABCD =5S 四边形ABCD
所以S 四边形ABCD =66÷5=13.2平方米
练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是
平方厘米．
A
D
E
F
A
D
B
C
E
F
M
【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出∆EBG 和∆CHF 的面积．
B
C
1
由题意可得到：EG :GC =EB :CD =1:2，所以可得：S ∆EBG =S ∆BCE
3
将AB 、DF 延长交于M 点，可得： BM :DC =MF :FD =BF :FC =1:1，
12
而EH :HC =EM :CD =(AB +AB ) :CD =3:2，得CH =CE ，
25
1121
而CF =BC ，所以S ∆CHF =⨯S ∆BCE =S ∆BCE
2255111
S ∆BCE =⨯AB ⨯BC =⨯120=30
224
1177
S 四边形B G H F =S S S S 01=．4
∆E B C ∆E B C ∆E B C ∆E B C 3⨯
51515
EF ，确定H 的位置(也就是FH :HD ) ，同样也能解出．
练习4. 如图，已知AB =AE =4cm ，BC =DC ，∠BAE =∠BCD =90︒，AC =10cm ，则S ∆ABC +S ∆ACE +S ∆CDE =
cm 2．
C
B
C
B
A
E
D
A'
A
E
D
C'
【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形AEC ' 和A ' DC ，再连接A ' C ' ，
显然AC ⊥AC ' ，AC ⊥A ' C ，AC =A ' C =AC ' ，所以ACA ' C ' 是正方形．三角形AEC ' 和三角形A ' DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形ACA ' C ' 中有如下等量关系： S ∆AEC =S ∆A ' DC ' ；S ∆AEC ' =S ∆A ' DC ；S ∆CED =S ∆C ' DE ．
11
所以S ∆ABC +S ∆ACE +S ∆CDE =S ∆AEC ' +S ∆ACE +S ∆CDE =S ACA ' C ' =⨯10⨯10=50cm 2．
22
练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面
积是_____平方厘米．
D
D
E
E
B C
【解析】 连接BH , 根据沙漏模型得BG :GD =1:2, 设S △BHC =1份，根据燕尾定理S △CHD
1277
此S 正方形=（1+2+2) ⨯2=10份，S BFHG =+=，所以S BFHG =120÷10⨯=14(平方厘米).
2366
练习6. 如图，∆ABC 中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若∆ABC 的面积为1，那么四
边形CDMF 的面积是_________．
B C
=2份，S △BHD =2份，因
A
D
N
C
B
A
D
N
B
E
M M
F E F
C
【解析】 由于点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，如果能求出BN 、NM 、MD 三段的比，那
么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF 的面积． 连接CM 、CN ．
根据燕尾定理，S ∆ABM :S ∆ACM =BF :CF =2:1，而S ∆ACM =2S ∆ADM ，所以S ∆ABM =2S ∆ACM =4S ∆ADM ，那么
4
BM =4DM ，即BM =BD ．
5
BM BF 4214147
那么S ∆BMF =． ⨯⨯S ∆BCD =⨯⨯=，S 四边形CDMF =-=
BD BC 5321521530
1111
另解：得出S ∆ABM =2S ∆ACM =4S ∆ADM 后，可得S ∆ADM =S ∆ABD =⨯=，
55210
117
则S 四边形CDMF =S ∆ACF -S ∆ADM =-=．
31030
练习7. 如右图，三角形ABC 中，AF :FB =BD :DC =CE :AE =4:3，且三角形ABC 的面积是74，求角形GHI
的面积．
A
A
F
I
B
D
E
F
C
B
D
E
C
【解析】 连接BG ，S △AGC =12份
根据燕尾定理，S △AGC :S △BGC =AF :FB =4:3=12:9，S △ABG :S △AGC =BD :DC =4:3=16:12
S 12
得S △BGC =9(份) ，S △ABG =16(份) ，则S △ABC =9+12+16=37(份) ，因此△AGC =,
S △ABC 37
同理连接AI 、CH 得
S △ABH 12S △BIC 12S 37-12-12-121
===, , 所以△GHI = S △ABC 37S △ABC 37S △ABC 3737
三角形ABC 的面积是74, 所以三角形GHI 的面积是74⨯
1
=2 37
月测备选
【备选1】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角
边分别为2cm 和4cm ，乙三角形两条直角边分别为3cm 和6cm ，求图中阴影部分的面积．
【解析】 如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之和．所
（3⨯6÷2+4⨯2÷2）=11（cm 2）以阴影部分面积为：3⨯4+6⨯2-
【备选2】 如图所示，矩形ABCD 的面积为36平方厘米，四边形PMON 的面积是3平方厘米，则阴影部分的
面积是 平方厘米．
【解析】 因为三角形ABP 面积为矩形ABCD 的面积的一半，即18平方厘米，三角形ABO 面积为矩形ABCD 的
1
面积的，即9平方厘米，又四边形PMON 的面积为3平方厘米，所以三角形AMO 与三角形BNO 的
4
面积之和是18-9-3=6平方厘米．
又三角形ADO 与三角形BCO 的面积之和是矩形ABCD 的面积的一半，即18平方厘米，所以阴影部分面积为18-6=12(平方厘米) ．
【备选3】 如图，已知BD =3DC ，EC =2AE ，BE 与CD 相交于点O , 则△ABC 被分成的4部分面积各占
△ABC 面积的几分之几？
1E 24.5D 1
C
E 9
13.5
B
D
C
B
3
【解析】 连接CO , 设S △AEO =1份，则其他部分的面积如图所示，所以S △ABC
12+4.5139313.59
按从小到大各占△ABC 面积的, =, =, =
[1**********]020
=1+2+9+18=30份，所以四部分
【备选4】 如图，在△ABC 中，延长AB 至D ，使BD =AB ，延长BC 至E ，使CE =
1
BC ，F 是AC 的中点，2
若△ABC 的面积是2，则△DEF 的面积是多少？
A F
B
D
【解析】 ∵在△ABC 和△CFE 中，∠ACB 与∠FCE 互补，
S AC ⋅BC 2⨯24
==． ∴△ABC =
S △FCE FC ⋅CE 1⨯11
又S
ABC
C
E
=2，所以S
FCE
=0.5．
同理可得S △ADF =2，S △BDE =3．
所以S △DEF =S △ABC +S △CEF +S △DEB -S △ADF =2+0.5+3-2=3.5
【备选5】 如图，BD :DC =2:3, AE :CE =5:3, 则AF :BF =
A
C
F B
D
【解析】 根据燕尾定理有S △ABG :S △ACG =2:3=10:15, S △ABG :S △BCG
S △ACG :S △BCG =15:6=5:2=AF :BF
=5:3=10:6, 所以
【备选6】 如图在△ABC 中，
△GHI 的面积DC EA FB 1
的值． ===, 求
△ABC 的面积DB EC FA 3
A
E
H
F
B
G D
C
B F
G D
C
H A
E
【解析】 连接BG , 设S △BGC =1份，根据燕尾定理S △AGC :S △BGC =AF :FB =3:1, S △ABG :S △AGC =BD :DC =3:1, 得
S 3
S △AGC =3(份) ，S △ABG =9(份) , 则S △ABC =13(份) ，因此△AGC =, 同理连接AI 、CH 得
S △ABC 13
S △ABH S 3
=13, △BIC =, S △ABC S △ABC 13
所以
S △GHI 13-3-3-34
== S △ABC 1313