考研数学线代定理公式总结
概念、性质、定理、公式必须清楚,解法必须熟练,计算必须准确
⎧A 可逆 ⎪
⎪r (A ) =n ⎪⎪
A 的列(行)向量线性无关 ⎪A 的特征值全不为0 A ≠0⇔⎪⎪⎨Ax =ο只有零解 ⇔ ∀x ≠ο,Ax ≠ο
⎪
∀β∈R n
, Ax =β总有唯一解 ⎪⎪
A T A 是正定矩阵 ⎪A ≅E ⎪⎪A =p 1p 2⋅⋅⋅p s p i
是初等阵
⎪⎩存在n 阶矩阵B , 使得AB =E 或 AB =E
○
注:全体n 维实向量构成的集合R n
叫做n 维向量空间. ⎧A 不可逆 ⎪
r (A A =0⇔⎪⎪
)
○
注 aE +bA =ο⇔⎪
⎨(aE +bA ) x =ο有非零解 ⎪⎩
λ=-a
向量组等价⎫
⎪
矩阵等价(≅) ⎪具有
→反身性、对称性、传递性 ⎬−−−
矩阵相似( ) ⎪矩阵合同( ) ⎪⎭
√ 关于e 1, e 2, ⋅⋅⋅, e n :
①称为 的标准基, 中的自然基,单位坐标向量p 教材87; ②e 1, e 2, ⋅⋅⋅, e n 线性无关; ③e 1, e 2, ⋅⋅⋅, e n =1; ④tr E =n ;
⑤任意一个n 维向量都可以用e 1, e 2, ⋅⋅⋅, e n 线性表示.
n
n
a 11
D n =
a 12 a 1n a 22 a 2n
a n 2 a nn
=
j 1j 2 j n
a 21 a n 1
∑(-1) τ(j 1j 2 j n ) a 1j 1a 2j 2 a nj n
√ 行列式的计算:
①行列式按行(列)展开定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
②若A 与B 都是方阵(不必同阶), 则
A O A *A O
===A B O B O B *B O
A B O
=*
A B O
=(-1) mn A B
(拉普拉斯展开式)
③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
*
④关于副对角线:
a 1n
a 2n -1
=O
O
a 2n -1
a n 1
a 1n
=(-1) O
n (n -1) a 1n a 2n a n 1 (即:所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和)
a n 1
1x 1
⑤范德蒙德行列式:x 12
1x 2
2x 2
1
2
=∏(x i -x j )
x n
1≤j
x n
x 1n -1
n -1n -1x 2 x n
⎛a 11
a 21 由m ⨯n 个数排成的m 行n 列的表A = ⎝a m 1
⎛A 11 A = 12 ⎝A 1n
A 21 A 22 A 2n
a 12a 22 a m 2
a 1n ⎫
⎪
a 2n ⎪
称为m ⨯n 矩阵. 记作:A =(a ij )或A m ⨯n
m ⨯n ⎪
⎪
a mn ⎭
A =A ij
*
()
T
A n 1⎫⎪
A n 2⎪
,A ij 为A 中各个元素的代数余子式. ⎪⎪
A nn ⎭
√ 逆矩阵的求法:
主 换位⎛a b ⎫1⎛d -b ⎫A *-1
注: =① A = ○ ⎪ ⎪
c d -c a ad -bc A 副 变号⎝⎭⎝⎭
初等行变换
②(A E ) −−−−→(E A -1)
-1
⎛a 1
③ ⎝
a 2
-1
⎛a ⎫
1
⎪
⎪=
a 3⎪ ⎭⎝
m
n
1
2
⎫⎛⎪ ⎪ ⎪ a 1⎪⎝33⎭
(A m ) n =(A ) mn
a 2
-1
⎛a 1⎫
⎪
⎪=
⎪1 ⎭⎝1
a 3
12
⎫⎪⎪ ⎪⎪⎭
√ 方阵的幂的性质:A A =A
m +n
√ 设A m ⨯n , B n ⨯s , A 的列向量为α1, α2, ⋅⋅⋅, αn , B 的列向量为β1, β2, ⋅⋅⋅, βs ,
则
AB =C m ⨯s
⇔
⎛b 11b 12 b 1s ⎫ ⎪b b b 21222s ⎪=(c , c , , c )(α1, α2, ⋅⋅⋅, αn ) 12s ⎪ ⎪b b b ns ⎭⎝n 1n 2
1
⇔
A βi =c i
,
(i =1,2, , s ) ⇔
βi
为
Ax =c i
的解
⇔A (β1, β⋅2, ⋅s )⋅, β(A =
βA ,
2
)βs , (⋅A
T
c 2, , , c c ⋅, ⋅β)c 1⇔s c c =, α1, α2, ⋅⋅⋅, αn 线性表示. 即:C 的列向量能由A 的列向量线性表示,B 为系数矩阵. 1, s 可由2,
同理:C 的行向量能由B 的行向量线性表示,A 为系数矩阵.
⎛a 11
a 21
即:
⎝a n 1
a 12a 22 a n 2
a 1n ⎫⎛β1⎫⎛c 1⎫⎧a 11β1+a 12β2+ +a 1n β2=c 1
⎪⎪ ⎪⎪a β+a β+ +a β=c a 2n ⎪β2⎪ c 2⎪⎪2112222n 22
= ⇔⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ a mn ⎭⎝βn ⎭⎝c m ⎭⎩a m 1β1+a m 2β2+ +a mn β2=c m
√ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵, 相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量;
○○
用对角矩阵Λ右乘一个矩阵, 相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
○○
⎛A B ⎫⎛A T
√ 分块矩阵的转置矩阵: ⎪= T
⎝C D ⎭⎝B
⎛A -1⎛A ⎫
分块矩阵的逆矩阵: ⎪=
B ⎝⎭⎝
⎛A -1⎛A C ⎫ ⎪= ⎝O B ⎭⎝O
-1-1
T
C T ⎫
T ⎪D ⎭
⎫⎛ ⎪ B -1⎭⎝B
A ⎫⎛
= -1⎪⎭⎝A
-1-1
B -1⎫
⎪ ⎭
⎛A -1A -1CB -1⎫O ⎫⎛A O ⎫= ⎪ -1-1⎪ ⎪
B ⎭B ⎭⎝C B ⎭⎝-B CA
⎛A 11
分块对角阵相乘:A =
⎝⎫⎛B 11⎪, B = A 22⎭⎝
*
⎫⎛A 11B 11
⎪⇒AB = B 22⎭⎝
⎫⎛
⎪ AB *⎭⎝B
*
n
⎫n ⎛A 11⎪, A = A 22B 22⎭⎝⎫
n ⎪A 22⎭
⎛A ⎫⎛BA *
分块对角阵的伴随矩阵: ⎪=
B ⎭⎝⎝A ⎫⎛
⎪= mn *
⎭⎝(-1) B A (-1) mn A B *⎫
⎪⎪ ⎭
√ 矩阵方程的解法(A ≠0) :设法化成(I)AX =B 或 (II)XA =B (I)的解法:构造(A B ) −−−−→(E X )
初等行变换
(II)的解法:将等式两边转置化为A T X T =B T , 用(I)的方法求出X ,再转置得X
T
① 零向量是任何向量的线性组合, 零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关.
③ 部分相关, 整体必相关;整体无关, 部分必无关. (向量个数变动)
④ 原向量组无关, 接长向量组无关;接长向量组相关, 原向量组相关. (向量维数变动) ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关p 教材114. ⑥ 向量组α1, α2, ⋅⋅⋅, αn 中任一向量αi (1≤i ≤n ) 都是此向量组的线性组合.
⑦ 向量组α1, α2, ⋅⋅⋅, αn 线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余n -1个向量线性表示. 向量组α1, α2, ⋅⋅⋅, αn 线性无关⇔向量组中每一个向量αi 都不能由其余n -1个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组α1, α2, ⋅⋅⋅, αn 线性相关⇔r (A )
⑨ 若α1, α2, ⋅⋅⋅, αn 线性无关,而α1, α2, ⋅⋅⋅, αn , β线性相关, 则β可由α1, α2, ⋅⋅⋅, αn 线性表示, 且表示法唯一. ⑩ 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
可画出一条阶梯线,线的下方全为0;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.
当非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其他元素都是0⑪ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩, 且不改变列向量间的线性关系; 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩, 且不改变行向量间的线性关系. 即:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.
√ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系:
对A 施行一次初等行变换得到的矩阵, 等于用相应的初等矩阵左乘A ; 对A 施行一次初等列变换得到的矩阵, 等于用相应的初等矩阵右乘A .
如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式,且任意r +1阶子式均为零,则称矩阵A 的秩为r . 记作r (A ) =r
向量组α1, α2, , αn 的极大无关组所含向量的个数,称为这个向量组的秩. 记作r (α1, α2, , αn
)
○○
○○
B
A 经过有限次初等变换化为B . 记作:A =
α1, α2, ⋅⋅⋅, αn 和β1, β2, ⋅⋅⋅, βn 可以相互线性表示. 记作:(α1, α2, ⋅⋅⋅, αn )= (β1, β2, ⋅⋅⋅, βn )
⑫ 矩阵A 与B 等价⇔PAQ =B ,P , Q 可逆⇔r (A ) =r (B ), A , B 为同型矩阵≠>A , B 作为向量组等价, 即:秩相等的向量组不一定等价.
矩阵A 与B 作为向量组等价⇔r (α1, α2, ⋅⋅⋅, αn ) =r (β1, β2, ⋅⋅⋅, βn ) =r (α1, α2, ⋅⋅⋅αn , β1, β2, ⋅⋅⋅, βn ) ⇒ 矩阵A 与B 等价.
⑬ 向量组β1, β2, ⋅⋅⋅, βs 可由向量组α1, α2, ⋅⋅⋅, αn 线性表示⇔AX =B 有解⇔r (α1, α2, ⋅⋅⋅, αn )=r (α1, α2, ⋅⋅⋅αn , β1, β2, ⋅⋅⋅, βs ) ⇒r (β1, β2, ⋅⋅⋅, βs ) ≤r (α1, α2, ⋅⋅⋅, αn ) . ⑭ 向量组β1, β2, ⋅⋅⋅, βs 可由向量组α1, α2, ⋅⋅⋅, αn 线性表示, 且s >n ,则β1, β2, ⋅⋅⋅, βs 线性相关.
向量组β1, β2, ⋅⋅⋅, βs 线性无关, 且可由α1, α2, ⋅⋅⋅, αn 线性表示, 则s ≤n .
⑮ 向量组β1, β2, ⋅⋅⋅, βs 可由向量组α1, α2, ⋅⋅⋅, αn 线性表示, 且r (β1, β2, ⋅⋅⋅, βs ) =r (α1, α2, ⋅⋅⋅, αn ) , 则两向量组等价;p 教材94, 例10 ⑯ 任一向量组和它的极大无关组等价. 向量组的任意两个极大无关组等价.
⑰ 向量组的极大无关组不唯一,但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑱ 若两个线性无关的向量组等价, 则它们包含的向量个数相等. ⑲ 设A 是m ⨯n 矩阵, 若r (A ) =m ,A 的行向量线性无关;
若r (A ) =n ,A 的列向量线性无关, 即:α1, α2, ⋅⋅⋅, αn 线性无关. √ 矩阵的秩的性质:
①若A ≠O ⇔r (A ) ≥1 若A =O ⇔r (A ) =0 0≤r (A m ⨯n ) ≤min(m , n ) ③r (kA ) =r (A ) 若k ≠0
④若A B =0⇒⎧⎨r (A ) +r (B ) ≤n
m ⨯n , n ⨯s , 若r (AB ) ⎩
B 的列向量全部是Ax =0的解
⑤r (AB ) ≤min {r (A ), r (B ) }
⑥
若A 可逆⇒r (AB ) =r (B ) 若B 可逆⇒r (AB ) =r (A )
即:可逆矩阵不影响矩阵的秩.
⎧⎪
⇔Ax =ο 只有零解
⑦若r (A ⎪⎧r (AB ) =r (B )
m ⨯n ) =n ⎨⇒⎪O ⇒B =O
;
⎪⎨⎪⎩⎪A 在矩阵乘法中有左消去律⎧⎩
⎨AB =⎩AB =AC ⇒B =C 若r (B n ⨯s ) =n ⇒⎨
⎧r (AB ) =r (B )
⎩B 在矩阵乘法中有右消去律.
②r (A ) =r (A T ) =r (A T A ) p 教材101, 例15
⎛E r
⑧若r (A ) =r ⇒A 与唯一的
⎝O O ⎫⎛E r ⎪等价,称 O ⎭⎝O O ⎫
⎪为矩阵A 的等价标准型. O ⎭
⑨r (A ±B ) ≤r (A ) +r (B ) max {r (A ), r (B ) }≤r (A , B ) ≤r (A ) +r (B ) p 教材70 ⑩r
⎛A O ⎫⎛O A ⎫⎛A C ⎫
==r (A ) +r (B ) r ⎪ ⎪ ⎪≠r (A ) +r (B )
O B B O O B ⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎧
⎪⎪
β可由α1, α2, , αn 线性表示⇔Ax =β有解⇔r (A ) =r (A β) ⎨
⎪⎪=n ⎪⎪⎩
当A 为方阵时
⇔Ax =β有无穷多解−−−−−→A =0
⇔表示法不唯一
⇒α1, α2, , αn 线性相关⇔Ax =0有非零解
当A 为方阵时⇔Ax =β有唯一组解−−−−−→A ≠0⇒克莱姆法则
⇔表示法唯一 ⇒α1, α2, , αn 线性无关⇔Ax =ο只有零解
⎧⇔r (A ) ≠r (A β)
⎪
β不可由α1, α2, , αn 线性表示⇔Ax =β无解⎨⇔r (A )
⎪⇔r (A ) +1=r (A β)
讲义87⎩
注
:○
⇒
Ax =β有无穷多解其导出组有非零解
Ax
=β有唯一解其导出组只有零解
Ax =βx 1α1+x 2α2+ +x n αn =β
⎛a 11 a A = 21
⎝a m 1
a 12a 22 a m 2
a 1n ⎫⎛α1j ⎫⎛x 1⎫⎛b 1⎫
⎪⎪ ⎪ ⎪α a 2n ⎪x b 2j ⎪
, j =1, 2, , n , x = 2⎪, β= 2⎪ αj = ⎪⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ α⎪⎪ a mn ⎭x b ⎝n ⎭⎝m ⎭⎝mj ⎭
⎛x 1⎫ ⎪x 2⎪ =β (α1, α2, , αn )
⎪ ⎪⎝x n ⎭
⎧(1) η1, η2是Ax =ο的解, η1+η2也是它的解⎫⎪⎪(2) η是Ax =ο的解, 对任意k , k η也是它的解⎪⎪齐次方程组⎪(3) η, η, , η是Ax =ο的解, 对任意k 个常数⎬
12k ⎪⎪
⎪⎪ λ1, λ2, , λk , λη11+λ2η2+λk ηk 也是它的解⎭
⎪⎪⎪
线性方程组解的性质:⎨(4) γ是Ax =β的解, η是其导出组Ax =ο的解, γ+η是Ax =β的解
⎪(5) η, η是Ax =β的两个解, η-η是其导出组Ax =ο的解
1212⎪
⎪(6) η2是Ax =β的解, 则η1也是它的解⇔η1-η2是其导出组Ax =ο的解⎪
⎪(7) η1, η2, , ηk 是Ax =β的解, 则
⎪ λη+λη+λη也是Ax =β的解⇔λ+λ+λ=1
1122k k 12k
⎪⎪11+λ2η2+λk ηk 是Ax =0的解⇔λ1+λ2+λk =0⎩ λη
√ 设A 为m ⨯n 矩阵, 若r (A ) =m ⇒r (A ) =r (A β) ⇒Ax =β一定有解,
当m
方程个数未知数的个数
向量维数向量个数
√ 判断η1, η2, , ηs 是Ax =ο的基础解系的条件: ① η1, η2, , ηs 线性无关; ② η1, η2, , ηs 都是Ax =ο的解;
③ s =n -r (A ) =每个解向量中自由未知量的个数.
√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.
√ 若η是Ax =β的一个解,ξ1, ξ, , ξs 是Ax =ο的一个解⇒ξ1, ξ, , ξs , η*线性无关 √ Ax =ο与Bx =ο同解(A , B 列向量个数相同), 则:
① 它们的极大无关组相对应, 从而秩相等; ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性; ③ 它们有相同的内在线性关系.
√ 两个齐次线性线性方程组Ax =ο与Bx =ο同解⇔r
*
⎛A ⎫
⎪=r (A ) =r (B ) . ⎝B ⎭
⎛A β⎫
⎪=r (A ) =r (B ) . ⎝B γ⎭
√ 两个非齐次线性方程组Ax =β与Bx =γ都有解,并且同解⇔r
√ 矩阵A m ⨯n 与B l ⨯n 的行向量组等价⇔齐次方程组Ax =ο与Bx =ο同解⇔PA =B (左乘可逆矩阵P );p 教材101 矩阵A m ⨯n 与B l ⨯n 的列向量组等价⇔AQ =B (右乘可逆矩阵Q ). √ 关于公共解的三中处理办法:
① 把(I)与(II)联立起来求解;
② 通过(I)与(II)各自的通解,找出公共解;
当(I)与(II)都是齐次线性方程组时,设η1, η2, η3是(I)的基础解系, η4, η5是(II)的基础解系,则 (I)与(II)有公共解⇔基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.
即:r (η1, η2, η3) =r (η1, η2, η3 c 1η4+c 2η5)
当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时,设ξ1+c 1η1+c 2η2是(I)的通解,ξ2+c 3η3是(II)的通解,两方程组有公共解⇔ξ2+c 3η3-ξ1可由η1, η2线性表示. 即:r (η1, η2) =r (η1, η2 ξ2+c 3η3-ξ1)
③ 设(I)的通解已知,把该通解代入(II)中,找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共
解。
n 个n 维线性无关的向量, 两两正交, 每个向量长度为1.
(α
, β) =
∑a b =
i i i =1
n
(α, β) =0. 记为:α⊥
β
==∑a i 2=i =1
n
α==1. 即长度为1的向量.
√ 内积的性质: ① 正定性:(α, α) ≥0, 且(α, α) =0⇔α=ο ② 对称性:(α, β) =(β, α)
③ 双线性:(α, β1+β2) =(α, β1) +(α, β2) (α1+α2, β) =(α1, β) +(α2, β) (c α, β) =c (α, β) =(α, c β)
λE -A .
λE -A =ϕ(λ) .
√ ϕ(λ) 是矩阵A 的特征多项式⇒ϕ(A ) =O
λE -A =0. Ax =λx (x 为非零列向量) → Ax 与x 线性相关
√
A =λ1λ2 λn
∑λ
1
n
i
=tr A ,tr A 称为矩阵A √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.
√ 若A =0, 则λ=0为A 的特征值, 且Ax =ο的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.
⎛a 1⎫ ⎪a 2⎪ b 1, b 2, , b n )、A 2=(a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n ) A , 从而A 的特征值为:√ r (A ) =1⇔A 一定可分解为A =( ⎪ ⎪⎝a n ⎭
λ1=tr A =a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n , λ2=λ3= =λn =0 p 指南358.
注(a , a , , a )为A 各行的公比,(b , b , , b )为A 各列的公比. ○12n 12n
T
√ 若A 的全部特征值λ1, λ2, , λn ,f (A ) 是多项式, 则:
① 若A 满足f (A ) =O ⇒A 的任何一个特征值必满足f (λi ) =0
②f (A ) 的全部特征值为f (λ1), f (λ2), , f (λn ) ;f (A ) =f (λ1) f (λ2) f (λn ) .
√ 初等矩阵的性质:
√ 设f (x ) =a m x m +a m -1x m -1+ +a 1x +a 0,对n 阶矩阵A 规定:f (A ) =a m A m +a m -1A m -1+ +a 1A +a 0E 为A 的一个多项式.
k λ ⎧kA
⎪a λ+b ⎪aA +bE ⎪A T λ ⎪1
√ λ是A 的特征值, 则:⎨A -1分别有特征值. ⎪A λ1λ2 λ3*
A = ⎪
⎪A 2λ2 ⎪m m
A λ ⎩
k λ ⎧kA
⎪a λ+b ⎪aA +bE
-1⎪ ⎪A
√ x 是A 关于λ的特征向量, 则x 也是⎨关于的特征向量. *A λ1λ2 λ3
A ⎪=2⎪A λ2 ⎪m m
A λ ⎪⎩
√ A 2, A m 的特征向量不一定是A 的特征向量. √ A 与A 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.
T
P -1AP =B (P 为可逆矩阵) 记为:A
B P -1AP =B (P 为正交矩阵)
A 与对角阵Λ相似. 记为:A
Λ (称Λ是A
√ A 可相似对角化⇔n -r (λi E -A ) =k i k i 为λi 的重数⇔A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时, P 为A 的特征向量拼成的矩阵,P AP 为对角阵, 主对角线上的元素为A 的特征值. 设αi 为对应于λi 的线性无关的特征向量, 则有:
-1
⎛λ1
A (α1, α2, , αn ) =(A α1, A α2, , A αn ) =(λ1α1, λ2α2, , λn αn ) =(α1, α2, , αn )
⎝
P
P
λ2
⎫
⎪⎪. ⎪
⎪λn ⎭
Λ
注:当λ=0为A 的重的特征值时,A 可相似对角化⇔λ的重数=n -r (A ) = Ax =ο基础解系的个数. ○i i
√ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值⇒A 可相似对角化.
√ 若A 可相似对角化, 则其非零特征值的个数(重根重复计算)=r (A ) .
⎛g (λ1) ⎫
⎪
g (λ) 2-1k k -1⎪P -1 √ 若A Λ⇒A =P ΛP ,g (A ) =Pg (Λ) P =P
⎪ ⎪
g (λ) n ⎭⎝
√ 相似矩阵的性质:
①
λE -A =λE -B , 从而A , B 有相同的特征值, 但特征向量不一定相同.
注x 是A 关于λ的特征向量, P x 是B 关于λ的特征向量. ○00
-1
②tr A =tr B
③A =B 从而A , B 同时可逆或不可逆 ④r (A ) =r (B )
⑤A B ;A B (若A , B 均可逆);A B ⑥A B (k 为整数);f (A ) f (B ) ,f (A ) =f (B )
k
k
T
T
-1
-1
*
*
⎛A ⎫⎛B
⑦A B , C D ⇒ ⎪
C ⎝⎭⎝
注前四个都是必要条件. ○
⎫
⎪ D ⎭
√ 数量矩阵只与自己相似. √ 实对称矩阵的性质:
① 特征值全是实数, 特征向量是实向量;
② 不同特征值对应的特征向量必定正交;
注:对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关; ○
③一定有n 个线性无关的特征向量.
若A 有重的特征值, 该特征值λi 的重数=n -r (λi E -A ) ;
④必可用正交矩阵相似对角化,即:任一实二次型可经正交变换化为标准形; ⑤与对角矩阵合同,即:任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形; ⑥两个实对称矩阵相似⇔有相同的特征值.
AA =E
n
√ A 为正交矩阵⇔A 的n 个行(列)向量构成 的一组标准正交基.
T
√ 正交矩阵的性质:① A =A ;
② AA =A A =E ;
③ 正交阵的行列式等于1或-1;
④ A 是正交阵, 则A ,A 也是正交阵; ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵;
⑥ A 的行(列)向量都是单位正交向量组.
f (x 1, x 2, , x n ) =x Ax =
T
T
-1
T
T
T -1
∑∑a x x
ij i
i =1j =1
n n
j
a ij =a ji
,即A 为对称矩阵,x =(x 1, x 2,
, x n ) T
C T AC =B . 记作:A B (A , B 为实对称矩阵, C
为可逆矩阵)
二次型的规范形中正项项数p r -p 2p -r (r 为二次型的秩)
√ 两个矩阵合同⇔它们有相同的正负惯性指数⇔他们的秩与正惯性指数分别相等. √ 两个矩阵合同的充分条件是:A B √ 两个矩阵合同的必要条件是:r (A ) =r (B )
正交变换
√ f (x 1, x 2, , x n ) =x Ax 经过合同变换
T
x =Cy 化为f =∑
d i y i 21
n
可逆线性变换
√ 二次型的标准形不是唯一的, 与所作的正交变换有关, 但非零系数的个数是由√ 当标准形中的系数d i 为-1或0或1时,
√ 实对称矩阵的正(负)惯性指数等于它的正(负)特征值的个数.
⎛1
1与唯一对角阵
⎝
r (A )
正惯性指数+负惯性指数
唯一确定的.
√ 惯性定理:任一实对称矩阵A
-1
⎫
⎪⎪
⎪合同. ⎪⎪⎪⎪
-1⎪
⎪0
⎪ ⎪
0⎪⎭
√ 用正交变换化二次型为标准形:
① 求出A 的特征值、特征向量; ② 对n 个特征向量正交规范化;
⎛y 1⎫
⎪y
(Cy ) T A (Cy ) =y T C T ACY =y -1C T ACY = 2⎪
⎪ ⎪
x =Cy ⎝y n ⎭③ 构造C (正交矩阵), 作变换, 则
T
⎛d 1⎫⎛y 1⎫
⎪⎪
d 2 ⎪y 2⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪
d n ⎭⎝y n ⎭⎝
④ 新的二次型为
f =∑d i y i 2
1
n
, Λ的主对角上的元素
d i 即为A 的特征值.
α1, α2, α3线性无关,
⎧β1=α1
⎪⎪⎪(α, β)
正交化⎨β2=α2-21β1
(β1, β1) ⎪
⎪(α3, β1) (α3, β2) β=α-β-β2⎪331
(β1, β1) (β2, β2) ⎩
单位化:η1=
ββ1β
η2=2 η3=3 β1β2β3
技巧:取正交的基础解系,跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交,再把第二个解向量代入方
⎛-1⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪
程,确定其自由变量. 例如:x 1+x 2-x 3=0取β1= 1⎪,β2= 1⎪.
0⎪ 2⎪⎝⎭⎝⎭
x 1, x 2, , x n 不全为零,f (
x 1, x 2, , x n ) >0. 正定二次型对应的矩阵.
√ f (x ) =x T Ax 为正定二次型⇔(之一成立):
① ∀x ≠ο ,x T
Ax >0;
② A 的特征值全大于0; ③ f 的正惯性指数为n ; ④ A 的所有顺序主子式全大于0;
⑤ A 与E 合同,即存在可逆矩阵C 使得C T
AC =E ;
⑥ 存在可逆矩阵P ,使得A =P T
P ;
⎛ λ1⎫⑦ 存在正交矩阵C ,使得C T AC =C -1AC = λ⎪
2 ⎪ ⎪⎝
λ⎪
n ⎭⑧ 合同变换不改变二次型的正定性.
√ A 为正定矩阵⇒a ii >0 ; A >0. √ A 为正定矩阵⇒A T , A -1, A *也是正定矩阵. √ A 与B 合同,若A 为正定矩阵⇒B 为正定矩阵
√ A , B 为正定矩阵⇒A +B 为正定矩阵,但AB , BA 不一定为正定矩阵.
λi
大于0). (