函数周期的常用求法
三角函数周期的常用求法
一、 公式法
对于函数y =A sin(ωx +ϕ) +B 或y =A cos(ωx +ϕ) +B 的周期公式是T =
2π
， |ω|
对于函数y =A tan(ωx +ϕ) +B 或y =cot(ωx +ϕ) +B 的周期公式是T =
例1 函数y =π． |ω|
π
x
-的最小正周期是 （ ） 32
2π
=4π，故选Ｄ． 1-2
2π
求
Ａ．π Ｂ．２π Ｃ．－４π Ｄ．４π 解：由公式，得T =
评注：对于函数y =A sin(ωx +ϕ) 或y =A cos(ωx +ϕ) 可直接利用公式T =
得；对于y =A tan(ωx +ϕ) 或y =A cot(ωx +ϕ) 可直接利用公式T =
二、图像法
例２ 求下列函数的最小正周期
① y =sin x ②y sin x 解：分别作出两个函数的图像知
①y =sin x 的周期T =π②y =sin x 不是周期函数
π
求得。 ω
评注：对于一些含有绝对值的三角函数周期问题，常可借助于三角函数的图像来解决． 二、 定义法
例３ 求函数y =sin x +cos x 的最小正周期
解：∵ sin(x +
k πk π
+cos(x +＝sin x +cos x （k ∈Z ） 22
k πk ππ是函数y =sin x +cos x 的周期．显然中最小者是 222π
下面证明是最小正周期
2ππ
假设不是y =sin x +cos x 的最小正周期，则存在0
22
∴
f (x +T ) =sin(x +T ) +cos(x +T ) ＝sin x +cos x 对x ∈R 恒成立，
令x =0，则f (0+T ) =sin T +cos T ＝sin T +cos T =sin 0+cos 0=1 ①
π
，∴sin T +cos T >1 ② 2
π
∴ ①与②矛盾， ∴ 假设不成立，∴是y =sin x +cos x 最小正周期．
2
但0
评注：这种方法依据周期函数的定义，从式子f (x +T ) =f (x ) 出发，设法找出周期T 中的最小正数（须用反证法证明）．
四、转化法
1、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期
例４求函数y =23sin x cos x -2sin x 的周期
解：y =23sin x cos x -2sin x =sin 2x +cos 2x -1
2
2
=2(
∴ T =
1π
sin 2x +cos 2x ) -1=2sin(2x +) -1 226
2π
=π． 2
6
6
变式 求函数y =sin x +cos x 的最小正周期
解：∵ y ＝(sinx +cos x ) -(3sin x cos x +3sin x cos x ) ＝1-3(sinx cos x ) (sinx +cos x ) =1- ＝
2
2
2
2
2
3
4
2
2
4
3
(1-cos 4x ) 8
53
+cos 4x 88
6
6
∴ 函数y =sin x +cos x 的最小正周期是T =
2ππ= 42
评注：就是先根据三角公式已知式转化为一个脚的一个三角函数的形式，再利用公式去
求．这是最常见的求周期题型，也是高考考察的热点． 2、遇到绝对值时，可利用公式 |a |=
例5求函数 y =|cos x |的周期
a 2, 化去绝对值符号再求周期
解：∵ y =|cos x |=
∴ T =
cos 2x =
1+cos 2x
2
2π
=π ． 2
例6求函数y =|sin x |+|cos x |的周期 解：∵y =|sin x |+|cos x |= =+
|sin x |+|cos x |2
=+|sin 2x |=+sin 22x
-cos 4x 1
=+(1-cos 4x ) 22
∴ 函数y =|sin x |+|cos x |的最小正周期 T =
五、最小公倍数法
例7 求函数y =sin3x +cos5x 的最小整周期
2ππ
=． 42
解：设sin3x 、cos5x 的最小整周期分别为T 1、T 2， 则T 1=
2π2π2π
，T 2=，T =＝2π 351
∴y =sin3x +cos5x 的最小整周期为2π
评注：设f (x ) 与g (x ) 是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T 1、T 2分别是它们的周期，且T 1≠T 2，则f (x ) ±g (x ) 的最小整周期是T 1、T 2的最小公倍数．
分数的最小公倍数＝
分子的最小公倍数
分母的最小公倍数
抽象函数的周期的求法
象函数指解析式没有明确给出的一类函数，对于此类函数性质的研究，须充分运用题目条件，寻找问题的切入点，本文谈谈确定抽象函数周期的几种方法. 重点谈以下几类问题：对于函数f (x ) ，如果对于定义域中的任意x ，⑴若满足f (x +a ) +f (x +b ) =0（a ≠b ），则周期T =2(b -a ) ；⑵若满足f (x +a ) =f (a -x ), f (x +b ) =f (b -x ) （a ≠b ），即函数图象有x =a , x =b 两条对称轴，则周期T =2(b -a ) ；⑶若满足f (x +a ) ⋅f (x +b ) =1（a ≠b ），则周期T =2(b -a ) ；若满足f (x +a ) ⋅f (x +b ) =-1（a ≠b ），则周期
T =2(b -a ) ；⑷若满足f (x +a ) =
1+f (x +b )
（a ≠b ），则周期T =4(b -a ) .
1-f (x +b )
一、函数值之和等于零型，即函数f (x ) 满足f (x +a ) +f (x +b ) =0（a ≠b ） 对于任意x 满足f (x +a ) +f (x +b ) =0（a ≠b ），即f (x +a ) =-f (x +b ) ，则
f (x +2a ) =f [(x +a ) +a ]=-f [(x +a ) +b ]=-f [(x +b ) +a ]=f [(x +b ) +b ]，即f (x +2a ) =f (x +2b ) =f [(x +2a ) +2b -2a ]，等价于f (x +2b -2a ) =f (x ) ，故函数f (x ) 的周期T =2(b -a ) .
例1（05年天津卷16）设函数f (x ) 是R 上的奇函数，且y =f (x ) 的图象关于直线x =对称，则f (0) +f (1) +f (2) +f (3) +f (4) +f (5) 等于 .
1
2
111
对称，则f (+x ) =f (-x ) （*），函数f (x ) 222
1111
是R 上的奇函数，则f (-x ) =-f (-+x ) ，（*）式即f (+x ) +f (-+x ) =0，
2222
111
（*）式中令x =可得f (1) =f (0) =0，b =, a =-，f (x ) 的周期T =2(b -a ) =2. 在
222
解析 y =f (x ) 的图象关于直线x =
利用函数的周期为2，则f (0) =f (2) =f (4) =0=f (1) =f (3) =f (5) ，因此，
f (0) +f (1) +f (2) +f (3) +f (4) +f (5) =0.
二、函数图象有x =a , x =b （a ≠b ）两条对称轴型
函数图象有x =a , x =b 两条对称轴，即f (x +a ) =f (a -x ), f (x +b ) =f (b -x ) ，改写为f (x +a ) =f (a -x ) =f [b -(x -a +b )]=f [b +(x -a +b )]=f (x +2b -a ) ，即
f (x +a ) =f [(x +a ) +2b -2a ]，等价于f (x +2b -2a ) =f (x ) ，周期T =2(b -a ) .
例2（05年广东卷19）函数f (x ) 在(-∞, +∞) 上满足关系式f (2+x ) =f (2-x ) ，
f (7+x ) =f (7-x ) ，且在闭区间[0, 7]上，只有f (1) =f (3) =0.
（1）判断函数y =f (x ) 的奇偶性；（2）求方程f (x ) =0在闭区间[-2005, 2005]上根的个数，并证明你的结论.
解析 函数f (x ) 满足f (2+x ) =f (2-x ), f (7+x ) =f (7-x ) （*），则f (x ) 的图象有x =2, x =7两条对称轴，f (x ) 在闭区间[0, 7]上，只有f (1) =f (3) =0，而f (0) ≠0，
f (7) ≠0，故函数f (x ) 不是奇函数；由对称性和f (1) =f (3) =0得f (11) =f (13) =0，
且f (-7) =f (-9) =0，由f (-7) =0而f (7) ≠0可得函数f (x ) 不是偶函数；因此函数
y =f (x ) 是非奇非偶函数.
由（*）式还可以表示为f (x ) =f (4-x ), f (x ) =f (14-x ) ，由f (4-x ) =f (14-x ) 可知函数f (x ) 的周期T =10（或直接利用上面的结论a =2, b =7，
T =2(b -a ) =10）. f (x ) 在闭区间[0, 7]上，只有f (1) =f (3) =0，f (11) =f (13) =0，
且周期T =10，故方程f (x ) =0在闭区间[0, 10]和[-10, 0]上都有两f (-7) =f (-9) =0，
个解（分别为1, 3和-7, -9），从而方程f (x ) =0在闭区间[0, 2005]上有402个解，在闭区间[-2005, 0]上有400个解，从而方程f (x ) =0在闭区间[-2005, 2005]上根的个数为802个.
三、两个函数值之积等于±1，即函数值互为倒数或负倒数型
若f (x +a ) ⋅f (x +b ) =1，显然f (x +a ) ≠0, f (x +b ) ≠0，则f (x +a ) =
1
，
f (x +b )
即f [(x +a ) +a ]=
111
=，而f [(x +b ) +a ]=，
f [(x +a ) +b ]f [(x +b ) +a ]f [(x +b ) +b ]1
=f [(x +b ) +b ]=f [(x +2a ) +2b -2a ]，即
f [(x +b ) +a ]
因此f [(x +a ) +a ]=
f (x +2a ) =f [(x +2a ) +2b -2a ]，函数f (x ) 的周期T =2(b -a ) ；同理可证，若函数
，则周期T =2(b -a ) . f (x ) 满足f (x +a ) ⋅f (x +b ) =-1（a ≠b ）
例3 已知函数f (x ) 是R 上的偶函数，且f (x +2) ⋅f (x ) =1，f (x ) >0恒成立，则
f (119) 的值等于解析 由f (x +2) ⋅f (x ) =1可知f (x +4) =
1
=f (x ) ，函数f (x ) 的周期为4，
f (x +2)
函数f (x ) 是R 上的偶函数且f (x ) >0，则f (-1) =f (1) ，f (119) =f (120-1) =f (-1) ，
在f (x +2) ⋅f (x ) =1中，令x =-1得f (-1) ⋅f (1) =f (-1) =1，f (-1) =1，f (119) =1.
四、分式型，即函数f (x ) 满足f (x +a ) =
2
1+f (x +b )
（a ≠b ）
1-f (x +b )
由f (x +a ) =
1+f (x +b ) 1+f (x +a +b )
（a ≠b ），则f (x +a +a ) =（*），
1-f (x +b ) 1-f (x +a +b )
1+f [(x +b ) +b ]-1
，代入（*）式得f (x +2a ) =，
1-f [(x +b ) +b ]f (x +2b )
f (x +a +b ) =f [(x +b ) +a ]=
即f (x +2a ) ⋅f (x +2b ) =-1，由上面的类型三，求出周期T =4(b -a ) .
例4．已知函数f (x ) 在(-∞, +∞) 上满足关系式f (x +2) =
1+f (x )
. 若
1-f (x )
f (1) =2+，则f (2005) 等于解析 由题意f (x +2+2) =
1+f (x +2) 1+f (x )
（*），将f (x +2) =代入（*）式整
1-f (x +2) 1-f (x )
理得f (x +4) =
11
，所以f (x +8) ==f (x ) ，函数f (x ) 的周期为8，
-f (x ) -f (x +4)
1-1
==3-2，
-f (1) 2+3
f (2005) =f (250⨯8+5) =f (5) ，f (5) =f (1+4) =f (2005) =3-2.
设计抽象函数周期问题，要注意严密，下面的“函数”就是一个流传十分广的典型错例： 例5 已知定义在(-∞, +∞) 上的奇函数f (x ) 满足关系式f (x +1) =
1-f (x )
. 当
1+f (x )
0
A ．1 B．-1 C．
11 D．- 22
1-f (x )
，
1+f (x )
不少资料选入此题，并给出答案为f (5. 5) =-1，提示思路是：f (x +1) =
则f (x +2) =
1-f (x +1) 1-f (x )
，将f (x +1) =代入可得f (x +2) =f (x ) ，周期为2，
1+f (x +1) 1+f (x )
则f (5. 5) =f (-0. 5) =-f (0. 5) =-1.
显然，如果原函数的周期为2，则周期也可为4，则f (5. 5) =f (1. 5) =
1-f (0. 5)
=0.
1+f (0. 5)
这样，f (5. 5) =-1与f (5. 5) =0都成立，就不是单值函数了，即f (x ) 根本不是函数！
该“函数”的问题还可以这样来得出：函数f (x ) 是(-∞, +∞) 上的奇函数，则f (0) =0，
根据f (x +1) =
1-f (x )
，令x =0则f (1) =1，f (-1) =-1，但f (x ) 的周期为2，必定
1+f (x )
满足f (1) =f (-1) =-f (1) ，则f (1) =f (-1) =0，也能得出互相矛盾的结论来. 本题还可以从函数图象推出矛盾.