关于矢量发展史的一些看法

关于矢量发展史的一些看法

从古至今, 人们都在不断地努力认识我们所生活的自然界, 我们认识的主要任务就在于揭示自然界发生的现象, 以及自然现象发生过程的实质, 进而把握这些现象和过程的规律性. 以便解读它们，并预见新的现象和过程，为在社会实践中合理而有目的地利用自然界的规律开辟各种可能的途径。随着科学技术的不断发展进步, 我们所研究的学科数量也在飞速增长, 但是正如前面所说的一样, 不论哪一门学科, 几乎都有这样一个共性, 那就是我们是在研究其规律性. 自然而然, 我们需要有一种手段或方法来描述我们所研究的对象的特征, 以便能够更加清晰且直观的呈现出其特有的规律. 由于自然现象的多姿多彩, 而我们又需要描述各种各样的事物, 由此, 在这样的迫切需求下, 各种各样的描述量就应运而生, 以便我们用来描述各种特有的现象, 从而通过这些描述量直观地呈现出其现象背后所特有的规律性, 达到我们的认识目的, 为应用提供可能.

在物理学里面或者在数学里, 我们都早就接触过标量和矢量的概念, 并且我们也早就在普遍使用这两种量. 不言而喻, 我们通过标量和矢量的定义也可以看出两者的差别, 那么为什么有了标量之后又需要矢量呢? 原因就在于随着人们对自然界认识的深入, 所描述的自然现象也更加复杂, 在原有的描述量不足以很好的描述我们的研究对象的特征时, 我们自然的需要新的描述手段, 可以预言, 在人类今后的研究道路上, 一定会不断地诞生出更多的能够更好的描述所研究对象的描述量.

根据矢量的定义, 那就是既有大小, 又有方向的量, 物理学中的诸多量, 如力矩, 速度, 位移, 电场强度, 就是矢量的实际例子. 由于矢量能够描绘出很多事物的特征, 但是事物的特征之间有往往有着各种各样的联系, 事物之间往往又存在各种相互作用, 这时, 具有矢量特征的这些

量他们之间的这些相互作用, 相互联系, 又能否通过矢量的一些特定的运算来表示出来呢? 实际上, 我们就是想要把我们所关注事物的相互联系和相互作用, 用他们的描述量的运算来体现, 这样的好处是不言而喻的, 我们可以更加简洁的描述所研究的事物, 并且可以用这样有实际意义的运算来处理更加复杂的相互作用规律. 我们知道, 在小学的时候, 我们就接触了实数的四则运算, 实数其实就是描述一些事物特征的一种重要的量, 如物体的长度, 重量, 体积等信息都是用实数来描述的. 而事物之间的作用关系或者相互联系, 我们可以通过四则运算在在一定程度上进行描绘, 从而有利于我们弄清所研究的事情. 到了初中, 引入了函数的概念, 那么, 虽然我们也许不习惯把函数称为一种量, 但是, 与其它描述量相同的是, 它也是为了更好地描述客观事物而引入的, 同样的我们也要关注函数的四则运算, 当然, 函数的四则运算的规则也许同实数的四则运算类似, 但意义更加丰富. 上了大学之后, 我们还知道对函数来说, 这样的四则运算有哪些意义或者说特点, 如连续函数的四则运算能保持连续性. 那么在大学里面我们还学习了诸如级数, 矩阵之类的东西, 我们都发现了, 这样一个特点, 就是这些东西引入之后, 我们都要去关注它的四则运算, 当然了, 在这里四则运算只是一种形象的代名词了, 它往往由于参与运算的对象的差异而具有很多丰富的意义.

关于矢量内积与外积的构造

现在, 我们回到矢量上来, 正如前面所说的一样, 我们引出一些描述量之后都要去关心它的四则运算, 以及其四则运算的意义. 那么矢量出来之后呢, 我们也是要去关注它这样的运算, 那就是所谓的“加”、“减”、“乘”、“除”。矢量加减，我们已经很熟悉了，那就是平行四边形定则，但是我们也要思考，为什么会有这样的运算，为什么我们没有像实数一样，直接在数轴上就进行运算，原因其实也很简单，因为矢量有方向，其运算性质也应该反映出其不同的地方。实际上，我们一直要注意看一些事物的相互作用和联系，要主要关注这个事件的意义或者说是效果，比如说我们知道，力是典型的矢量，那么如果两个力共同作用在一个物体

上，我们去看它的效果，经过实验的反复比较，我们也许能够从中发现一些规律，这就是现在我们熟知的平行四边形定则，当然了，这种实验规律究竟正确与否，我们需要检验，如果我们发现，这个规律是一个普遍正确的规律，当然这就成为了矢量的加减法的运算法则。那么, 在知道了矢量的加减法之后, 我们自然地要问, 矢量的乘除又应该怎么定义呢? 实际上, 显而易见, 矢量的这种运算肯定会相对于实数的乘除有较大的差别, 道理很简单, 因为矢量承载了更多的信息, 不仅包括大小, 而且包括了方向, 因此, 我们在考虑乘积的时候当然就应该把方向的因素考虑进去, 但与此同时, 矢量的大小其实就是一个实数, 因此我们可以预见我们构造出来的这种矢量的乘积一定会带有实数乘积的一些特点. 同时, 我们在进行构造的时候, 还应该去思考这种运算所对应的意义, 正如我们在高等代数里面定义矩阵的乘法运算之后, 我们知道用一个矩阵去进行乘法运算实际上是对应着一种线性变换, 在有些情况下可以直观地看到对应的旋转变换, 如欧拉变换. 又比如我们在复变函数里面也定义了乘法运算, 在那里我们知道复数的乘法如果在复平面上来考虑, 那么其在方位上的作用体现为旋转, 而在大小上则是对模长的伸缩变换. 因此, 我们对于矢量构造出的乘积也应该具有反映大小和方向两个方面信息的良好特性. 现在, 不妨结合物理学中的实际例子, 谈谈自己的一些理解. 对于力做功, 这是我们熟悉的例子, 其实关于力做功的特点, 我们可以从生活的经验里面得到一些定性的体验, 当然, 实际的科学研究也应该是这样的, 首先通过观察, 然后定性的研究, 考虑影响这个事件的特有的因素, 再提出模型, 最后去检验模型的正确性. 我们知道, 力和位移都具有矢量的特点, 当给一个力去推物体的时候, 我们会发现, 如果将力沿物体位移的方向, 那么我们可以明显地发现, 如果所给的力越大, 在同样的位移内, 物体的速度越大, 即力的功越多. 如果用同样的力, 当物体的位移越大时, 物体获得的速度也更大, 因此功也与位移有关, 由此我们已经看见, 功的大小与力和位移成正比, 但是究竟是W 与FS 成正比, 还是有与成正比，我们并不清楚，但是，这个关系可以进行检验，设想一种方法，我们用F 与2F 的力去分别作用，我们会发现，力的

功的大小只是2倍关系，因此我们可以知道n 应该取1，用同样的方式可以知道，m 的取值也应该是1，这样以来，我们还需要考虑方向性的因素，在力做功这个模型中，我们容易有这样的认识，那就是，如果力和位移的方向相同，那么做功的效果最好，并且我们可以发现这样的一个倾向性，那就是，如果力和位移的夹角越小，做功的效果也就更好，但是究竟与力的夹角是一个怎样的关系，我们还不知到，但是我们有这样一种经验，那就是，如果力和位移的方向几乎成直角的时候，几乎不会把物体推动，仿佛与位移垂直方向的力并不做功似的，因此，有了这样的一个认识，再根据我们已有的矢量的平行四边形法则，把一个力按效效果分解为沿位移方向和垂直位移方向，这样一来我们发现了，功的大小是位移大小和力在位移方向的投影的乘积，并且我们可以用实验检验这种关系是否正确，当然了从对称性的角度上来看也可以是力的大小和位移在力的方向上的投影的乘积，有了这样的认识之后，我们可以初步得出这样的大一个模型，在做功的模型中，一种矢量的乘积是FS

就是我们熟知的F ·S=FS，这实际上， 。这样一来，我们就很好的在这种模型中考虑到了矢量大小和方向因素综合作用情况下应该做的处理。 就像上面那种乘积的定义一样，其实是描绘自然规律的需要才诞生的，当然描绘自然规律是一个永恒的主题。因此，如果有了新的作用形式，有了新的描述需求，我们就自然地需要引入新的运算，下面我们来看矢量外积的构造。我们知道，物理学的力学领域，我们除了关注力以外，还引入了力矩，其目的形象地来说是为了描述一种转动效应与其推动因素的关系，为了描述转动的运动，我们可以完全类似的把线运动的运动学量类似地移植到转动这种运动的描述中，只不过都加上了定语“角”。在这里，我们可以预见描述转动效应实际上也是一个需要考虑大小和方向都有关系问题。在转动效应中，我们会很容易有这样的一个认识，推动转动效应的因素与力F 以及作用点到转轴的距离R 有关，实际上这里同样存在做功的问题，因此我们可以推测，这种推动效应的描述应该与力做功类似，那就是与FR 成正比。当然了，在方向的问题上，我们现在考虑的是

转动问题，肯定会与前面所说的线运动做功有一定的差别，并且我们有这样的感受，如果一个力作用在一根绕某一个固定轴转动的杆上，那么这个力如果与杆垂直，其推动转动的效果更好，如果这个力几乎沿杆，则基本上不会对杆的转动有积极的贡献，因此在这个问题中，我们看到力在垂直于杆的方向的作用是真正有意义的而这样一种关系需要用

来，这种关系也与前面的内积形成了对称关系。因此我们构造出了F 来表示出。由此，关键性的部分我们已经完全解决。在实际中，转动是有方向的，为了体现这种方向的差异，我们找到了一种修正的方法，这与前面共同组成了现在我们广泛使用的运算外积。至此, 我们看到了非常和谐对称的规律, 力做功为ＦＦＳ，而力矩有，与实际上，ＦＳ与ＦＲ均为实数的乘法运算，反映了矢量在大小方面的特点，而因子

则反映出了矢量在大小方面的特点．这两个因子的配合恰恰反映了力学中的两种基本效应，当外力过刚体质心时的做功，与外力不过质心的转动效应．至此，我们看到了矢量的内积与外积在力学中的显著意义．当然了，我们知道，矢量的这两种运算在自然科学的各种领域有着非常广泛的应用，因此，任何一种新的科学的描述量的出现必定会极大地促进科学的发展，使人们对客观世界的规律有更加清晰和深刻的认识．

关于矢量与线性空间的关系

对于矢量的概念，我们已经有了一些初步的认识，但是矢量与我们了解的线性空间又有什么样的联系呢？下面，我仅仅就自己了解的方面说说自己的一些理解．矢量这个说法，我们经常在一些诸如物理学这样学科里面使用，而在数学里面，人们更多的使用向量这样一个词语．首先，让我们回顾一下关于线性空间的定义：

设Ｖ是一个非空集合，Ｆ是一个数域．如果满足了一下两个条件，则称Ｖ为Ｆ上的线性空间，也称为向量空间，Ｖ中的元素称为向量，Ｆ中的数称为标量．

条件１：在Ｖ中按某种方式定义了加法，使得可以将Ｖ中的任意两个元素

，得到唯一一个． 在Ｆ中的数与Ｖ中元素之间按某种方式定义了乘法，使得可以由任意和任意的条件２： 相乘得到唯一一个． Ｖ中定义的以上加法与数乘两种运算满足如下运算律：

（１）加法交换律；（２）加法结合律；（３）存在零向量；（４）存在负向量；（５）数乘对向量加法的分配律；（６）数乘对纯量加法的分配律；（７）数乘对纯量的结合律；（８）纯量１与向量数乘为原向量．

在这里，为什么将线性空间的定义再次给出来呢？其目的不仅仅是阐释清楚一个概念，更重要的在于，我们要看到这样一个事实，那就是，在线性空间的定义中，是如此重要的强调了运算律，实际上通俗地说线性空间就是在一个非空集合里定义了某种加法和数乘，使集合里的元素满足如上８条运算规律的集合．其核心就是，定义了某种加法和数乘，满足８条运算规律．

以下具体说说二者的关系：

首先，我们能够认识到，一个合适的非空矢量集合与一个合适的数域能够构一个线性空间，如三维空间中选定某一个原点，由此出发的所有矢量构成了整个三维空间，选取此集合，其次，选择实数域作为数域，则定义了合适的加法与数乘可以满足线性空间的定义．

再者，线性空间能够包含的集合种类非常丰富，矢量只是其中的一个特例．实际上，对于矢量而言，我们在应用的时候，如果是用来讨论量与量之间的关系，或者是要描述某种规律性的东西，我们常常是采用矢量符号的形式，但是当我们需要具体运算的时候，我们常常是采用数组的形式，也就是用数组来代替矢量的表示．而矢量之所以能够用数组表示，本质的原因是因为数组与矢量具有如下的共同点：

１． 空间中的矢量可以相加，可以与数相乘．同维数的数组也可以相加，可以与数

相乘．

２． 矢量与数组的上述运算，虽然参加运算的对象不同，但是运算的法则不同，但是同样都满足了上述线性空间定义中的８条运算律．

在这里，我们再次看到了强调运算律的重要性．

在线性空间中，我们把空间中的元素称为向量，实际上，不必限定向量是数组，可以允许向量是别的数学对象，只是这些数学对象可以以某种方式相加、与数相乘，并且加法和乘法满足上述的８条运算性质即可。因此，对于线性空间而言，其向量的含义是非常丰富的，如果把向量看成是关于数学对象的一个庞大的类，那么矢量其实仅仅是这个类的一个实例对象而已。

以上就是我对于矢量与线性空间的关系的一个简单的理解。

关于矢量与复数的关系

作为描述量的复数而言，同样是为了描述事物的需要而出现的。也许我们大家都听说过这样的一种类似表述：复数就是向量。其实，我个人认为，这样的论断是以偏概全了。我们知道，在最初引入复数的时候，是通过复平面去给出形象化描述的，并且将复数在复平面上表示出来，尤其是在复平面上进行加减的运算，会给人们一种很强烈的感受，那就是复数就如同矢量一般。但是，仅仅是因为这样的原因就做出上述判断，这未免显得冒失。事实上，一个复数，如果写成复平面的表示形式，就是Ｚ＝Ｘ＋Ｙｉ，而一个平面的二维矢量，如果是在直角坐标系下来表示的话，就是Ｆ＝Ｘｉ＋Ｙｊ，光从结构上来看，我们已经知道了复数和矢量显然是有较大区别的。在这样两种结构中，复数进行乘法运算时，规定了＝－１，而在矢量的内积运算中，有因此，两种不同的规定必定会导致运算上的诸多差别。如果，将复数写成指数表示的形式，我们可以看到复数相乘所对应的直观

的几何意义，有模长的伸缩，和方向的旋转，并且运算的结果仍然是一个复数，复数关于四则运算是封闭的。但是对于矢量而言，其内积之后会产生一个标量，而不再是矢量。当然，对于外积来说，也是产生了矢量，但是这个矢量已经不在进行外积的两个矢量所在的平面而是垂直的关系。

下面，让我们具体看一些对比：

１. 矢量是既有大小，又有方向的量。而复数是没有方向的，其结构是由实部与虚部构

成。从这个意义上来看，如果要描述有方向的量，从更加普遍的适用范围来讲，复数是无能为力的，尽管在复平面里对复数进行表示使人们感觉到了一定的方

向性，但这种方向性的体现其实是很狭隘的。

２. 矢量可以是一维的，有正负方向，二维的，平面内的各个方向，三维的，空间立体

的各个方向。而对于复数而言，如果在一个复平面上表示出来，也最多是二维

的，但实际我们研究的问题很多时候可能是三维的一般情形，因此必须采用矢

量来描述。但是，在二维的情形，由于二者的一些共性，有时可以用复数去表

示平面矢量，因此可以表示我们熟悉的一些平面场，如平面流速场，平面静电

场，之所以采用这种方式，是因为可以借助复变函数中的解析函数的一些优良

性质来帮助我们研究和计算一些平面场的问题。但是对于三维的场，确实就应

该采用矢量来表示了。

３. 矢量有内积和外积，而复数没有。矢量的内积和外积，使得矢量在描述某系特定问

题时晓得简洁明了，给我们带来了很多方便，容易得出所研究的规律结果。而

复数本生并没有这么丰富的运算规律。

可以说，矢量本生的巨大优势在于能够很好地描述自然界中有方向的量，以及

通过矢量的各种运算来表示所研究的这些带方向的量之间的相互联系和相互作

用，帮助我们从更高的抽象和统一的角度来认识这些带方向的量，并且使我们有了更加清晰和直观地认识。而对于复数来说，其体现出的巨大意义不在它丰富的运算规律上（实际它也没有那么丰富的运算规律）。作为实数的补充，研究复数在很多时候也是和我们研究实数有类似之处的。比如对于实数来说，我们有实变函数，主要研究了定义域和值域都是实数集合的函数的诸多性质和应用。与实变函数相应的是，我们有复变函数，而在复变函数里，我们看到了定义域和值域都是复数的这种函数所具有的特殊性质，复变函数所具有的特点和优良性质，才是引入复数的价值所在。

２０１２年３月８日