实数的完备性
第七章 实数的完备性
§1 实数完备性的基本定理
1
n =1, 2, L }有且只有两个聚点ξ1=−1和ξ2=1 n 111n
解 因{1+是{(-1)+}的所有偶数项组成的子列, 且lim (1+) =1, 故ξ2=1
n →∞n 2n 2n
11n
是数集{(−1) +n =1, 2, L }的一个聚点. 由于{−1+是原数集的所有奇数项组成
n 2n −1
1
的子列, 且lim (−1+) =−1, 因而ξ1=−1也是原数集的聚点.
n →∞2n −1
1. 验证 数集{(−1) +
n
下证该数集再无其它聚点. ∀ϕ≠±1, 取ε0=+1ϕ−1
2
, 2
则当n >
1
ε0
时,有
⎧11⎧为偶数−1−, n −−. n 为偶数⎪⎪n 1⎪⎪n n (−1) −−=⎨≥⎨
1n ⎪1
+−, n 为奇数ϕ+1−n 为奇数⎪⎪⎪n ⎩n ⎩
1
≥2ε0−>ε0.
n
故ϕ不是该数集的聚点. 这就证明原数集只有两个聚点, 即+1与−1. 2.证明:任何有限数集都没有聚点.
证 设S 是有限数集, 则对任一a ∈R , ∃ε0=1, 因S 是有限数集, 故领域U (a , ε0) 内至多 有S 中的有限个点, 故a 不是S 的聚点, 由a 的任意性知, S 无聚点.
3.设{(a n , b n )}是一严格开区间套, 即a 1
n →∞
证 作闭区间列{[x n , y n ]}, 其中x n =
a n +a n +1b +b n +1
, y n =n , n =1, 2, L ,由于22
a n (1) (a n +1, b n +1) ⊂[x n , y n ]⊂(a n , b n )(∀n ∈N ) ,从而
[x n +1, y n +1]⊂[x n , y n ],n =1, 2, L
(2) 0
从而由lim (b n −a n ) =0, 得lim (y n −x n ) =0. 所以{[x n , y n ]}为闭区间套. 由区间套定理知,
n →∞
n →∞
存在一点ξ∈[x n , y n ](n =1, 2, L ). 由(1) 有a n
a n
4.试举例说明:在有理数集内, 确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立。
解 设 a n =(1+
1n
(n =1, 2, L ), 则{a n }是有理数列。 n
(1) 点集{a n n =1, 2, L }非空有界,但在有理数集内无上确界; (2) 数列{a n }递增有上界,但在有理数集内无极限;
(3) 点集{a n n =1, 2, L } 有界无限,但在有理数集内不存在聚点; (4) 数列{a n }满足柯西准则条件,但在有理数集内{a n }不存在极限。 5.设H={(
11
, )n =1, 2, L },问: n +2n
(1) H能否覆盖(0,1)?
(2) 能否从H 中选出有限个开区间覆盖(i )(0, (ii )(
121
, 1) ? 100
11
解 (1)H 能覆盖(0,1),因为对任意x ∈(0, 1), 存在n ,使(2)不能从H 中选出有限个开区间覆盖(0,设其中左端点最小的为
1
) ,因对H 中任意有限个开区间,2
11
,则当0
111
(3) 能从H 中选出有限个开区间覆盖( , 1) 。例如取(, ), n =1, 2, L , 99即可。
100n +2n
6.证明:闭区间[a , b ]的全体聚点的集合是[a , b ]本身。
证:设x ∈[a , b ],若x ∈(a , b ) ,取δ=min{x −a , x −b 。则δ>0, 且 U (x , δ) ⊂[a , b ],
从而对任给正数ε(
无限多个点,故x 为[a , b ]的聚点。若x =a , 则对任意正数ε
U +(a , ε) ⊂U (a , ε), 且U +(a , ε) ⊂[a , b ],即U (a , ε)内含有[a , b ]的无限多个点,故a 是
[a , b ]的聚点。同理可证x =b 也是[a , b ]的聚点。
设x 为[a , b ]聚点,假设x ∉[a , b ],则x b 。若x b 也是不可能的,所以x ∈[a , b ]
7.设{x n }为单调数列. 证明:若{x n }存在聚点,则必是唯一的,且为{x n }的确界.
证:设递增数列{x n }有聚点ζ, 设a 为任有实数且a ≠ζ, 不妨设a ζ同理可证), 取
ε=
ζ−a
2
>0, 由聚点定义,U (ζ,ε)中含有{x n }的无限多个项,设x N ∈U (ζ, ε), 由{x n }
的递增性,当n ≥N 时,x n ≥x N , 故U (a , ε) 中最多含有{x n }的有限多个项:x 1, x 2,…,x N −1,所以a 不可能是{x n }的聚点. 由a 的任意性,ζ为{x n }的唯一聚点.
现在证明:ζ=sup {x n }, 事实上
(1)ζ为{x n }的上界,反之,若存在x N >ζ,则当n >N 时,有x n >ζ, 取ε=x N −ζ>0
,则在U (ζ, ε) 内最多含有{x n }的有限多个项x n , n =1,2,…,N −1,与聚点相矛盾.
(2)ζ=sup {x n },因为对任给正数ε,存在x n ∈U (ζ,ε),从而x n >ζ−ε. 结合(1)便知ζ=sup {x n }. 对递减数列类似可证.
8.试用有限覆盖定理证明聚点定理
证:设E 为直线上有界无穷点集,则存在M >0,使E ⊂[−M , M ],假设[−M , M ]中 任何点都不是E 的聚点,则对每一个x ∈[−M , M ],必存在相应的σx >0, 使得在U (x , σx ) 内至多含有E 的有限多个点. 设H=U (x , σx ) x ∈[−M , M ],则H 是[−M , M ]的一个开覆盖,由有限覆盖定理,H 中存在有限个开邻域:U (x j , σx j )(j =1,2,…,n )构成[−M , M ]的一个开覆盖,当然也覆盖了E. 有邻域U (x j , σx j ) ,的愿意,在其内至多含有E 的有限多
{}
2,…,n )故E 为有限点集,这与题设E 为无穷点集相矛盾. 所以[−M , M ]中个点。(i =1,
至少有E 的一个聚点.
9.试用聚点定理证明柯西收敛准则.
证 只需证明充分性. 设数列{a n }满足条件:对任给正数ε,总存在一个某一个自然数
N ,使得当m ,n>N时,都有a m −a n N1时,有
a n −a N 1+1则对一切n=1,2,…,有a n ≤M ,故{a n }有界.
下证{a n }有收敛子列. 若E=a n n =1,2,…是有限集,则{a n }必有一常子列. 若E 为无限集,则由聚点定理知,E 有一聚点A ,由聚点定义可证,存在a n k , 使lim a n k =A ,总
k →∞
}
{}
{}
之,{a n }有收敛子列. 设lim a n k =A ,则对任给正数ε存在N ,当k ,m ,n.>N时,
k →∞
a m −a n
ε
2
a n k −A
ε
2
.
任取k>N,使n k >N , 所以,当n>N时,有 a n k −A ≤a n −a n k +a n k −A
n →∞
ε
2
+
ε
2
=ε.