电磁感应中的相对运动问题

电磁感应中的相对运动问题

江苏省特级教师 戴儒京

有关“电磁感应”问题，是物理的综合题，是高考的重点、热点和难点，往往为物理卷的压轴题。而电磁感应中的相对运动问题，又是电磁感应中更难的问题，也是物理教学研究者咸为涉及的问题，兹举例如下。

例1. 2007年高考上海物理卷第23题

23．（13分）如图（a ）所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L 、

导轨左端接有阻值为R 的电阻，质量为m 的导体棒垂直跨接在导轨上。导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好。在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度v 1匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为f 的恒定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内。

（1）求导体棒所达到的恒定速度v 2；

（2）为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过多

少？ （3）导体棒以恒定速度运动时，单位时间内克服阻力所 做的功和电路中消耗的电功率各为多大？ （4）若t ＝0时磁场由静止开始水平向右做匀加速直线 运动，经过较短时间后，导体棒也做匀加速直线运动，v t 其v -t 关系如图（b ）所示，已知在时刻t 导体棒瞬时速

度大小为v t ，求导体棒做匀加速直线运动时的加速度大

小。

(b)

【解析】（1）磁场以速度v 1匀速向右移动，相当于导体棒相对于磁场以速度v 1匀速向左移动，根据右手定则，导体棒中感应电流方向向下，根据左手定则，导体棒受安培力方向向右，导体棒开始向右运动（相对导轨），当安培力与阻力大小相等时，导体棒达到恒定速度v 2，此时，导体棒与磁场的相对运动速度为（v 1－v 2）。所以，感应电动势为E ＝BL （v 1－v 2），感应电流为I ＝E /R ，安培

B 2L 2（v 1－v 2）力为F ＝BIL ＝，速度恒定时有： R

B 2L 2（v 1－v 2）fR ＝f ，可得：v ＝v －21R B L 。

fR B 2L 2v （2）v 2＝v 1－B L >0, f

B 2L 2（v 1－v 2）2fR ⎫f 2R ⎛2（3）P 导体棒＝Fv 2＝f v 1－B L ⎪ ，P 电路＝E /R ＝ ＝B L ， R ⎝⎭

B 2L 2（v 1－v 2）（4）因为－f ＝ma ，导体棒要做匀加速运动，必有v 1－v 2R

v t ＋∆v B 2L 2（at －v t ）B 2L 2 vt ＋fR 为常数，设为∆v ，a ＝t ，则－f ＝ma ，可解得：a ＝。 R B L t －mR

解法2. 因为磁场与导体棒的速度差相等, 所以加速度相等，为a ，设导体棒开始加速运动的时间为t 1，如图（c ）所示，则v 1-v 2=at 1，

从图（c ）又可以得到v t =a (t -t 1) ，

B 2L 2（v 1－v 2）maR +fR v 1-v 2=根据 －f ＝ma ，得, 22R B L

B 2L 2 vt ＋fR 联立以上3式，解得a ＝。

B L t －mR

【评说】本题考查了电磁感应、电路、安培力、力的平衡、牛顿运动定律、匀变速运动等知识点，是一道综合性很强的题目。

从本题我们得到，动生电动势公式E =BLv 中的速度v ，在有磁场和导体棒相对运动的情况下，是二者的相对速度(v 1-v 2) ，而不是导体棒的运动速度v 2。这一点，在以后的解题中要记住。 B 2L 2(v 1-v 2) B 2L 2v 同样，安培力公式F =, 也变成了F =，也是相对速度，这一R R

点也要记住。

B 2L 2（v 1－v 2）2同理，由克服安培力做功产生的电功率也是p =，也是相对速度。 R

例2. 2006年高考北京物理卷第24题

24.(20分) 磁流体推进船的动力来源于电流与磁场间的相互作用，图1是在平静海面上某实验船的示意图，磁流体推进器由磁体、电极和矩形通道（简称通道）组成。

如图2所示，通道尺寸a =2.0m、b =0.15m、c =0.10m，工作时，在通道内沿z 轴正方向加B =8.0T的匀强磁场；沿x 轴负方向加匀强电场，使两极板间的电压U =99.6V；海水沿y 轴方向流过通道。已知海水的电阻率ρ=0.20Ω·m 。

（1） 船静止时，求电源接通瞬间推进器对海水推力的大小和方向；

（2） 船以v s =5.0m/s的速度匀速前进。以船为参照物，海水以5.0m/s的速

率涌入进水口，由于通道的截面积小于进水口的截面积，在通道内海

水的速率增加到v d =8.0m/s。求此时金属板间的感应电动势U 感。

（3） 船行驶时，通道中海水两侧的电压按U '=U -U 感计算，海水受到电磁

力的80%可以转换为船的动力。当船以v s =5.0m/s的速度匀速前进时，求海水推力的功率。

【解析】(1)根据安培力公式, 推力F 1=I1Bb, 其中I 1=

则F t =U b ,R ＝ρ R ac U Uac 99. 6⨯2. 0⨯0. 10Bb =B =⨯8. 0N =796. 8 N R ρ0. 20

根据左手定则，安培力的方向即对海水推力的方向沿y 轴正方向(向右)

(2)U感=Bu感b=8⨯8⨯0. 15V =9.6 V

(3)，根据欧姆定律，I 2=U ' (U -Bv 4b ) ac (99. 6-9. 6) ⨯2. 0⨯0. 1==A =600A R ρb 0. 20⨯0. 15

安培推力F 2=I2Bb=600⨯8⨯0. 15N =720 N

对船的推力F=80%F2=576 N

推力的功率P=Fvs =80%F2v s =0. 8⨯720⨯5W =2 880 W

【评说】本题考查安培力、电磁感应、电路、电阻定律、反电动势、欧姆定律、功率等知识点，综合性较强。

注意：

L 1. 电阻定律公式R =ρ中，L =b , S =ac ，因为电流的方向沿X 轴， S

2. 电磁感应公式U =BLv 中v 是在通道内海水相对船的相对速度，即v d =8.0m/s，

3. 根据右手定则，感应电动势方向为x 轴方正向，与所加电场的方向相反，所以有U '=U -U 感，即感应电动势是反电动势，

4. 推力的功率P=Fvs 中，速度v s 是水相对船的相对速度。

可见，在有相对运动的情况下，不仅电磁感应求感应电动势公式，许多公式要用相对速度。

例3. 2008年高考天津理综卷第25题

25、（22分）磁悬浮列车是一种高速低耗的新型交通工具．它的驱动系统简化为

如下模型，固定在列车下端的动力绕组可视为一个矩形纯电阻金属框，

电阻

为R ，金属框置于xOy 平面内，长边MN 长为l 平行于y 轴，宽度为d 的NP 边平行于x 轴，如图1所示．列车轨道沿Ox 方向，轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场，磁感应强度B 沿Ox 方向按正弦规律分布，其空间周期为λ，最大值为B 0，如图2所示，金属框同一长边上各处的磁感应强度相同，整个磁场以速度v 0沿Ox 方向匀速平移．设在短暂时间内，MN 、PQ 边所在位置的磁感应强度随时间的变化可以忽略，并忽略一切阻力．列车在驱动系统作用下沿Ox 方向加速行驶，某时刻速度为v （v ＜v 0）．

⑴简要叙述列车运行中获得驱动力的原理；

⑵为使列车获得最大驱动力，写出MN 、PQ 边应处于磁场中的什么位置及λ与d 之间应满足的关系式；

⑶计算在满足第⑵问的条件下列车速度为v 时驱动力的大小．

B

x －B 图2

图1

【解析】

⑴由于列车速度与磁场平移速度方向相同，导致穿过金属框的磁通量发生变化，由于电磁感应，金属框中会产生感应电流，该电流受到安培力即为驱动力． ⑵为使列车获得最大驱动力，MN 、PQ 应位于磁场中磁感应强度同为最大值且反向的地方，这会使得金属框所围面积的磁通量变化率最大，导致线框中电流最

λ强，也会使得金属框长边中电流受到的安培力最大，因此，d 应为的奇数倍，2

即

λ2d d =(2k +1) 或λ=(k ∈N ) ① 22k +1

⑶解法1. 由于满足⑵问条件，则MM 、PQ 边所在处的磁感应强度大小均为B 0且方向总相反，经短暂的时间Δt ，磁场沿Ox 方向平移的距离为v 0Δt ，同时，金属框沿Ox 方向移动的距离为v Δt ．

因为v 0＞v ，所以在Δt 时间内MN 边扫过磁场的面积

S ＝(v 0－v ) l Δt

在此Δt 时间内，MN 边左侧穿过S 的磁通量移进金属框而引起框内磁通量变化

ΔΦMN ＝B 0l (v 0－v ) Δt

同理，该Δt 时间内，PQ 边左侧移出金属框的磁通引起框内磁通量变化

ΔΦPQ ＝B 0l (v 0－v ) Δt

故在Δt 内金属框所围面积的磁通量变化

ΔΦ＝ΔΦMN ＋ΔΦPQ

根据法拉第电磁感应定律，金属框中的感应电动势大小

∆φE =

∆t

根据闭合电路欧姆定律有

E I = R

根据安培力公式，MN 边所受的安培力

F MN ＝ B 0Il

PQ 边所受的安培力

F PQ ＝ B 0Il

根据左手定则，MM 、PQ 边所受的安培力方向相同，此时列车驱动力的大小

F ＝F MN ＋F PQ ＝2B 0Il 224B 0l (v 0-v ) 联立解得：F = R

解法2. 用导体切割磁感线产生感应电动势的理念解。

因为MN 和PQ 所在位置的磁感应强度都是B 0, 而方向相反，设MN 处向上，PQ 处向下，根据右手定则判断MN 产生的感应电动势方向由M 指向N, PQ产生的感应电动势方向由P 指向Q, 在回路中是同方向，所以回路总感应电动势是E =2B 0l (v 0-v ) ，所以感应电流为I =E 2B 0l (v 0-v ) =, R R

根据左手定则判断MN 边所受的安培力方向向右，MN 边所受的安培力方向也向

4B 0l 2(v 0-v ) 右，在空间中是同方向，所以总安培力为F ＝2B 0I =，即为列车驱R

动力的大小。

【评说】本题考查电磁感应、右手定则、安培力、左手定则、正弦曲线等知识点。 感应电动势公式E =BLv 中的速度v ，仍然是导体与磁场的相对速度(v 0-v ) ，同时注意感应电动势的方向和安培力的方向的判断。

例4. 磁悬浮车是种高速运载工具。它具有两个重要系统：一是悬浮系统，利用磁力使车体在导轨上悬浮起来；另一是驱动系统，在沿轨道上安装的三相绕组中，通上三相交流电，产生随时间和空间做周期性变化的磁场，磁场与固连在车体下端的感应金属板相互作用，使车体获得牵引力。

设图中xOy 平面代表轨道平面，x 轴与轨道平行，现有一与轨道平面垂直的磁场正以速度υ向－x 方向匀速运动，设在t =0时，该磁场的磁感应强度B 的大小随空间位置x 的变化规律为B =B 0cos kx （式中B 0、k 为已知常量），且在y 轴处，该磁场垂直xOy 平面指向纸里。与轨道平面平行的一金属矩形框MNPQ 处在该磁场中，已知该金属框的MN 边与轨道垂直，长度为L ，固定在y 轴上，MQ

π边与轨道平行，长度为d =，金属框的电阻为R ，忽略金属框的电感的影响。 k

求：

⑴t =0时刻，金属框中的感应电流大小和方向；

⑵金属框中感应电流瞬时值的表达式； 10π⑶经过t =时间，金属框产生的热量； kv

⑷画出金属框受安培力F 随时间变化的图象。

【解析】⑴磁场向－x 方向运动，等效金属框向x 方向运动，相对速度为v 。

e 2B L υt =0时刻，金属框两个边切割磁感线产生的电动势e =2B 0lυ，i ==0，电流R R

的方向根据右手定则可知为M →N →P →Q →M

⑵设经过时间t ，金属框MN 所在处磁场强度为B ，B=B0coskx, 2BL υ2B 0L υ=cos(kx ) i =R R

2B L υ又x=υt ，得到电流瞬时值的表达式是：i =0cos(k υt ) ，是正弦式电流。 R

222π220πB 0L υ⑶因为T =，所以t =5T ,

是周期的整数倍，Q =Rt = kv kR ⑷金属框受安培力的方向始终向左。设经过时间t ，金属框受到安培力为F

224B 02L 2υ2B 0L υ2cos (k υt ) ==2BiL =[cos(2k υt ) +1] R R 安

由此可知：金属框受到安培力F 安随时间变化的图象如图。

【评说】本题考查电磁感应、电流、右手定则、安培力左手定则、焦耳定律、电流有效值、余弦函数、函数图象等知识点。

感应电动势公式E =BLv 中的速度v ，仍然是导体与磁场的相对速度v ，方向相反。

总之，在电磁感应中的相对运动问题中，感应电动势公式中的E =BLv 中的速度v ，是导体与磁场的相对速度v ，在用右手定则判断感应电流的方向时，四指所指的速度方向，也是导体与磁场的相对速度的方向。

练习题

1.