随机过程复习题(含答案)

随机过程复习题

一、填空题：

1．对于随机变量序列{X n } 和常数a ，若对于任意ε>0，有

lim P {|X n -a |

n ->∞

2．设{X (t ), t ≥0}是泊松过程，且对于任意t 2

>t 1≥0

， ，则

P {X (1) =2, X (3) =4, X (5) =6}=

2⨯9⨯e

-15

P {X (5) =6|X (3) =4}=18e

-6

P {X (1) =2, X (3) =4, X (5) =6}

=P {X (1) -X (0) =2, X (3) -X (1) =2, X (5) -X (3) =2}=P {X (1) -X (0) =2}P {X (3) -X (1) =2}P {X (5) -X (3) =2}=3

2

3⨯2) 2

2

3

2!

e

-⨯

(2!

e

-6

⨯

3

2!

e

-3

=2⨯9⨯e

-15

2

P {X (5) =6|X (3) =4}=P {X (5) -X (3) =2}=

6

2!

e

-6

=18e

-6

3．已知马尔可夫链的状态空间为I ={1, 2, 3}，初始分布为(111

4, 2, 4

) ，

⎡1

3⎢0⎤

⎥⎢44P (1) =⎢

1

11⎥

⎥

⎢P (7⎢333⎥，则12

2) =16，P {X 0=1, X 1=2, X 2=2}=

116

⎢13⎥⎥⎢0⎣

4

4⎥⎦

,

⎡5⎢16⎢72

P (2) =P (1) ⎢

⎢36⎢⎢4⎢⎣48

P 12(2) =

716

[1**********]

[1**********]

⎤

⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎦

P {X 0=1, X 1=2, X 2=2}

=P {X 0=1}P {X 1=2|X 0=1}P {X 2=2|X 0=1, X 1=2}=P {X 0=1}P {X 1=2|X 0=1}P {X 2=2|X 1=2}=14⨯34⨯13=116

4．强度λ的泊松过程的协方差函数C (s , t ) =λmin(s , t ) 5．已知平稳过程X (t ) 的自相关函数为R X (τ) =cos πτ，

S X (ω) =π[δ(ϖ+π) +δ(ϖ-π)]

6. 对于平稳过程X (t ) ，若=R X (τ) ，以概率1成立，则称X (t ) 的自相关函数具有各态历经性。 7. 已知平稳过程X (t ) 的谱密度为S (ω) =

1-12

2

2

ω

4

22

ω+3ω+2

，则X (t ) 的均方值

=

2

S (ω) =

ω+2ω+1

-

1

2

=

1

12⨯1-⨯22 22

2ω+(2) 2ω+1⨯

2⨯2

R X (τ) =

12

e

-2τ

-

12

e

-τ

X (t ) 的均方值ψ(τ) =R X (0) =

2X

12

-

12

8. 随机相位过程X (t ) =a cos(ωt +Θ), 其中a , ω为常数，Θ为(0, 2π)

上服从均匀分布的随机变量，则

=

a

2

=0

，

2

cos ϖτ

9．设马尔可夫链{X n , n =0, 1, 2, }的状态空间I ={0, 1}，则一步转

⎡0. 9

移概率矩阵为P =⎢

⎣0. 1

210. 1⎤p (0) =(, ) ，，初始分布为则X 2的⎥330. 9⎦

分布律为

P (2) =(

1822

,

118) ，P (X 2=1, X 3=1, X 4=0) =0. 0354

0. 18⎤

⎥ 0. 82⎦

P (2) =P

⎡0. 82=⎢

⎣0. 18

21⎡0. 82

p (2) =p (0) P (2) =(, ) ⎢

33⎣0. 180. 18⎤182118

, ) ⎥=(

3003000. 82⎦

P (X 2=1, X 3=1, X 4=0)

=P (X 2=1) P (X 3=1|X 2=1) P (X 4=0|X 2=1, X 3=1) =P (X 2=1) P (X 3=1|X 2=1) P (X 4=0|X 3=1) =118300

⨯0. 9⨯0. 1=0. 0354

n

10. 设X 矩阵为

(n =0, 1, 2...)

是只有两个状态的齐次马氏链，其n 步转移概率

1⎛

1-n

3P (n ) = D n ⎝

⎫C n ⎪

⎪，则C n =1⎪n ⎪2⎭

13

n

D n =

1-

12

n

13．设E (X ) =μ，D (X ) =σ2，则由切比雪夫不等式

P (|X -μ|

；

X 1, X 2, X n

14．随机变量序列

E (X i ) =μ, D (X i ) =σ

2

独立同分布, 且

>0

n

∑X i -n μ

i =1, 2

, 则对任意实数x , lim P {i =1

n →∞

n σ

≤x }=________

二、计算与证明：

1．设任意相继两天中，雨天转晴天的概率为，晴天转雨天的概率

31

为，任一天晴或雨是互为逆事件，以0表示晴天状态，以1表示雨

2

1

天状态，X 表示第n 天的状态（0或1）。

n

（1） 写出马氏链{X n , n ≥1}的一步转移概率矩阵；

（2） 在5月1日为晴天的条件下，5月3日为晴天；5月5日为雨

天的概率各是多少？； 解：I ={0, 1}，

⎡1

⎢2

(1)P (1) =⎢1

⎢⎣3

1⎤2⎥1⎥ ⎥3⎦

⎡5⎢12

(2) P (2) =⎢7

⎢⎣187⎤

512⎥

11⎥, P (X 3=0|X 1=0) =p 00(2) =12 ⎥18⎦

⎡173⎢432

P (4) =⎢

259⎢⎣648259⎤

259432⎥

⎥P (X =0|X =0) =p (4) = 5101389, 432⎥648⎦

2/301/3

0⎫⎪

2/3⎪，证明2/3⎪⎭

⎛1/3

2．设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为P = 1/3

0⎝

此链具有遍历性，并求其平稳分布。

⎛3/9 2

解：P (2) =P (1) = 1/9

1/9⎝

2/94/92/9

4/9⎫

⎪4/9⎪ 6/9⎪⎭

由于P (2) 中不含有零元，故此链具有遍历性。

⎧⎪π1⎪⎪π2

=1，即⎨

⎪⎪π3⎪⎩π1

===132323

π1+π1+π

2

2

131323

3

πππ

2

解方程组π=πP 和∑πi

3

3

+

+π+π=1

解得π1=

17

, π2=

27

, π3

124

=，故平稳分布为π=(, , ) 。 7777

4

3．将2个红球4个白球任意地放入甲、乙两个盒子中，每个盒子中放3个，现从每个盒子中各取一球，交换后放回盒中，以X (n ) 表示经过n 次交换后甲盒子中的红球数，则{X (n ), n ≥0}是一齐次马尔可

夫链，试求：（1）求初始分布；（2）求一步转移概率矩阵；（3）证明

{X (n ), n ≥0}是遍历链。

解：(1) I ={0, 1, 2}

P (X 0=0) =P (X 0=2) =

C 4C

133

6

=

2

15=1

,

P (X 0=1) =

C 4C 2C

36

21

=

35

,

C 4C 2C 6

3

131

, 故初始分布p (0) =(, , ) 。 55550⎫

⎪2/9⎪

1/3⎪⎭

⎛1/3

(2) P (1) = 2/9

0⎝

2/35/92/3

⎛

2

P (2) =P (1) =

(3)

⎝

7271681427

[1**********]7

4⎫⎪27⎪16⎪81⎪, 7⎪⎪27⎭

由于P (2) 中不含有零元，故此链具有遍历性。

4．设X (t ) =A cos ω0t +B sin ω0t ，ω0是常数，A 与B 为相互独立的随机变量，且A ~N (0, 1) ，B ~N (0, 1)

（1）证明X (t ) 是平稳过程； （2）证明X (t ) 均值具有各态历经性； （3） 求X (t ) 的平均功率。 解：(1) EA =0 EB =0

EA

A

2

2

DA =1 DB =1

EB

2

=DA +(EA ) =1=DB +(EB ) =1

2

与B 相互独立，E (AB ) =(EA )(EB ) =0

EX (t ) =E (A cos ϖ0t ) +E (B sin ϖ0t ) =cos ϖ0tEA +sin ϖ0tEB =0(常数)

E [X (t ) X (t +τ)]

=E {[A cos ϖ0t +B sin ϖ0t ][A cos ϖ0(t +τ) +B sin ϖ0(t +τ)]}=E [A cos ϖ0t cos ϖ0(t +τ)]+E [B sin ϖ0t sin ϖ0(t +τ)]+E [AB cos ϖ0t sin ϖ0(t +τ)]+E [AB sin ϖ0t cos ϖ0(t +τ)]=cos ϖ0t cos ϖ0(t +τ) EA

2

2

2

2

+sin ϖ0t sin ϖ0(t +τ) EB

+

[cosϖ0t sin ϖ0(t +τ) +sin ϖ0t cos ϖ0(t +τ)]E (AB ) =cos ϖ0t cos ϖ0(t +τ) EA =cos ϖ0τ（只与τ有关）

2

2

+sin ϖ0t sin ϖ0(t +τ) EB

=cos ϖ0t cos ϖ0(t +τ) +sin ϖ0t sin ϖ0(t +τ)

故X (t ) 是平稳过程 (2)=T lim →+∞

12T

⎰

T

-T

A cos ϖ0t +B sin ϖ0tdt =0=EX (t )

故X (t ) 均值具有各态历经性

2

(3)ψX =R X (0) =1

5. 随机过程Z (t ) =X sin t +Y cos t ，其中X , Y 为独立同分布的随机变量，

它们的分布律为：

（1） 证明Z (t ) 为平稳过程；（2）证明Z (t ) 的均值具有各态历经性.

解：(1) EX =0

EY =0

X

DX =2

DY =2

与Y 相互独立，E (XY ) =(EX )(EY ) =0

EZ (t ) =E (X sin t ) +E (Y cos t ) =sin tEX +cos tEY =0(常数

E [Z (t ) Z (t +τ)]

=E {[X sin t +Y cos t ][X sin(t +τ) +Y cos(t +τ)]}=2cos τ（只与τ有关）

故Z (t ) 是平稳过程

=lim

12T

T →+∞

⎰

T

-T

X sin t +Y cos tdt

(2)

=lim

2Y sin T 2T

T →+∞

=0=EZ (t )

故Z (t ) 均值具有各态历经性

6．设有随机过程X (t ) =A cos(πt ) +B sin(πt ) ，其中A 与B 独立且都是均值为零，方差为σ的正态随机变量，求（1）X (1) 和X () 的概率

2

1

4

密度；（2）问X (t ) 是否是平稳过程？

12πσ

2

-x

22

解：(1) X (1) =A cos π=-A ~N (0, σ) f (x ) =

X () =A cos +B sin =(A +B )

4441

2

e

2σ

ππ

2~N (0, σ)

f (x ) =

12πσ

-

x

22

e

2σ

(2)EX (t ) =0(常数)

EX (t ) X (t +τ) =σcos πτ(只与τ有关) 故X (t ) 是平稳过程

7．设X (t ) =A cos(πt +Θ) ，A 为随机变量，具有瑞利分布，其密度

⎧x -x ⎪e 8

f (x ) =⎨4

⎪0⎩

2

2

函数为

x >0x ≤0

，Θ是(0, 2π) 上服从均匀分布与A 相互

独立的随机变量，问X (t ) 是否是平稳过程？ 解： Θ~U (0, 2π) 其密度函数为

⎧1⎪

f (x ) =⎨2π

⎪0⎩

x ∈(0, 2π) 其它

EX (t ) =EA ⋅E cos(πt +Θ) =EA ⋅⎰

2π0

cos(πt +θ)

12π

d θ=0(常数)

E [X (t ) X (t +τ)]

=E [A cos(πt +Θ) ⋅A cos((πt +πτ) +Θ)]

2

=EA ⋅E cos(πt +Θ) cos((πt +πτ) +Θ)

=4cos πτ（只与τ有关）

其中EA

2

=

⎰

+∞

x

2

2

x 4

x

2

e

-

x

2

8

dx =

⎰

+∞

-x de

-x

2

2

-

x

2

8

=-x e

-

-

8

+∞0

-8⎰

+∞

e

8

d (-

x

2

8

)

x

2

=-8e

8

+∞0

=8

E cos(πt +Θ) cos((πt +πτ) +Θ) ====

⎰

2π

cos(πt +θ) cos(πt +πτ+θ) ⋅

12π

d θ

12π14π12

⎰

2π

12

[cos(2πt +πτ+2θ) +cos(-πτ)]d θ

cos πτ⋅2π

cos πτ

8．设X (t ) 是平稳过程，令Y (t ) =X (t +a ) -X (t -a ) ，a 为常数，试证：

（1）R Y (τ) =2R X (τ) -R X (τ+2a ) -R X (τ-2a ) ； （2）S Y (ω) =4S X (ω) sin (a ω) 。 解：R Y (τ) =E [Y (t ) Y (t +τ)]

2

=E {[X (t +a ) -X (t -a )][X (t +τ+a ) -X (t +τ-a )]}=E [X (t +a ) X (t +τ+a )]-E [X (t +a ) X (t +τ-a )]

-E [X (t -a ) X (t +τ+a )]+E [X (t -a ) X (t +τ-a )]=R X (τ) -R X (τ-2a ) -R X (τ+2a ) +R X (τ)

=2R X (τ) -R X (τ+2a ) -R X (τ-2a )

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S Y (ϖ) =⎰+∞-∞[2R X (τ) -R X (τ+2a ) -R X (τ-2a )]e

R X (τ) e

--i ϖτ-i ϖτd τ=2⎰+∞-∞d τ-⎰+∞-∞R X (τ+2a ) e d τ-i ϖτd τ ⎰+∞

-∞R X (τ-2a ) e -i ϖτ

⎰+∞

-∞

+∞R X (τ) e -i ϖτd τ=S X (ϖ) -i ϖτ⎰

=-∞+∞R X (τ+2a ) e R X (u ) e d τ令u =τ+2a ⎰-i ϖ(u -2a ) -∞du

du =e

=e 2a ϖi ⎰+∞-∞R X (u ) e -i ϖu 2a ϖi S X (ϖ)

⎰

=+∞-∞+∞R X (τ-2a ) e R X (v ) e -i ϖτd τ令v =τ-2a ⎰-i ϖ(v +2a ) -∞dv

dv =e

=e -2a ϖi ⎰+∞-∞R X (v ) e -i ϖv -2a ϖi S X (ϖ)

2a ϖi 所以，S Y (ϖ) =2S X (ϖ) -(e +e -2a ϖi ) S X (ϖ)

=2S X (ϖ) -2cos(2a ϖ) S X (ϖ)

=2S X (ϖ)[1-cos(2a ϖ)]

=4S X (ϖ) sin (a ϖ) 2