算术平均数与几何平均数

学科：数学

教学内容：算术平均数与几何平均数

【基础知识导引】

1．什么叫算术平均数？什么叫几何平均数？

2．均值定理的内容是什么？运用均值定理不定式要注意哪些条件？ 3．均值定理有哪些应用？

【重点难点解析】

1．本节利用不定式的性质，推导出两个基本而又重要的不等式：如果a 、么

（当且仅当a=b时取“=”号）；如果a 、b 是正数，那么

为a 、b 的算术平均数，称

，那（当为a 、b 的

且仅当a=b时取“=”号）。这里，我们称值定理。

几何平均数，因而后者可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，简称均 2．均值定理是本节的重点，在学习时要注意以下几点： （1）a 、b 的范围，a ，推导。

（2）结论的形式，基本不等式，常见的形式还有：

；

，（a ，

），这是两个重要的

，而后者只有当a ，

与时，

，

成立的条件是不同的，前者只要求

，由

不难

① ②若a ， ③若a ，

； ，，

； ；

④若a ， ⑤若

，

，

，

。

；

解题中不仅要记住原来的形式，还要逐步熟练掌握其他几种常见形式及成立条件，这也是学习数学概念应下的功夫，只有这样，才能透彻理解数学公式所表示的若干量之间的本质联系，而不能只满足对某个固定形式的简单识记。

（3）等号取到的条件，括号中所说的“仅当a=b时取‘=’是指：一方面当a=b时取“=”号，另一方面当取“=”号时，必有a=b。

（4）均值定理中的a 、b 可以是满足条件的实数，也可以是满足条件的代数式，正因如此，它的应用十分广泛，今后我们遇到不少问题，将可以根据条件，转化为可以利用均值不等式的形式使问题得到解决。 3．教材

例1的结论常用来求函数的最值，在运用“和为常数，积有最大值”和“积

为常数，和有最小值”时，必须满足条件“一正二定三相等”：“一正”——字母为正数；“二定”——积或和为定值（有时需通过“配凑法”凑出定值）；“三相等”——等号能否取到。 4．由

（a>0，b>0）可以推广到三个正数的情形（大纲中只要求掌握两个

，当且仅当a=b=c时上

正数的情形），事实上如果a 、b 、c 为正数，那么

式取“=”号（证明见课本阅读材料），而且可以进一步引申出定理：一般地，对于n 个正

数，我们把，分别叫做这n 个正数的算术平，当且仅当

均数与几何平均数，这时有可以拓宽我们的知识面。

【难题巧解点拨】 例1 a 、b 、 解 ∵ 以上三式相加得 而

以上三式也相加得 ∴

当且仅当a=b=c时等号成立。

，

，

，求证：

，

，

时等号成立，即n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，阅读课本有关的阅读材料，

点评 多次用到均值不等式，但等号成立的条件必须是相同的。

例2 下列四个命题：①函数 ②函数

，

的最小值为2； 的最小值为

；

③函数 ④若a>2，则

的最小值为2； 的最小值为4。

其中正确的命题题号为________________________________。 分析 四个命题的形式都是 解 对于命题①，函数

的形式，可考虑运用均值不等式。

中由于x ≠0，不满足均值不等式中“一正二定三相等”

中“一正”之条件，故不正确，其正确范围为y ≥2或y ≤－2。 对于命题②，若

，则当且仅当

时等号成立，不满足“三相，考察

在

的

等”之条件，故不正确，若要求y 的最值，可令单调性（减函数），

。

对于命题③

，，要等号成立，当且仅

当

，x 无解，也不满足“相等”之条件，故不正确，若求y

的最值，可令

，考

察

。

对于命题④，通过变形，a=3时等号成立，故命题正确。

点评 通过本题，可以看到在运用均值不等式求函数最值时，一定要注意使用条件“一正二定三相等”，对于某些在“形式”上不满足的可以通过适当的“配凑”来实现“定值”，从而运用均值不等式（命题④）；对于某些虽在“形式”上满足，但等号不能成立的可通过函数的单调性来加以解决。

例3 设a ，b ，

分析 本题的难点在于寻

找

，求证：

与a+b之间的关系，因此，不难联

想

，当且仅当a －2=1即

在

的单调性（增函数

）

，运用此公式，问题就不难解决。

解：∵

，

，

∴，则，（当且仅当a=b时，等号成立）

同理：

，，三式相加得：

（当且仅当a=b=c时等号成立）

点评

在证明不等式时，要善于分析不等式两边的结构特征，发挥联想，另外，公式

在解题中经常用到。

例4 若，且，求的最大值。

分析 由于是求积的最大值，可考虑运用均值不等式。

解

。

当且仅当 故

即

的最大值为

。

时式中等号成立。

点评 通常情况下，若所求最值的表达式是（函数）式“和”或“积”的形式，应优先考虑运用均值不等式来解决，在应用过程中还应注意适当的配凑，使之相应的“积”或“和”为定值，本题也可以先消元（消

），转化为关于

的二次函数来求解。

例5 已知函数x ，y 满足x+2y=1，求的最小值。

分析 考虑到x+2y=1，可联想三角换元或“1”的代换。

解法一 令，，

∴

∴ 解法二

的最小值为

。

点评 本题的常见错误如下： ∵x+2y=1， ∴ ∴

，

。

，„„„„①

又

等号不能成立。

„„„„„„② „„„„„„③

错误原因：①式中等号成立的条件是x=2y；②式中等号成立的条件是x=y，故③中的

变题：已知求x+2y的最小值。

引申：已知

【拓展延伸探究】

（x ，y ，a ，，且a ≠b ），求x+y的最小值。

例1 求函数的最小值。

分析 本题从形式上分析是求一个分式函数的定义域，通法是运用判别式法，但考虑到x>－1这一条件，判别法不能解决，但仍可以运用方程理论（根的分布）解决，但比较繁琐，

注意到x+1>0，若令t=x+1，不难化得解决。

解 令t=x+1，则x=t－1

，下面用均值不等式即可

即t=2，亦即x=1时，取等号。

当且仅当，

故的最小值为9。

点评 求解有条件限制的某些分式不等式（分子、分母分别为一、二次函数）最值时，常常可用均值不等式解决，1998年全国高考理（22）题求“流出水中杂质最小”便是一例。

例2 甲、乙两地相距skm ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （km/h）

的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元。

（1）把全程运输成本y(元) 表示为速度v （km/h）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

分析 本题是1997年全国高考理（22）题，关键在于建立目标函数，通过均值不等式求最值。

解 （1

）依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为

∴所求函数及其定义域为

，

，全程运输成本为

（2）依题意知，s ，a ，b ，v 均为正数， ∴

①

当且仅当则时，①中等号成立。

若，则当时有；

若，则时有

∵c －v ≥0且 ∴ ∴

当且仅当v=c时，有

，

， 。 。

综上可知：为使全程运输成本最低，

当时，

当时v=c

点评

在本题解答过程中，许多考生只考虑到等式中等号成立的条件疏忽了，对于形如在求最值时的应用（具体见学法总结）。

例3 观察下列不等式 （1）若a ， （2）若a ，b ， （3）若a ，b ，c ，

，则，则

，则

一种情况，原因在于对均值不

形式的函数的性质要熟悉，有利我们

（当且仅当a=b时等号成立）

（当且仅当a=b=c等号成立）

（当且仅当a=b=c=d等号成立）

根据以上结论，推广出更一般的不等式，只要写出结论，不要证明，用文字语言叙述。 分析 观察（1），（2），（3）的规律，不难得出推广结论。 解 更一般的结论为： 若

当且仅当

，则

， 时，等号成立。

文字叙述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

点评 本题的编制背景为课本P24的阅读材料，目的在于引导同学要重视课本的阅读材料和实习作业，主动参与到研究性学习中去。

对于均值不等式大纲和《考试说明》都作了明确的阐述：“掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单运用”，但对于三个正数的均值不等式也应有所了解，下面举例加以说明。 （1）若a ，b ，

，且a+b+c=1，求证：

。

证明：由

变题1，求证

及，即

。

得

（提示：（a+b）+（b+c）+（c+a）=2） 变题2，求证： （提示：

）

（2）求的最小值。

解：

号成立。

【命题趋势分析】 1．均值不等式“

，当且仅当即时等

”中的a ，b 既可以表示具体数字，也可能是比较复杂

的代数式，因此，记忆公式时，不必死记，要理解其实质即表示了两个量之间的本质关系，不能只记住其固定形式，善于（敢于）对公式变形并运用。如，由“

”这一常用结论，若a ，b ，

，用

不难得到分别替

代公式中的a ，b ，c ，可得到结

论

，

若a+b+c=1可得出：以记忆，有助于提高解题能力。 2．关于函数

，

。

，我们还可以推

出

等等，对这些结论适当加

（a ，b 为常数，x ≠0），它是我们在利用均值不等式求最值时

常用到的函数，具体性质如下表：

3．均值不等式的适用条件为“一正二定三相等”，尤其要注意等号成立的条件，解决形

如的函数最值时，若不能运用均值不等式，可利用其单调性求最值。

4．连续两次使用均值不等式求最值或证明时，应注意两次“能等”的条件必须一致，否则不可使用。

【同步达纲练习】

1．设a ，b 是不相等的正数，则（ ）

A ． B ．

C ． D ．

，

，

，

2（．2000年全国高考）若a>b>1时，则（ ）

A ．R

B ． D ．

4．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以vkm/h的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400km ，为安全需要两汽车间距不得小于部到达灾区的最短时间是（ ） A ．

B ．12h C ．6h D ．24h

，且ab+bc+ca=1，则a+b+c的最小值为_____________________。 且abc=2，求证：，且a+b+c=1，求证：

，那么这批物资全

5．若a ，b ， 6．已知a ，b ， 7．a ，b ，

8．若x ，，且，求u=x+y的最值。

参考答案

【同步达纲练习】

1．B （点评：由经验公式 2．B （点评：=Q，故R>Q>P）

不难得到） ，

3．C （点评：

取

，，

则

，

，

，

4．B （点评：设到达花时为th ，

，可排除A 、B 、D ，故选C ）

5． 6．由

（点评：由

，

，

）

及ab+bc+ca=1得到，三式相乘得

） ，)

等号成立的条件为a=b=c=1，又abc=2，所以等号不能成立，故的条件） 7．由

三式相加得

，

，

（点评：要善于利用题目所给的常数信息解题，（如本题中8=2·2·2）；注意等号成立

，

，等号成立的条件为

a=b=c=0，不可能，故式中等号不成立。（点评：观察题目结构特征，利用变形公式）

8．法一：

由

得，由x

，得y －4>0

，

，当且仅

当

，而y=6，x=3时等号成立，故x+y最小值为9。

法二：

，当且仅

当

且

即x=3，y=6时等号成立，故x+y最小值为9。

（点评：错误解法为由得xy ≥64，∴，得到x+y最小

值为16，错因在于等号成立的条件不同）