2014·辽宁卷(文科数学)

2014·辽宁卷(文科数学)

1．[2014·辽宁卷] 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B ) ＝( )

A ．{x |x ≥0} B ．{x |x ≤1}

C ．{x |0≤x ≤1} D ．{x |0＜x ＜1}

1．D [解析] 由题意可知，A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，所以∁U (A ∪B ) ＝x |0

5

2．A [解析] 由(z －2i)(2－i) ＝5，得z －2i ＝2＋i ，故z ＝2＋3i.

2－i

1111

3．、[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－，b ＝log 2，c ＝log ( )

3323

A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b

11

3．D [解析] 因为0

33

1111

c ＝log 1，所以c >a >b .

23224．[2014·辽宁卷] 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α

4．B [解析] 由题可知，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 平行、相交或异面，所以A 错误；若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，故B 正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 错误；若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊥α或n 与α相交，故D 错误．

5．、[2014·辽宁卷] 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 则下列命题中真命题是( )

A ．p ∨q B ．p ∧q

C ．(綈p ) ∧(綈q ) D ．p ∨(綈q ) 5．A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q

6．[2014·辽宁卷] 若将一个质点随机投入如图1-1所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )

ππA. B. 24ππC. D. 68

6．B [解析] 由题意AB ＝2，BC ＝1，可知长方形ABCD 的面积S ＝2×1＝2，以AB

π2π1

为直径的半圆的面积S 1＝×π×12＝故质点落在以AB 为直径的半圆内的概率P 222

π4

7．、[2014·辽宁卷] 某几何体三视图如图1-2所示，则该几何体的体积为( )

ππ

A ．8－ B ．8－

42

C ．8－π D ．8－2π

7．C [解析] 根据三视图可知，该几何体是正方体切去两个体积相等的圆柱的四分之

1

一后余下的部分，故该几何体体积V ＝23－π×12×2＝8－π.

2

8．[2014·辽宁卷] 已知点A (－2，3) 在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )

4

A ．－ B ．－1

331C ．－ D 42

8．C [解析] 因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝

－p p

－，且点A (－2，3) 在准线上，故2，解得p ＝4，所以y 2＝8x ，所以焦点F 的22

3－03

坐标为(2，0) ，这时直线AF 的斜率k AF ＝＝－.

4－2－2

9．[2014·辽宁卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d ＞0 B ．d ＜0 C ．a 1d ＞0 D ．a 1d ＜0

b n ＋12a 1a n ＋1

9．D [解析] 令b n ＝2a 1a n ，因为数列{2a 1a n }为递减数列，所以 ＝＝2a 1(a n

b n 2a 1a n

＋1－a n ) ＝2a 1d

10，，cos πx ，x ∈⎡⎣210．[2014·辽宁卷] 已知f (x ) 为偶函数，当x ≥0时，f (x ) ＝则不

1

⎫，2x －1，x ∈⎛⎝2⎭

⎧

⎨⎩

等式

1

f (x －1) ≤的解集为( )

2

12⎡47⎤A. ⎡⎣4，3∪⎣34⎦

3112－∪⎡， B. ⎡3⎣43⎣4

13⎤⎡47C. ⎡⎣34⎦∪⎣34

3113－∪⎡， D. ⎡3⎣34⎣4

1110，⎤时，函数f (x ) 单调递减，由cos πx ≤，得10．A [解析] 由题可知，当x ∈⎡⎣2⎦23

111131，＋∞⎫时，x ≤；当x ∈⎛函数f (x ) 单调递增，由2x －1≤，得

3113131

－，－⎤∪⎡⎤，所以不等式得x 又因为f (x ) 为偶函数，所以f (x ) ≤的解解集为⎡3⎦⎣34⎦⎣4342

12⎡4713113

f (x －1) x －1≤－或≤x －1≤，解得x ∈⎡⎣4，3∪⎣3，4. 24334

ππ

11．[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ⎛2x ＋的图像向右平移个单位长度，所得图像对

23⎝

应的函数( )

π7π

A ．在区间⎡，上单调递减

⎣1212π7π

B ．在区间⎡上单调递增

⎣1212ππ

C ．在区间⎡－，上单调递减

⎣63ππ

D ．在区间⎡－，上单调递增

⎣63ππ

11．B [解析] 将函数y ＝3sin ⎛2x 的图像向右平移个单位长度，得到y ＝

23⎝

2πππ2

2x －π⎫的图像 2k π≤2x ≤＋2k π，k ∈Z ，即3sin ⎛3⎭⎝23212

7π2π7π

2x －π⎫的单调递增区间为⎡＋k π，＋k π⎤，k π≤x ≤k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎛3⎭⎝1212⎣12⎦π7π

k ∈Z ，当k ＝0时，可知函数在区间⎡上单调递增．

⎣121212．、[2014·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )

9

－6，－⎤ A ．[－5，－3] B. ⎡8⎦⎣

C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]

x 2－4x －3x 2－4x －3

12．C [解析] 当－2≤x

x x 2≤x

－x 2＋8x ＋9－（x －9）（x ＋1）

f ′(x ) ＝故函数f (x ) 在[－2，－1]上单调递减，在(－

x x 1＋4－3

1，0) 上单调递增，此时有a ≤f min (x ) ＝f (－1) ＝＝－2.

－1

当x ＝0时，不等式恒成立．

x 2－4x －3

当0

x x 2－4x －3

令g (x ) ＝x ≤1) ，

x －x 2＋8x ＋9

则g ′(x ) ＝，故函数g (x ) 在(0，1]上单调递增，此时有a ≥g max (x ) ＝g (1)＝

x 1－4－3

6. 1

综上，－6≤a ≤－2. 13．[2014·辽宁卷] 执行如图1-3所示的程序框图，若输入n ＝3，则输出T ＝________． 13．20

[解析] 由题意可知，第一步，i ＝1，S ＝1，T ＝1；第二步，i ＝2，S ＝3，T ＝4；第三步，i ＝3，S ＝6，T ＝10；第四步，i ＝4，S ＝10，T ＝20.

⎧2x ＋y －2≥0，

⎪

14．[2014·辽宁卷] 已知x ，y 满足约束条件⎨x －2y ＋4≥0，则目标函数z ＝3x ＋4y 的最

⎪⎩3x －y －3≤0，

大值为________．

3

14．18 [解析] 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由z ＝3x ＋4y 得y ＝－4

⎧⎪x －2y ＋4＝0，⎧⎪x ＝2，z

＋，当直线经过点C 时，z 取得最大值．由⎨得⎨故C 点坐标为(2，3) ，4⎪⎪3x －y －3＝0，y ＝3，⎩⎩这时z ＝3×2＋4×3＝

18.

15．[2014·辽宁卷] 已知椭圆C ：1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的

94

焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________．

15．12 [解析] 设MN 的中点为G ，则点G 在椭圆C 上，设点M 关于C 的焦点F 1的

11

对称点为A ，点M 关于C 的焦点F 2的对称点为B ，则有|GF 1|＝·|AN |，|GF 2|＝|BN |，所以

22

|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.

16．[2014·辽宁卷] 对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |

124

＋的最小值为________．

a b c

16．－1 [解析] 因为4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0，所以(2a ＋b ) 2－c ＝6ab ＝

（2a ＋b ）2

3×2ab ≤3×(2a ＋b ) 2≤4c ，当且仅当b ＝2a ，c ＝4a 2时，|2a ＋b |取得最大

4

12421⎛1⎫2

值．故＋＋＝⎝a ＋1⎭－1，其最小值为－1.

a b c a a 17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c . 已知

1→→

BA ·BC ＝2，cos B ＝b ＝3. 求：

3

(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C ) 的值．

→→

17．解：(1)由BA ·BC ＝2，得c ·a cos B ＝2，

1

又cos B ＝，所以ac ＝6.

3

由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.

⎧⎧⎪ac ＝6，⎪a ＝2，⎧⎪a ＝3，联立⎨22得⎨或⎨

⎪⎪⎪a ＋c ＝13，c ＝3c ＝2. ⎩⎩⎩因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.

1⎫22⎛(2)在△ABC 中，sin B 1－cos B 1－⎝3⎭＝.

3

c 22242

由正弦定理，得sin C ＝sin B ＝×＝.

b 339

因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin C ＝

427⎛1－＝. ⎝99

于是cos(B －C ) ＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 172 24 223＋＝39392718．、[2014·辽宁卷] 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行

(1)习惯方面有差异”；

(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取

3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．

2

2n （n 11n 22－n 12n 21）附：χ＝，

n 1＋n 2＋＋

18．解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得

n （n 11n 22－n 12n 21）2100×（60×10－20×10）21002

χ＝≈4.762.

21n 1＋n 2＋n ＋1n ＋270×30×80×20

由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．

(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1) ，(a 1，a 2，b 2) ，(a 1，a 2，b 3) ，(a 1，b 1，b 2) ，(a 1，b 1，b 3) ，(a 1，b 2，b 3) ，(a 2，b 1，b 2) ，(a 2，b 1，b 3) ，(a 2，b 2，b 3) ，(b 1，b 2，b 3)}，

其中a i 表示喜欢甜品的学生，i ＝1，2，b j 表示不喜欢甜品的学生，j ＝1，2，3. Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．

用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1，b 2) ，(a 1，b 1，b 3) ，(a 1，b 2，b 3) ，(a 2，b 1，b 2) ，(a 2，b 1，b 3) ，(a 2，b 2，b 3) ，(b 1，b 2，b 3)}．

7

事件A 由7个基本事件组成，因而P (A ) ＝10

19．、[2014·辽宁卷] 如图1-4所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝

BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，

，AD 的中点．

(1)求证：EF ⊥平面BCG ； (2)求三棱锥D -BCG 的体积．

1

附：锥体的体积公式V ＝Sh ，其中S 为底面面积，h 为高．

3

19．解：(1)证明：由已知得△ABC ≌△DBC ， 因此AC ＝DC .

又G 为AD 的中点，所以CG ⊥AD ，

同理BG ⊥AD . 又BG ∩CG ＝G ，所以AD ⊥平面BGC . 又EF ∥AD ，所以EF ⊥平面

(2)在平面ABC 内，作AO ⊥CB 由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥平面BDC .

又G 为AD 的中点，所以G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半． 在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°＝，所以

11131

V 三棱锥D -＝V S ·h ＝×BD ·BC ·sin 120°·＝. 三棱锥△BCG G -BCD DBC

33222

20．、、[2014·辽宁卷] 圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (

(1)求点P 的坐标；

(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ：y ＝x ＋3交于A ，B 两点，若△P AB 的面积为2，求C 的标准方程．

x 20．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0) ，则切线斜率为－y －y 0

y 0

4x ⎫＝－(x －x 0) ，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为⎛⎝x 0，0⎭，y 0

2⎛0，4，其围成的三角形的面积S ＝1448由x 2＋y ＝4≥2x 0y 0知当且仅当x 0＝y 000

⎝y 02x 0y 0x 0y 0

＝2时x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为(2，2) ．

x 2y 22

(2)设C 的标准方程为＝1(a ＞b ＞0) ，点A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ．由点P 在C 上知a b a

22x y ⎧⎪1，2

＋1，并由⎨a b 得b 2x 2＋4x ＋6－2b 2＝0. b

⎪⎩y ＝x 3，

3

x 1＋x 2＝－，

b

又x 1，x 2是方程的根，所以 2

6－2b x 1x 2＝.

b

由y 1＝x 13，y 2＝x 23，得

48－24b ＋8b 4 6

|AB |＝|x 1－x 2|＝2.

3b 3134 6

由点P 到直线l 的距离为S △P AB ＝|AB |＝2，得|AB |＝，即b 4－9b 2＋18

2322

＝0，

x 2y 222222

解得b ＝6或3，因此b ＝6，a ＝3(舍) 或b ＝3，a ＝6，从而所求C 的方程为63

1.

1－sin x

21．、[2014·辽宁卷] 已知函数f (x ) ＝π(x －cos x ) －2sin x －2，g (x ) ＝(x －π1＋sin x

2x

1. 证明： π

π

(1)存在唯一x 0∈⎛0，，使f (x 0) ＝0；

2⎝π

(2)存在唯一x 1∈⎛，π⎫，使g (x 1) ＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1＞π.

⎝2⎭

ππ

21．证明：(1)当x ∈⎛0，时，f ′(x ) ＝π＋πsin x －2cos x ＞0，所以f (x ) 在区间⎛0，22⎝⎝

2πππ

上为增函数．又f (0)＝－π－2＜0，f ⎛⎫＝4＞0，所以存在唯一x 0∈⎛0，，使f (x 0)

2⎝2⎭2⎝

＝0.

πcos x 2x

(2)当x ∈⎡，π⎤时，化简得g (x ) ＝(π－x －1.

⎣2⎦1＋sin x π

π

令t ＝π－x 则t ∈⎡0. 记u (t ) ＝g (π－t ) ＝

2⎣

f （t ）t cos t 2

－t ＋1，则u ′(t ) ＝. 1＋sin t ππ（1＋sin t ）

ππ

由(1)得，当t ∈(0，x 0) 时，u ′(t ) ＜0；当t ∈⎛x 0，时，u ′(t ) ＞0. 所以在⎛x 0，上u (t ) 为

2⎭2⎭⎝⎝

πππ

增函数，由u ⎛⎫＝0知，当t ∈⎡x 0时，u (t ) ＜0，所以u (t ) 在⎡x 0，上无零点．

2⎭2⎭⎝2⎭⎣⎣

在(0，x 0) 上u (t ) 为减函数，

由u (0)＝1及u (x 0) ＜0知存在唯一t 0∈(0，x 0) ，使u (t 0) ＝0.

π

于是存在唯一t 0∈⎛0⎫，使u (t 0) ＝0.

2⎭⎝ππ

设x 1＝π－t 0∈⎛π⎫，则g (x 1) ＝g (π－t 0) ＝u (t 0) ＝0. 因此存在唯一的x 1∈⎛π⎫，

⎝2⎭⎝2⎭

使g (x 1) ＝0.

由于x 1＝π－t 0，t 0＜x 0，所以x 0＋x 1＞π.

⎧⎨⎩

22．[2014·辽宁卷] 选修4-1

如图1-6，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG

并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .

(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .

22．证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA .

又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ， 所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ， 从而∠BDA ＝∠PF A .

因为AF ⊥EP ，所以∠PF A ＝90°，

所以∠BDA ＝90°，故AB 为圆的直径． (2)连接BC ，DC

.

由于AB 是直径，故∠BDA 在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ，所以∠DAB ＝∠CBA .

又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB . 因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角．

所以ED 为直径．又由(1)知AB 为圆的直径，所以ED ＝AB . 23．[2014·辽宁卷] 选修4-4：坐标系与参数方程

22

将圆x ＋y ＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；

(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以

坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．

⎧⎪x ＝x 1，2

23．解：(1)设(x 1，y 1) 为圆上的点，经变换为C 上的点(x ，y ) ，依题意，得⎨由x 1

⎪y ＝2y 1. ⎩

22

y 22y ＋y 1＝1得x 2＋⎛＝1，即曲线C 的方程为x ＋1. ⎝24

⎧⎪x ＝cos t ，

故C 的参数方程为⎨(t 为参数) ．

⎪y ＝2sin t ⎩

2y 2⎧⎧x ＝1，⎪⎧x ＝0，⎪x ＋41，⎪

(2)由⎨解得⎨或⎨

⎪⎪⎩y ＝0⎩y ＝2. ⎪⎩2x ＋y －2＝0，

1⎫11，所求直线斜率k ＝，于不妨设P 1(1，0) ，P 2(0，2) ，则线段P 1P 2的中点坐标为2⎭2

11

x －，即2x －4y ＝－3， 是所求直线方程为y －1＝⎛2⎝2化为极坐标方程，得2 ρcos θ－4ρsin θ＝－3，

3

即ρ＝.

4sin θ－2cos θ24．[2014·辽宁卷] 选修4-5：不等式选讲

设函数f (x ) ＝2|x －1|＋x －1，g (x ) ＝16x 2－8x ＋1. 记f (x ) ≤1的解集为M ，g (x ) ≤4的解集为N .

(1)求M ；

1

(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x ) ＋x [f (x )]2≤.

4

⎧⎪3x －3，x ∈[1，＋∞），

24．解：(1)f (x ) ＝⎨

⎪1－x ，x ∈（－∞，1）. ⎩

4

当x ≥1时，由f (x ) ＝3x －3≤1得x

3

4

故1≤x ≤；

3

当x ＜1时，由f (x ) ＝1－x ≤1得x ≥0， 故0≤x ＜1.

4⎫⎧

所以f (x ) ≤1的解集M ＝⎨x 0≤x ≤3⎬.

⎩⎭

122⎛(2)由g (x ) ＝16x －8x ＋1≤4得16⎝x －4≤4，

13解得－x

44

13⎫⎧

因此N ＝⎨x －4≤x ≤4，

⎩⎭

3⎫⎧

故M ∩N ＝⎨x 0≤x ≤4⎬.

⎩⎭

当x ∈M ∩N 时，f (x ) ＝1－x ，于是 x 2f (x ) ＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝xf (x ) ＝

1⎛1⎫21

x (1－x ) ＝－⎝x －2⎭44