高考专项训练21.数列大题专项训练
数列练习题
1 【重庆文数】在等差数列{a n }中,a 1+a 9=10,则a 5的值为( )
(A )5 (B )6 (C )8 (D )10
2 【重庆理数】在等比数列{a n }中, a 2010=8a 2007,则公比q 的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
3. 【全国卷2】如果等差数列{a n }中,a 3+a 4+a 5=12,那么a 1+a 2+... +a 7= (A )14 (B )21 (C )28 (D )35 4. (安徽文数】设数列{a n }的前n 项和S n =n 2,则a 8的值为( ) (A ) 15 (B) 16 (C) 49 (D )64 5. 【浙江文数】设s n 为等比数列{a n }的前n 项和,8a 2+a 5=0则
(A)-11
(B)-8 (C)5
(D)11
S 5
= S 2
6. 【全国卷1文数】已知各项均为正数的等比数列{a n },a 1a 2a 3=5,a 7a 8a 9=10,则a 4a 5a 6=( )
(A)
7. 【辽宁文数】设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知3S 3=a 4-2,3S 2=a 3-2,则公比q = ( ) (A )3 (B )4 (C )5 (D )6
1a +a
8. 【湖北文数】已知等比数列{a m }中,各项都是正数,且a 1,a 3, 2a 2成等差数列,则910=
2a 7+a 8
A. 1
B. 1
C. 3+
D 3-9. 若数列{a n }的前n 项和为S n =an 2+n (a ∈R ) ,则下列关于数列{a n }的说法正确的
A .{a n }一定是等差数列 B .{a n }从第二项开始构成等差数列 C .a ≠0时,{a n }是等差数列 D .不能确定其为等差数列
10 .已知等差数列1,a , b ,等比数列3,a +2, b +5,则该等差数列的公差为( )
A .3或-3
B .3或-1
C .3 D .-3
11. 公差不为零的等差数列{a n }中,a 2,a 3,a 6成等比数列,则其公比q 为( ) A .1 B .2 C .3 D .4
S S
12. 等差数列{a n }中, S n 是其前n 项和,a 1=-11, 10-8=2,则S 11=
108
A .-11 B .11 C.10 D .-10 二、填空题
13. 【福建】在等比数列{a n }中, 若公比q=4, 且前3项之和等于21, 则该数列的通项公式a n =.
14. 【辽宁文数】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 3=3,S 6=24,则a 9= 15. 在数列{a n }中,a 1=2, na n +1=(n +1) a n , 则{a n }通项公式a n 17. 在等差数列{an }中,a 4=-15, 公差d =3, 求数列{a n }的前n 项和S n 的最小值.
18. 【北京文数】已知{a n }为等差数列,且a 3=-6,a 6=0。(Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)若等差数列{b n }满足b 1=-8,b 2=a 1+a 2+a 3,求{b n }的前n 项和公式
19【重庆】已知{a n }是首项为19,公差为-2的等差数列,S n 为{a n }的前n 项和. (1)通项a n 及S n ; (2)是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n . 21. 【陕西文数】已知{a n }是公差不为零的等差数列,a 1=1,且a 1,a 3,a 9成等比数列.
(Ⅰ)求数列{a n }的通项;
(Ⅱ)求数列{2a n }的前n 项和S n .
三.解答题
1.(上海)已知数列{an }、{bn }、{cn }满足
(1)设c n =3n+6,{an }是公差为3的等差数列.当b 1=1时,求b 2、b 3的值; (2)设(3)设
,
,
.求正整数k ,使得对一切n ∈N *,均有b n ≥b k ;
.当b 1=1时,求数列{bn }的通项公式.
.
2.(重庆)设{an }是公比为正数的等比数列a 1=2,a 3=a2+4.
(Ⅰ)求{an }的通项公式;(Ⅱ)设{bn }是首项1,公差2的等差数列,求数列{an +bn }的前n 项和S n . 3.(重庆)设实数数列{an }的前n 项和S n 满足S n+1=an+1S n (n ∈N *).
(Ⅰ)若a 1,S 2,﹣2a 2成等比数列,求S 2和a 3.(Ⅱ)求证:对k ≥3有0≤a k ≤. 4.已知公差不为0的等差数列{an }的首项a 1为a (a ∈R )设数列的前n 项和为S n ,且等比数列.
(Ⅰ)求数列{an }的通项公式及S n ; (Ⅱ)记A n =
+
+
+…
+
,B n =
+
+…
+
,当a ≥2时,试比较A n 与B n 的大小.
,
,
成
5.(上海)已知数列{an }和{bn }的通项公式分别为a n =3n+6,b n =2n+7(n ∈N *).将集合{x|x=an ,n ∈N *}∪{x|x=bn ,n ∈N *}中的元素从小到大依次排列,构成数列c 1,c 2,c 3,…,c n ,… (1)写出c 1,c 2,c 3,c 4;
(2)求证:在数列{cn }中,但不在数列{bn }中的项恰为a 2,a 4,…,a 2n ,…; (3)求数列{cn }的通项公式.
6.(辽宁)已知等差数列{an }满足a 2=0,a 6+a8=﹣10 (I )求数列{an }的通项公式;(II )求数列
{
}的前n 项和.
7.(1)已知两个等比数列{an },{bn },满足a 1=a(a >0),b 1﹣a 1=1,b 2﹣a 2=2,b 3﹣a 3=3,若数列{an }唯一,求a ;
(2)是否存在两个等比数列{an },{bn },使得b 1﹣a 1,b 2﹣a 2,b 3﹣a 3.b 4﹣a 4成公差不 为0的等差数列?若存在,求{an },{bn }的通项公式;若不存在,说明理由.
8.湖北)成等差数列的三个正数的和等于15,且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn }中的b 3、b 4、b 5.
(I ) 求数列{bn }的通项公式;(II ) 数列{bn }的前n 项和为S n ,求证:数列{Sn +}是等比数列. 9.(广东)设b >0,数列{an}满足a 1=b,a n =
(n ≥2)
(1)求数列{an }的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n ,2a n ≤b n+1+1.
10(浙江)设a 1,d 为实数,首项为a 1,公差为d 的等差数列{an }的前n 项和为S n ,满足S 5S 6+15=0. (Ⅰ)若S 5=5,求S 6及a 1;(Ⅱ)求d 的取值范围.
11四川)已知等差数列{an }的前3项和为6,前8项和为﹣4.
(Ⅰ)求数列{an }的通项公式;(Ⅱ)设b n =(4﹣a n )q n ﹣1(q ≠0,n ∈N *),求数列{bn }的前n 项和S n . 12(陕西)已知{an }是公差不为零的等差数列,a 1=1,且a 1,a 3,a 9成等比数列. (Ⅰ)求数列{an }的通项;(Ⅱ)求数列{2an }的前n 项和S n . 13(江西)正实数数列{an }中,a 1=1,a 2=5,且{an 2}成等差数列.
(1)证明数列{an }中有无穷多项为无理数;(2)当n 为何值时,a n 为整数,并求出使a n <200的所有整数项的和.
14(陕西)已知数列{an }满足,
,n ∈N ×.
(1)令b n =an+1﹣a n ,证明:{bn }是等比数列;(2)求{an }的通项公式. 15辽宁)等比数列{an }的前n 项和为s n ,已知S 1,S 3,S 2成等差数列, (1)求{an }的公比q ; ( 2)求a 1﹣a 3=3,求s n .
16湖北)已知数列{an }是一个公差大于0的等差数列,且满足a 2a 6=55,a 2+a7=16 (1)求数列{an }的通项公式; (2)数列{an }和数列{bn }满足等式a n =17福建)等比数列{an }中,已知a 1=2,a 4=16 (I )求数列{an }的通项公式;
(n ∈N *),求数列{bn }的前n 项和S n .
(Ⅱ)若a 3,a 5分别为等差数列{bn }的第3项和第5项,试求数列{bn }的通项公式及前n 项和S n . 18安徽)已知数列{an }的前n 项和S n =2n2+2n,数列{bn }的前n 项和Tn=2﹣b n
(Ⅰ)求数列{an }与{bn }的通项公式;(Ⅱ)设c n =an 2•b n ,证明:当且仅当n ≥3时,c n+1<c n .
19北京)设数列{an }的通项公式为a n =pn+q(n ∈N *,P >0).数列{bn }定义如下:对于正整数m ,b m 是使得不等式a n ≥m 成立的所有n 中的最小值. (Ⅰ)若
,求b 3;(Ⅱ)若p=2,q=﹣1,求数列{bm }的前2m 项和公式;
(Ⅲ)是否存在p 和q ,使得b m =3m+2(m ∈N *)?如果存在,求p 和q 的取值范围;如果不存在,请说明理由.
20浙江)已知数列{xn }的首项x 1=3,通项x n =2n p+np(n ∈N*,p ,q 为常数),且成等差数列.求: (Ⅰ)p ,q 的值;(Ⅱ)数列{xn }前n 项和S n 的公式.
21(四川)设数列{an }的前n 项和为S n =2an ﹣2n ,
(Ⅰ)求a 1,a 4(Ⅱ)证明:{an+1﹣2a n }是等比数列;(Ⅲ)求{an }的通项公式.
22(四川)在数列{an }中,a 1=1,(Ⅰ)求{an }的通项公式; (Ⅱ)令
23(陕西)已知数列{an }的首项(Ⅰ)证明:数列
,
,n=1,2,3,….
的前n 项和S n .
.
,求数列{bn }的前n 项和S n ;(Ⅲ)求数列{an }的前n 项和T n .
.
是等比数列;(Ⅱ)求数列
24(辽宁)在数列{an },{bn }是各项均为正数的等比数列,设(Ⅰ)数列{cn }是否为等比数列?证明你的结论;
(Ⅱ)设数列{lnan },{lnbn }的前n 项和分别为S n ,T n .若a 1=2,
,求数列{cn }的前n 项和.
25辽宁)在数列{an },{bn }中,a 1=2,b 1=4,且a n ,b n ,a n+1成等差数列,b n ,a n+1,b n+1成等比数列. (1)求a 2,a 3,a 4及b 2,b 3,b 4,由此猜测{an },{bn }的通项公式,并证明你的结论; (2)证明:
.
答案与评分标准
一.解答题(共30小题)
1.(2012•上海)已知数列{an }、{bn }、{cn }满足
(1)设c n =3n+6,{an }是公差为3的等差数列.当b 1=1时,求b 2、b 3的值; (2)设(3)设
,
,
.求正整数k ,使得对一切n ∈N *,均有b n ≥b k ;
.当b 1=1时,求数列{bn }的通项公式.
.
考点:数列递推式;数列的函数特性。 专题:计算题;分类讨论。
分析:(1)先根据条件得到数列{bn }的递推关系式,即可求出结论;
(2)先根据条件得到数列{bn }的递推关系式;进而判断出其增减性,即可求出结论;
(3)先根据条件得到数列{bn }的递推关系式;再结合叠加法以及分类讨论分情况求出数列{bn }的通项公式,最后综合即可. 解答:解:(1)∵a n+1﹣a n =3, ∴b n+1﹣b n =n+2, ∵b 1=1, ∴b 2=4,b 3=8. (2)∵
∴a n+1﹣a n =2n﹣7, ∴b n+1﹣b n =
,
.
由b n+1﹣b n >0,解得n ≥4,即b 4<b 5<b 6…; 由b n+1﹣b n <0,解得n ≤3,即b 1>b 2>b 3>b 4. ∴k=4.
(3)∵a n+1﹣a n =(﹣1)n+1, ∴b n+1﹣b n =(﹣1)n+1(2n +n).
∴b n ﹣b n ﹣1=(﹣1)n (2n 1+n﹣1)(n ≥2).
﹣
故b 2﹣b 1=21+1; b 3﹣b 2=(﹣1)(22+2), …
b n ﹣1﹣b n ﹣2=(﹣1)n ﹣1(2n ﹣2+n﹣2). b n ﹣b n ﹣1=(﹣1)n (2n ﹣1+n﹣1).
当n=2k时,以上各式相加得
b n ﹣b 1=(2﹣22+…﹣2n ﹣2+2n ﹣1)+[1﹣2+…﹣(n ﹣2)+(n ﹣1)] =∴b n =
=
+=
++.
+.
当n=2k﹣1时,
=
=﹣
+
+﹣(2n +n)
﹣
+
∴b n =.
点评:本题主要考察数列递推关系式在求解数列通项中的应用.是对数列知识的综合考察,属于难度较高的题目.
2.(2011•重庆)设{an }是公比为正数的等比数列a 1=2,a 3=a2+4. (Ⅰ)求{an }的通项公式;
(Ⅱ)设{bn }是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{an +bn }的前n 项和S n . 考点:等比数列的通项公式;数列的求和。 专题:计算题。
分析:(Ⅰ)由{an }是公比为正数的等比数列,设其公比,然后利用a 1=2,a 3=a2+4可求得q ,即可求得{an }的通项公式
(Ⅱ)由{bn }是首项为1,公差为2的等差数列 可求得b n =1+(n ﹣1)×2=2n﹣1,然后利用等比数列与等差数列的前n 项和公式即可求得数列{an +bn }的前n 项和S n . 解答:解:(Ⅰ)∵设{an }是公比为正数的等比数列 ∴设其公比为q ,q >0 ∵a 3=a2+4,a 1=2
∴2×q 2=2×q+4 解得q=2或q=﹣1 ∵q >0 ∴q=2
∴{an }的通项公式为a n =2×2n ﹣1=2n
(Ⅱ)∵{bn }是首项为1,公差为2的等差数列 ∴b n =1+(n ﹣1)×2=2n﹣1 ∴数列{an +bn }的前n 项和S n =
+
=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2
点评:本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和,注意题目条件的应用.在用等比数列的前n 项和公式时注意辨析q 是否为1,只要简单数字运算时不出错,问题可解,是个基础题.
3.(2011•重庆)设实数数列{an }的前n 项和S n 满足S n+1=an+1S n (n ∈N *). (Ⅰ)若a 1,S 2,﹣2a 2成等比数列,求S 2和a 3. (Ⅱ)求证:对k ≥3有0≤a k ≤.
考点:数列与不等式的综合;数列递推式。 专题:综合题。 分析:(Ⅰ)由题意a 3.
(Ⅱ)由题设条件知S n +an+1=an+1S n ,S n ≠1,a n+1≠1,且有0≤a n ﹣1≤.
解答:解:(Ⅰ)由题意得S 22=﹣2S 2,
由S 2是等比中项知S 2≠0, ∴S 2=﹣2. 由S 2+a3=a3S 2,解得
. ,
,
,由此能够证明对k ≥3
,得S 22=﹣2S 2,由S 2是等比中项知S 2=﹣2,由此能求出S 2和
(Ⅱ)证明:因为S n+1=a1+a2+a3+…+an +an+1=an+1+Sn , 由题设条件知S n +an+1=an+1S n , ∴S n ≠1,a n+1≠1,且
,
又从而对k ≥3,有
0≤a k ≤.
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的合理运用.
4.(2011•浙江)已知公差不为0的等差数列{an }的首项a 1为a (a ∈R )设数列的前n 项和为S n ,且,
成等比数列.
,
(Ⅰ)求数列{an }的通项公式及S n ; (Ⅱ)记A n =
+
+
+…
+
,B n =
+
+…
+
,当a ≥2时,试比较A n 与B n 的大小.
考点:数列与不等式的综合;数列的求和;等差数列的性质。 专题:计算题;证明题。
分析:(Ⅰ)设出等差数列的公差,利用等比中项的性质,建立等式求得d ,则数列的通项公式和前n 项的和可得.
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的a n 和S n ,代入不等式,利用裂项法和等比数列的求和公式整理A n 与B n ,最后对a >0和a <0两种情况分情况进行比较.
解答:解:(Ⅰ)设等差数列{an }的公差为d ,由(得(a 1+d)2=a1(a 1+3d),因为d ≠0,所以d=a1=a 所以a n =na,S n =(Ⅱ)解:∵∴A n =∵
+
+
=(﹣+…
+
)
) =
)2=
•,
=(1﹣=
=2n ﹣1a ,所以
,
B n =
++…+=•=•(1﹣)
当n ≥2时,2n =Cn 0+Cn 1+…+Cn n >n+1,即1﹣
<1﹣
所以,当a >0时,A n <B n ;当a <0时,A n >B n .
点评:本题主要考查了等差数列的性质.涉及了等差数列的通项公式,求和公式以及数列的求和的方法,综合考查了基础知识的运用.
5.(2011•上海)已知数列{an }和{bn }的通项公式分别为a n =3n+6,b n =2n+7(n ∈N *).将集合{x|x=an ,n ∈N *}∪{x|x=bn ,n ∈N *}中的元素从小到大依次排列,构成数列c 1,c 2,c 3,…,c n ,… (1)写出c 1,c 2,c 3,c 4;
(2)求证:在数列{cn }中,但不在数列{bn }中的项恰为a 2,a 4,…,a 2n ,…; (3)求数列{cn }的通项公式.
考点:等差数列的通项公式;数列的概念及简单表示法。 专题:综合题;分类讨论;转化思想。
分析:(1)利用两个数列的通项公式求出前3项,按从小到大挑出4项.
(2)对于数列{an },对n 从奇数与偶数进行分类讨论,判断是否能写成2n+7的形式.
(3)对{an }中的n 从从奇数与偶数进行分类讨论,对{bn }中的n 从被3除的情况分类讨论,判断项的大小,求出数列的通项.
解答:解:(1)a 1=3×1+6=9; a 2=3×2+6=12 a 3=3×3+6=15 b 1=2×1+7=9 b 2=2×2+7=11 b 3=2×3+7=13 ∴c 1=9;c 2=11;c 3=12;c 4=13 (2)解对于a n =3n+6, 当n 为奇数时,设为n=2k+1
则3n+6=2(3k+1)+7∈{bn }
当n 为偶数时,设n=2k则3n+6=6k﹣1+7不属于{bn }
∴在数列{cn }中,但不在数列{bn }中的项恰为a 2,a 4,…,a 2n ,…; (3)b 3k ﹣2=2(3k ﹣2)+7=a2k ﹣1 b 3k ﹣1=6k+5 a 2k =6k+6 b 3k =6k+7
∵6k+3<6k+5<6k+6<6k+7
∴当k=1时,依次有b 1=a1=c1,b 2=c2,a 2=c3,b 3=c4…
∴
点评:本题考查利用数列的通项公式求数列的项、考查判断某项是否属于一个数列是看它是否能写出通项形式、考查分类讨论的数学数学方法.
6.(2011•辽宁)已知等差数列{an }满足a 2=0,a 6+a8=﹣10 (I )求数列{an }的通项公式; (II )求数列
{
}的前n 项和.
考点:等差数列的通项公式;数列的求和。 专题:综合题。 分析:(I )
根据等差数列的通项公式化简a 2=0和a 6+a8=﹣10,得到关于首项和公差的方程组,求出方程组的解即可得到数列的首项和公差,根据首项和公差写出数列的通项公式即可; (II )
把(I )求出通项公式代入已知数列,列举出各项记作①,然后给两边都除以2得另一个关系式记作②,①﹣②后,利用a n 的通项公式及等比数列的前n 项和的公式化简后,即可得到数列{前n 项和的通项公式.
解答:解:(I )设等差数列{an }的公差为d ,由已知条件可得
,
}的
解得:,
故数列{an }的通项公式为a n =2﹣n ;
(II )设数列
{}的前n 项和为S n ,即S n =a1++…+①,故S 1=1, =
++…
+②,
当n >1时,①﹣②得:
=a1++…+﹣
=1﹣(
++…+)﹣
=1﹣(1﹣所以S n =
综上,数列{)﹣
, =, }的前n 项和S n =.
点评:此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值,会利用错位相减法求数列的和,是一道中档题.
7.(2011•江西)(1)已知两个等比数列{an },{bn },满足a 1=a(a >0),b 1﹣a 1=1,b 2﹣a 2=2,b 3﹣a 3=3,若数列{an }唯一,求a 的值;
(2)是否存在两个等比数列{an },{bn },使得b 1﹣a 1,b 2﹣a 2,b 3﹣a 3.b 4﹣a 4成公差不 为0的等差数列?若存在,求{an },{bn }的通项公式;若不存在,说明理由.
考点:等比数列的性质;等比数列的通项公式。
专题:综合题。
分析:(1)设等比数列{an }的公比为q ,根据等比数列的通项公式,由b 1﹣a 1=1,b 2﹣a 2=2,b 3﹣a 3=3表示出b 1,b 2,b 3,根据b 1,b 2,b 3成等比数列,再根据等比数列的通项公式得到等比数列{an }的首项与公比的关系式,把q 看作未知数,根据a 大于0得出根的判别式大于0,进而得到方程有两个不同的实根,又数列{an }唯一,得到方程必有一根为0,把q=0代入方程即可得到关于a 的方程,求出方程的解即可得到a 的值;
(2)利用反证法进行证明,假设存在,分别设出两等比数列的公比,根据等差数列的通项公式,b 1﹣a 1,b 2﹣a 2,b 3﹣a 3,b 4﹣a 4成公差不为0的等差数列,列出关系式,化简后分别求出两等比数列的首项及公比,分别求出b 1﹣a 1,b 2﹣a 2,b 3﹣a 3,b 4﹣a 4的公差为0,与已知的公差不为0矛盾,假设错误,进而得到不存在两个等比数列{an },{bn },使得b 1﹣a 1,b 2﹣a 2,b 3﹣a 3.b 4﹣a 4成公差不 为0的等差数列.
解答:解:(1)设{an }的公比为q ,
∵a 1=a(a >0),b 1﹣a 1=1,b 2﹣a 2=2,b 3﹣a 3=3,
∴b 1=1+a,b 2=2+aq,b 3=3+aq2,
∵b 1,b 2,b 3成等比数列,
∴(2+aq)2=(1+a)(3+aq2)即aq 2﹣4aq+3a﹣1=0,
∵a >0,
∴△=4a2+4a>0,
∴方程有两个不同的实根,
又∵数列{an }唯一,
∴方程必有一根为0,将q=0代入方程得
a=,
∴
a=;
(2)假设存在两个等比数列{an },{bn },使b 1﹣a 1,b 2﹣a 2,b 3﹣a 3,b 4﹣a 4成公差不为0的等差数列, 设{an }的公比为q 1,{bn }的公比为q 2,
则b 2﹣a 2=b1q 2﹣a 1q 1,b 3﹣a 3=b1q 22﹣a 1q 12,b 4﹣a 4=b1q 23﹣a 1q 13,
由b 1﹣a 1,b 2﹣a 2,b 3﹣a 3,b 4﹣a 4成的等差数列得:
即
①×q 2﹣②得:a 1(q 1﹣q 2)(q 1﹣1)2=0,
由a 1≠0得:q 1=q2或q 1=1, ,
(i )当q 1=q2时,由①,②得b 1=a1或q 1=q2=1,这时(b 2﹣a 2)﹣(b 1﹣a 1)=0与公差不为0矛盾; (ii )q 1=1时,由①,②得b 1=0或q 2=1,这时(b 2﹣a 2)﹣(b 1﹣a 1)=0与公差不为0矛盾, 综上所述,不存在两个等比数列{an },{bn },使得b 1﹣a 1,b 2﹣a 2,b 3﹣a 3.b 4﹣a 4成公差不为0的等差列.
点评:此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及等比数列的性质化简求值,会利用反证法说明命题的真假,是一道中档题.
8.(2011•湖北)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn }中的b 3、b 4、b 5.
(I ) 求数列{bn }的通项公式;
(II ) 数列{bn }的前n 项和为S n ,求证:数列{Sn +}是等比数列.
考点:等比关系的确定;等比数列的通项公式;等比数列的前n 项和。
专题:证明题;综合题。
分析:(I )利用成等差数列的三个正数的和等于15可设三个数分别为5﹣d ,5+d,代入等比数列中可求d ,进一步可求数列{bn }的通项公式
(II )根据(I )及等比数列的前 n 项和公式可求S n ,要证数列{Sn +}是等比数列⇔
解答:解:(I )设成等差数列的三个正数分别为a ﹣d ,a ,a+d
依题意,得a ﹣d+a+a+d=15,解得a=5
所以{bn }中的依次为7﹣d ,10,18+d
依题意,有(7﹣d )(18+d)=100,解得d=2或d=﹣13(舍去)
故{bn }的第3项为5,公比为2
由b 3=b1•22,即5=4b1,解得
即可. 所以{bn }是以首项,2为公比的等比数列,通项公式为
(II )数列{bn }的前和 即,所以,
因此{}是以为首项,公比为2的等比数列
点评:本题主要考查了等差数列、等比数列及前n 和公式等基础知识,同时考查基本运算能力
9.(2011•广东)设b >0,数列{an}满足a 1=b,a n =
(1)求数列{an }的通项公式;
(4)证明:对于一切正整数n ,2a n ≤b n+1+1.
考点:数列递推式;数列与不等式的综合。
(n ≥2)
专题:综合题;分类讨论;转化思想。
分析:(1)由题设形式可以看出,题设中给出了关于数列a n 的面的一个方程,即一个递推关系,所以应该对此递推关系进行变形整理以发现其中所蕴含的规律,观察发现若对方程两边取倒数则可以得到一个类似等差数列的形式,对其中参数进行讨论,分类求其通项即可.
(2)由于本题中条件较少,解题思路不宜用综合法直接分析出,故求解本题可以采取分析法的思路,由结论探究其成立的条件,再证明此条件成立,即可达到证明不等式的目的.
解答:解:(1)∵(n ≥2), ∴(n ≥2),
当b=1时,
∴数列{
∴}是以(n ≥2), 为首项,以1为公差的等差数列, =1+(n ﹣1)×1=n,即a n =1,
(n ≥2),
=×
=为首项,公比为的等比数列, ,即a n =, 当b >0,且b ≠1时,即数列{∴=}是以∴数列{an }的通项公式是
(2)证明:当b=1时,不等式显然成立
当b >0,且b ≠1时,a n = ,要证对于一切正整数n ,2a n ≤b n+1+1,只需证
2×≤b n+1+1,即证 ∵ =
=(b n+1+1)×(b n ﹣1+bn ﹣2+…+b+1)
=(b 2n +b2n ﹣1+…+bn+2+bn+1)+(b n ﹣1+bn ﹣2+…+b+1)
=bn [(b n +bn ﹣1+…+b2+b)+(
+
≥b n (2+2+…+2)=2nbn
所以不等式成立,
综上所述,对于一切正整数n ,有2a n ≤b n+1+1,
点评:本题考点是数列的递推式,考查根据数列的递推公式求数列的通项,研究数列的性质的能力,本题中递推关系的形式适合用取倒数法将所给的递推关系转化为有规律的形式,两边取倒数,条件许可的情况下,使用此技巧可以使得解题思路呈现出来.数列中有请多成熟的规律,做题时要注意积累这些小技巧,在合适的情况下利用相关的技巧,可以简化做题.在(2)的证明中,采取了分析法的来探究解题的思路,通过本题希望能进一步熟悉分析法证明问题的技巧.
10.(2011•安徽)在数1 和100之间插入n 个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积计作T n ,再令a n =lgTn ,n ≥1.
(I )求数列{an }的通项公式;
(Ⅱ)设b n =tanan •tana n+1,求数列{bn }的前n 项和S n .
考点:等比数列的通项公式;数列与三角函数的综合。
专题:计算题。
分析:(I )根据在数1 和100之间插入n 个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,我们易得这n+2项的几何平均数为10,故T n =10n+2,进而根据对数的运算性质我们易计算出数列{an }的通项公式;
(II )根据(I )的结论,利用两角差的正切公式,我们易将数列{bn }
的每一项拆成
的形式,进而得到结论.
解答:解:(I )∵在数1 和100之间插入n 个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列, 又∵这n+2个数的乘积计作T n ,
∴T n =10n+2
又∵a n =lgTn ,
∴a n =lg10n+2=n+2,n ≥1.
(II )∵b n =tanan •tana n+1=tan(n+2)•tan (n+3)=
∴S n =b1+b2+…+bn =[] ]+[]+…
+[, +…
+)]
=
点评:本题考查的知识点是等比数列的通项公式及数列与三角函数的综合,其中根据已知求出这n+2项的几何平均数为10,是解答本题的关键.
11.(2010•浙江)设a 1,d 为实数,首项为a 1,公差为d 的等差数列{an }的前n 项和为S n ,满足S 5S 6+15=0. (Ⅰ)若S 5=5,求S 6及a 1;
(Ⅱ)求d 的取值范围.
考点:等差数列的前n 项和。
分析:(I )根据附加条件,先求得s 6再求得a 6分别用a 1和d 表示,再解关于a 1和d 的方程组. (II )所求问题是d 的范围,所以用“a 1,d ”法.
解答:解:(Ⅰ)由题意知S 6=
a 6=S6﹣S 5=﹣8 所以
解得a 1=7
所以S 6=﹣3,a 1=7;
解:(Ⅱ)因为S 5S 6+15=0,
所以(5a 1+10d)(6a 1+15d)+15=0,
即2a 12+9da1+10d2+1=0.
故(4a 1+9d)2=d2﹣8.
所以d 2≥8.
故d 的取值范围为d ≤﹣2或d ≥2. =﹣3,
点评:本题主要考查等差数列概念、求和公式通项公式等基础知识,同时考查运算求解能力及分析问题解决问题的能力.
12.(2010•四川)已知等差数列{an }的前3项和为6,前8项和为﹣4.
(Ⅰ)求数列{an }的通项公式;
(Ⅱ)设b n =(4﹣a n )q n ﹣1(q ≠0,n ∈N *),求数列{bn }的前n 项和S n .
考点:等差数列的通项公式;数列的求和。
专题:计算题。
分析:(1)设{an }的公差为d ,根据等差数列的求和公式表示出前3项和前8项的和,求的a 1和d ,进而根据等差数列的通项公式求得a n .
(2)根据(1)中的a n ,求得b n ,进而根据错位相减法求得数列{bn }的前n 项和S n .
解答:解:(1)设{an }的公差为d , 由已知得
解得a 1=3,d=﹣1
故a n =3+(n ﹣1)(﹣1)=4﹣n ;
(2)由(1)的解答得,b n =n•q n ﹣1,于是
S n =1•q 0+2•q 1+3•q 2+…+(n ﹣1)•q n ﹣1+n•q n .
若q ≠1,将上式两边同乘以q ,得
qS n =1•q 1+2•q 2+3•q 3+…+(n ﹣1)•q n +n•q n+1.
将上面两式相减得到
(q ﹣1)S n =nqn ﹣(1+q+q2+…+qn ﹣1)
=nqn ﹣
于是S n =
若q=1,则S n =1+2+3+…
+n=
所以,S n =.
点评:本小题主要考查数列的基础知识和划归、分类整合等数学思想,以及推理论证、分析与解决问题的能力.
13.(2010•四川)已知数列{an }满足a 1=0,a 2=2,且对任意m 、n ∈N *都有a 2m ﹣1+a2n ﹣1=2am+n﹣1+2(m ﹣n )2
(1)求a 3,a 5;
(2)设b n =a2n+1﹣a 2n ﹣1(n ∈N *),证明:{bn }是等差数列;
(3)设c n =(a n+1﹣a n )q n ﹣1(q ≠0,n ∈N *),求数列{cn }的前n 项和S n .
考点:数列递推式;数列的求和。
专题:综合题;转化思想。
分析:(1)欲求a 3,a 5只需令m=2,n=1赋值即可.
(2)以n+2代替m ,然后利用配凑得到b n+1﹣b n ,和等差数列的定义即可证明.
(3)由(1)(2)两问的结果可以求得c n ,利用乘公比错位相减求{cn }的前n 项和S n .
解答:解:(1)由题意,令m=2,n=1,可得a 3=2a2﹣a 1+2=6
再令m=3,n=1,可得a 5=2a3﹣a 1+8=20
(2)当n ∈N *时,由已知(以n+2代替m )可得
a 2n+3+a2n ﹣1=2a2n+1+8
于是[a2(n+1)+1﹣a 2(n+1)﹣1]﹣(a 2n+1﹣a 2n ﹣1)=8
即b n+1﹣b n =8
所以{bn }是公差为8的等差数列
(3)由(1)(2)解答可知{bn }是首项为b 1=a3﹣a 1=6,公差为8的等差数列
则b n =8n﹣2,即a 2n+1﹣a 2n ﹣1=8n﹣2
另由已知(令m=1)可得
a n =﹣(n ﹣1)2.
﹣2n+1 那么a n+1﹣a n =
=﹣2n+1=2n
﹣于是c n =2nqn 1.
当q=1时,S n =2+4+6++2n=n(n+1)
当q ≠1时,S n =2•q 0+4•q 1+6•q 2++2n•q n ﹣1.
两边同乘以q ,可得
qS n =2•q 1+4•q 2+6•q 3++2n•q n .
上述两式相减得
(1﹣q )S n =2(1+q+q2++qn ﹣1)﹣2nq n
=2
•﹣2nq n
=2
•
所以S n =2•
综上所述,S n =
点评:本小题是中档题,主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想,以及推理论证、分析与解决问题的能力.同时考查了等差,等比数列的定义,通项公式,和数列求和的方法.
14.(2010•陕西)已知{an }是公差不为零的等差数列,a 1=1,且a 1,a 3,a 9成等比数列.
(Ⅰ)求数列{an }的通项;
(Ⅱ)求数列{2an }的前n 项和S n .
考点:等差数列与等比数列的综合。
专题:计算题。
分析:(I )由题意可得a 32=a1•a 9=a9,从而建立关于公差d 的方程,解方程可求d ,进而求出通项a n (II )由(I
)可得,代入等比数列的前n 项和公式可求S n
解答:解(Ⅰ)由题设知公差d ≠0,
由a 1=1,a 1,a 3,a 9
成等比数列得=,
解得d=1,d=0(舍去),故{an }的通项a n =1+(n ﹣1)×1=n;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知{2}^{{a}_{n}}={2}^{n},由等比数列前n 项和公式得
S m =2+22+23+…+2n ==2n+1﹣2.
点评:本题考查了等差数列及等比数列的通项公式,等比数列的前n 项和公式,属于基本公式的简单运用.
15.(2010•宁夏)设数列
(1)求数列{an }的通项公式;
(2)令b n =nan ,求数列的前n 项和S n .
考点:数列递推式;数列的求和。
专题:计算题。
分析:(Ⅰ)由题意得a n+1=[(a n+1﹣a n )+(a n ﹣a n ﹣1)+…+(a 2﹣a 1)]+a1=3(22n ﹣1+22n ﹣3+…+2)+2=22(n+1)﹣1满足a 1=2,a n+1﹣a n =3•22n ﹣1 .由此可知数列{an }的通项公式为a n =22n ﹣1.
(Ⅱ)由b n =nan =n•22n ﹣1知S n =1•2+2•23+3•25++n•22n ﹣1,,由此入手可知答案.
解答:解:(Ⅰ)由已知,当n ≥1时,a n+1=[(a n+1﹣a n )+(a n ﹣a n ﹣1)++(a 2﹣a 1)]+a1=3(22n ﹣1+22n ﹣3+…+2)+2=22(n+1)﹣1.
而a 1=2,
所以数列{an }的通项公式为a n =22n ﹣1.
(Ⅱ)由b n =nan =n•22n ﹣1知S n =1•2+2•23+3•25+…+n•22n ﹣1①
从而22S n =1•23+2•25+…+n•22n+1②
①﹣②得(1﹣22)•S n =2+23+25+…+22n ﹣1﹣n •22n+1. 即.
点评:本题主要考查数列累加法(叠加法)求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力.
16.(2010•江西)正实数数列{an }中,a 1=1,a 2=5,且{an 2}成等差数列.
(1)证明数列{an }中有无穷多项为无理数;
(2)当n 为何值时,a n 为整数,并求出使a n <200的所有整数项的和.
考点:数列的求和;等差数列的性质。
专题:创新题型。
分析:(1)由a 1=1,a 2=5且{an 2}成等差数列,求出a n 2的通项公式,由通项公式分析出无理数;
(2)由a n 的表达式讨论使a n <200的整数项,从而求出所有整数项的和.
解答:(1)证明:由已知有:a n 2=1+24(n ﹣1),从而
方法一:取n ﹣1=242k ﹣1,则
用反证法证明这些a n 都是无理数. 假设为有理数,则a n 必为正整数,且a n <24k , ,
故a n ﹣24k ≥1.a n ﹣24k >1,与(a n ﹣24k )(a n +24k )=1矛盾, 所以都是无理数,即数列a n 中有无穷多项为无理数;
(2)要使a n 为整数,由(a n ﹣1)(a n +1)=24(n ﹣1)可知:
a n ﹣1,a n +1同为偶数,且其中一个必为3的倍数,所以有a n ﹣1=6m或a n +1=6m
当a n =6m+1时,有a n 2=36m2+12m+1=1+12m(3m+1)(m ∈N )
又m (3m+1)必为偶数,所以a n =6m+1(m ∈N )满足a n 2=1+24(n ﹣1) 即(m ∈N )时,a n 为整数;
同理a n =6m﹣1(m ∈N +)有a n 2=36m2﹣12m+1=1+12(3m ﹣1)(m ∈N +)
也满足a n 2=1+24(n ﹣1),即(m ∈N +)时,a n 为整数;
显然a n =6m﹣1(m ∈N +)和a n =6m+1(m ∈N )是数列中的不同项; 所以当(m ∈N )和(m ∈N +)时,a n 为整数;
由a n =6m+1<200(m ∈N )有0≤m ≤33,
由a n =6m﹣1<200(m ∈N +)有1≤m ≤33. 设a n 中满足a n <200的所有整数项的和为S ,则 S=(5+11+…+197)+(1+7+…+199)
=
点评:对一个正整数数能否写成另一个整数的平方的形式,是难点;对整数的奇偶性分析也是难点;故此题是中档题.
17.(2009•陕西)已知数列{an }满足,(1)令b n =an+1﹣a n ,证明:{bn }是等比数列; (2)求{an }的通项公式.
考点:等比关系的确定;数列递推式。 专题:证明题。
分析:(1)先令n=1求出b 1,然后当n ≥2时,求出a n+1的通项代入到b n 中化简可得{bn }是以1为首项,
为公比的等比数列得证;
(2)由(1)找出b n 的通项公式,当n ≥2时,利用a n =a1+(a 2﹣a 1)+(a 3﹣a 2)++(a n ﹣a n ﹣1)代入并利用等比数列的前n 项和的公式求出即可得到a n 的通项,然后n=1检验也符合,所以n ∈N ,a n 都成立.
解答:解:(1)证b 1=a2﹣a 1=1, 当n ≥2时,
所以{bn }是以1为首项,(2)解由(1)知
为公比的等比数列.
,
,n ∈N ×.
当n ≥2时,a n =a1+(a 2﹣a 1)+(a 3﹣a 2)++(a n ﹣a n ﹣1)=1+1+(﹣)+…+
=
当n=1时,所以
=
. .
=,
点评:考查学生会确定一个数列为等比数列,会利用数列的递推式的方法求数列的通项公式.以及会利用等比数列的前n 项和的公式化简求值.
18.(2009•山东)等比数列{an }的前n 项和为S n ,已知对任意的n ∈N *,点(n ,S n ),均在函数y=bx +r(b >0)且b ≠1,b ,r 均为常数)的图象上. (1)求r 的值; (2)当b=2时,记b n =
n ∈N *求数列{bn }的前n 项和T n .
考点:数列与函数的综合;数列的求和。 专题:计算题;分类讨论。
分析:(1)由“对任意的n ∈N +,点(n ,S n ),均在函数y=bx +r(b >0,且b ≠1,b ,r 均为常数)的图象上”可得到S n =bn +r,
再由通项与前n 项和之间的关系可求得结果. (2)结合(1)可知a n =(b ﹣1)b n 1=2n 1,从而bn=
﹣
﹣
,符合一个等差数列与等
比数列相应项之积的形式,用错位相减法求解即可.
解答:解:因为对任意的n ∈N +,点(n ,S n ),均在函数y=bx +r(b >0,且b ≠1,b ,r 均为常数)的图象上. 所以得S n =bn +r, 当n=1时,a 1=S1=b+r,
当n ≥2时,a n =Sn ﹣S n ﹣1=bn +r﹣(b n ﹣1+r)=bn ﹣b n ﹣1=(b ﹣1)b n ﹣1, 又因为{an }为等比数列,所以r=﹣1,公比为b ,所以a n =(b ﹣1)b n ﹣1 (2)当b=2时,a n =(b ﹣1)b n ﹣1=2n ﹣1,bn=则T n =
Tn=
相减,得
Tn=
+
所以
Tn=
=
点评:本题主要考查数列与函数的综合运用,主要涉及了数列的通项与前n 项和间的关系,错位相减法求和等问题,属中档题,是常考类型.
19.(2009•江西)数列{an }的通项(1)求S n ;
,其前n 项和为S n ,
(2)
,求数列{bn }的前n 项和T n .
考点:数列的求和;二倍角的余弦。 专题:计算题。
分析:(1)利用二倍角公式可得,由于,所以求和时需要对n
分类讨论分类讨论,求出和 (2)由(1)可得解答:解:(1)由于
,利用错位相减求出数列的和
,
故S 3k =(a 1+a2+a3)+(a 4+a5+a6)+…+(a 3k ﹣2+a3k ﹣1+a3k ) ==
,
,
故
(k ∈N *)
(2),
,
,
两式相减得故
.
,
点评:(1)本题三角公式中的二倍角公式及三角的周期性为切入点考查数列的求和,由于三角的周期性,在求
的值时需要对n 分类讨论
(2)主要考查数列求和的错位相减,此方法是数列求和部分高考考查的重点及热点.
20.(2009•辽宁)等比数列{an }的前n 项和为s n ,已知S 1,S 3,S 2成等差数列, (1)求{an }的公比q ; (2)求a 1﹣a 3=3,求s n .
考点:等差数列的性质;等比数列的前n 项和。 专题:计算题。
分析:(Ⅰ)由题意知a 1+(a 1+a1q )=2(a 1+a1q+a1q 2),由此可知2q 2+q=0,从而
.
(Ⅱ)
由已知可得
,故a 1=4,从而.
解答:解:(Ⅰ)依题意有a 1+(a 1+a1q )=2(a 1+a1q+a1q 2) 由于a 1≠0,故2q 2+q=0 又q ≠0,从而(Ⅱ)由已知可得故a 1=4 从而
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.
21.(2009•湖北)已知数列{an }是一个公差大于0的等差数列,且满足a 2a 6=55,a 2+a7=16 (1)求数列{an }的通项公式; (2)数列{an }和数列{bn }满足等式a n =考点:等差数列的通项公式;数列的求和。 专题:计算题。
分析:(1)设等差数列{an }的公差为d ,分别表示出a 2a 6=55,a 2+a7=16联立方程求得d 和a 1进而根据等差数列通项公式求得a n .
(n ∈N *),求数列{bn }的前n 项和S n .
(2)令c n =,则有a n =c1+c2+…+cn ,a n+1=c1+c2+…+cn+1两式相减得c n+1等于常数2,进而可得b n ,进
而根据b 1=2a1求得b 1则数列{bn }通项公式可得,进而根据从第二项开始按等比数列求和公式求和再加上b 1.
解答:解:(1)设等差数列{an }的公差为d , 则依题意可知d >0由a 2+a7=16, 得2a 1+7d=16①
由a 2a 6=55,得(a 1+2d)(a 1+5d)=55② 由①②联立方程求得 得d=2,a 1=1或d=﹣2,a 1=∴a n =1+(n ﹣1)•2=2n﹣1 (2)令c n =
,则有a n =c1+c2+…+cn
(排除)
a n+1=c1+c2+…+cn+1 两式相减得
a n+1﹣a n =cn+1,由(1)得a 1=1,a n+1﹣a n =2 ∴c n+1=2,即c n =2(n ≥2), 即当n ≥2时,
b n =2n+1,又当n=1时,b 1=2a1=2 ∴b n =
于是S n =b1+b2+b3+…+bn =2+23+24+…2n+1=2n+2﹣6
点评:本题主要考查等差数列的性质和等比数列的性质.考查了对数列问题的综合把握.
22.(2009•福建)等比数列{an }中,已知a 1=2,a 4=16 (I )求数列{an }的通项公式;
(Ⅱ)若a 3,a 5分别为等差数列{bn }的第3项和第5项,试求数列{bn }的通项公式及前n 项和S n . 考点:等差数列与等比数列的综合。 专题:计算题;转化思想。
分析:(I )由a 1=2,a 4=16直接求出公比q 再代入等比数列的通项公式即可.
(Ⅱ)利用题中条件求出b 3=8,b 5=32,又由数列{bn }是等差数列求出式及前n 项和S n .
解答:解:(I )设{an }的公比为q 由已知得16=2q3,解得q=2
(Ⅱ)由(I )得a 3=8,a 5=32,则b 3=8,b 5=32 设{bn }的公差为d
,则有
.再代入求出通项公
解得.
从而b n =﹣16+12(n ﹣1)=12n﹣28 所以数列{bn }的前n
项和
.
点评:本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,考查运算求解能力,考查归化与转化思想.
23.(2009•安徽)已知数列{an }的前n 项和S n =2n2+2n,数列{bn }的前n 项和Tn=2﹣b n (Ⅰ)求数列{an }与{bn }的通项公式;
(Ⅱ)设c n =an 2•b n ,证明:当且仅当n ≥3时,c n+1<c n . 考点:数列的应用。
分析:(1)由题意知a 1=S1=4,a n =Sn ﹣S n ﹣1化简可得,a n =4n,n ∈N *,再由b n =Tn ﹣T n ﹣1=(2﹣b n )﹣(2﹣b n ﹣1),可得2b n =bn ﹣1知数列b n 是等比数列,其首项为1,公比为的等比数列,由此可知数列{an }与{bn }的通项公式.
(2)由题意知,=
.由
得
,解得n ≥3.由此能够导出当且仅当n ≥3时c n+1<c n .
解答:解:(1)由于a 1=S1=4
当n ≥2时,a n =Sn ﹣S n ﹣1=(2n 2+2n)﹣[2(n ﹣1)2+2(n ﹣1)]=4n,∴a n =4n,n ∈N *, 又当x ≥n 时b n =Tn ﹣T n ﹣1=(2﹣b n )﹣(2﹣b n ﹣1),∴2b n =bn ﹣1 ∴数列b n 是等比数列,其首项为1,公比为,∴
.
(2)由(1)知,=.
由得,解得n ≥3.
又n ≥3时,成立,即
,由于c n >0恒成立.
因此,当且仅当n ≥3时c n+1<c n . 点评:由
可求出b n 和a n ,这是数列中求通项的常用方法之一,在求出b n 和a n 后,
进而得到c n ,接下来用作差法来比较大小,这也是一常用方法.
24.(2009•北京)设数列{an }的通项公式为a n =pn+q(n ∈N *,P >0).数列{bn }定义如下:对于正整数m ,b m 是使得不等式a n ≥m 成立的所有n 中的最小值. (Ⅰ)若
,求b 3;
(Ⅱ)若p=2,q=﹣1,求数列{bm }的前2m 项和公式;
(Ⅲ)是否存在p 和q ,使得b m =3m+2(m ∈N *)?如果存在,求p 和q 的取值范围;如果不存在,请说明理由.
考点:等差数列的前n 项和;等差数列的通项公式。
分析:(I )先得出a n ,再解关于n 的不等式,利用正整数的条件得出具体结果; (II )先得出a n ,再解关于n 的不等式,根据{bn }的定义求得b n 再求得S 2m ; (III )根据b m 的定义转化关于m 的不等式恒成立问题. 解答:解:(Ⅰ)由题意,得解∴
(Ⅱ)由题意,得a n =2n﹣1, 对于正整数m ,由a n ≥m ,得根据b m 的定义可知
当m=2k﹣1时,b m =k(k ∈N *); 当m=2k时,b m =k+1(k ∈N *).
,
,得.
成立的所有n 中的最小正整数为7,即b 3=7.
.
∴b 1+b2++b2m =(b 1+b3++b2m ﹣1)+(b 2+b4++b2m )=(1+2+3++m)+[2+3+4++(m+1)]=
(Ⅲ)假设存在p 和q 满足条件,由不等式pn+q≥m 及p >0得∵b m =3m+2(m ∈N *),根据b m 的定义可知,对于任意的正整数m 都有即﹣2p ﹣q ≤(3p ﹣1)m <﹣p ﹣q 对任意的正整数m 都成立. 当3p ﹣1>0(或3p ﹣1<0)时,得当3p ﹣1=0,即解得
时,得
.(经检验符合题意)
,
.
(或,
),这与上述结论矛盾!
.
,
.
∴存在p 和q ,使得b m =3m+2(m ∈N *);p 和q 的取值范围分别是
点评:本题主要考查数列的概念、数列的基本性质,考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题.
25.(2008•浙江)已知数列{xn }的首项x 1=3,通项x n =2n p+np(n ∈N*,p ,q 为常数),且成等差数列.求: (Ⅰ)p ,q 的值;
(Ⅱ)数列{xn }前n 项和S n 的公式.
考点:数列递推式;等差数列的前n 项和;等比数列的前n 项和;等差数列的性质。 专题:计算题;综合题。
分析:(Ⅰ)根据x 1=3,求得p ,q 的关系,进而根据通项x n =2n p+np(n ∈N*,p ,q 为常数),且成等差数列.建立关于p 的方求得p ,进而求得q .
(Ⅱ)进而根据(1)中求得数列的首项和公差,利用等差数列的求和公式求得答案. 解答:解:(Ⅰ)∵x 1=3, ∴2p+q=3,①
又x 4=24p+4q,x 5=25p+5q,且x 1+x3=2x4, ∴3+25p+5q=25p+8q,② 联立①②求得 p=1,q=1 (Ⅱ)由(1)可知x n =2n +n ∴S n =(2+22+…+2n )+(1+2+…+n) =
点评:本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识,考查运算及推理能力.
26.(2008•四川)设数列{an }的前n 项和为S n =2an ﹣2n , (Ⅰ)求a 1,a 4
(Ⅱ)证明:{an+1﹣2a n }是等比数列; (Ⅲ)求{an }的通项公式.
考点:等比关系的确定;等比数列的通项公式;数列递推式。 专题:计算题;证明题。
分析:(Ⅰ)令n=1得到s 1=a1=2并推出a n ,令n=2求出a 2,s 2得到a 3推出a 4即可; (Ⅱ)由已知得a n+1﹣2a n =(S n +2n+1)﹣(S n +2n )=2n+1﹣2n =2n 即为等比数列; (Ⅲ)a n =(a n ﹣2a n ﹣1)+2(a n ﹣1﹣2a n ﹣2)++2n ﹣2(a 2﹣2a 1)+2n ﹣1a 1=(n+1)•2n ﹣1即可. 解答:解:(Ⅰ)因为a 1=S1,2a 1=S1+2,所以a 1=2,S 1=2 由2a n =Sn +2n 知2a n+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn +2n+1 得a n+1=sn +2n+1①
所以a 2=S1+22=2+22=6,S 2=8a3=S2+23=8+23=16,S 2=24a4=S3+24=40 (Ⅱ)由题设和①式知a n+1﹣2a n =(S n +2n+1)﹣(S n +2n )=2n+1﹣2n =2n 所以{an+1﹣2a n }是首项为2,公比为2的等比数列.
(Ⅲ)a n =(a n ﹣2a n ﹣1)+2(a n ﹣1﹣2a n ﹣2)++2n ﹣2(a 2﹣2a 1)+2n ﹣1a 1=(n+1)•2n ﹣1
点评:此题重点考查数列的递推公式,利用递推公式求数列的特定项,通项公式等,同时考查学生掌握数列的递推式以及等比数列的通项公式的能力.
27.(2008•四川)在数列{an }中,a 1=1,(Ⅰ)求{an }的通项公式; (Ⅱ)令
,求数列{bn }的前n 项和S n ;
.
(Ⅲ)求数列{an }的前n 项和T n . 考点:数列递推式;数列的求和。 专题:计算题。
分析:(Ⅰ)由题设条件得
,由此可知
.
(Ⅱ)由题设条件知,
,由此可知
.
,再由错位相减得
(Ⅲ)由﹣2a n+1=
.
得
.由此可知T n =2Sn +2a1
解答:解:(Ⅰ)由条件得,又n=1时,,
故数列构成首项为1,公式为的等比数列.从而,即.
(Ⅱ)由两式相减得:(Ⅲ)由
所以T n =2Sn +2a1﹣2a n+1=
得,,所以
得
.
.
,
.
点评:本题考查数列的综合运用,解题时要认真审题,仔细解答.
28.(2008•陕西)已知数列{an }的首项(Ⅰ)证明:数列(Ⅱ)求数列
是等比数列;
的前n 项和S n .
,
,n=1,2,3,….
考点:数列递推式;等比关系的确定;数列的求和。 专题:计算题。 分析:(1)化简(2)根据(1
)求出数列公式,进而求出前n 项和S n . 解答:解:(Ⅰ)由已知:
,
构造新的数列
,进而证明数列
是等比数列. ,求出数列
的通项
的递推公式,得出a n ,进而构造数列
∴∴
,(2分) ,
又∴数列,∴,(4分) 是以为首项,为公比的等比数列.(6分) , .(8分) ,①
,② (Ⅱ)由(Ⅰ)知即设则,∴
由①﹣②
得:,(10分) ∴.又
1+2+3+.(12分) ∴数列的前n 项和:.(14分)
点评:此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前n 项和的方法.
29.(2008•辽宁)在数列{an },{bn }是各项均为正数的等比数列,设
(Ⅰ)数列{cn }是否为等比数列?证明你的结论;
(Ⅱ)设数列{lnan },{lnbn }的前n 项和分别为S n ,T n .若a 1=2,
考点:等比关系的确定;数列的求和。
专题:综合题。
分析:(Ⅰ)设|an |的公比为q 1,|bn |的公比为q 2,根据等比数列.
(Ⅱ)根据数列{an },{bn }是各项均为正数的等比数列,可推断数列{lnan },{lnbn }为等差数列.进而可求得S n 和T n 代入,可求得q 1,q 2=16和b 1=8
.代入即可得到数列{cn }的通项公式,进而可得化简得进而可证明|cn |为,求数列{cn }的前n 项和. . 结果发现数列{cn }是以4为首项,4为公比的等比数列,进而根据等比数列的求和公式可得到答案. 解答:解:(Ⅰ)|cn |是等比数列.
证明:设|an |的公比为q 1(q 1>0),|bn |的公比为q 2(q 2>0), 则,故|cn |为等比数列.
(Ⅱ)数列|lnan |和|lnbn |分别是公差为lnq 1和lnq 2的等差数列. 由条件得,即.
故对n=1,2,,(2lnq 1﹣lnq 2)n 2+(4lna 1﹣lnq 1﹣2lnb 1+lnq2)n+(2lna 1﹣lnq 1)=0. 于是
将a 1=2代入得q 1=4,q 2=16,b 1=8. 从而有.所以数列|cn |的前n 项和为.
点评:本小题主要考查等差数列,等比数列,对数等基础知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.
30.(2008•辽宁)在数列{an },{bn }中,a 1=2,b 1=4,且a n ,b n ,a n+1成等差数列,b n ,a n+1,b n+1成等比数列.
(1)求a 2,a 3,a 4及b 2,b 3,b 4,由此猜测{an },{bn }的通项公式,并证明你的结论;
(2)证明:.
考点:等差数列与等比数列的综合;数列递推式;数学归纳法。
专题:综合题。
分析:(1)根据等差中项和等比中项的性质求得a n 和b n 的关系式,分别求得a 2,a 3,a 4及b 2,b 3,b 4,推测出它们的通项公式.先看当n=1时,等式明显成立;进而假设当n=k时,结论成立,推断出a k 和b k 的表达式,进而看当n=k+1时看结论是否成立即可.
(2)先n=1时,不等式成立,进而看n ≥2时利用(1)中的{an },{bn }的通项公式,以及裂项法进行求和,证明题设.
解答:解:(1)由条件得2b n =an +an+1,a n+12=bn b n+1
由此可得a 2=6,b 2=9,a 3=12,b 3=16,a 4=20,b 4=25.
猜测a n =n(n+1),b n =(n+1)2.
用数学归纳法证明:
①当n=1时,由上可得结论成立.
②假设当n=k时,结论成立,即a k =k(k+1),b k =(k+1)2,
那么当n=k+1时,a k+1=2bk ﹣a k =2(k+1)2﹣k (k+1)=(k+1)(k+2),b k+1=
所以当n=k+1时,结论也成立.
由①②,可知a n =n(n+1),b n (n+1)2对一切正整数都成立.
(2)证明:. =(k+2)2.
n ≥2时,由(1)知a n +bn =(n+1)(2n+1)>2(n+1)n .
故==
综上,原不等式成立.
点评:本小题主要考查等差数列,等比数列,数学归纳法,不等式等基础知识,考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.