1.3.2"杨辉三角"与二项式系数的性质(教案)
1. 3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
教学目标:
知识与技能:掌握二项式系数的四个性质。
过程与方法:培养观察发现,抽象概括及分析解决问题的能力。
情感、态度与价值观:要启发学生认真分析书本图1-5-1提供的信息,从特殊到一般,归纳猜想,合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点:教学难点:授课类型:新授课教 具:多媒体、实物投影仪 第一课时
一、复习引入:
1.二项式定理及其特例:
0n 1n
(1)(a +b ) n =C n a +C n a b +1(2)(1+x ) n =1+C n x +
r n -r r
+C n a b +n n
+C n b (n ∈N *) ,
r r
+C n x +
+x n .
r n -r r
2.二项展开式的通项公式:T r +1=C n a b 3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对r 的限制;求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课:
(a +b ) n 展开式的二项式系数,当n 依次取1, 2,3„时,二项式系数
表,表中每行两端都是1,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2.二项式系数的性质:
012n r ,C n ,C n ,„,C n .C n 可以看成(a +b ) n 展开式的二项式系数是C n
以r 为自变量的函数f (r ) 定义域是{0,1,2,
, n },例当n =6时,其图象是7个孤立的点(如图)
(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵
m n -m
). C n =C n
直线r =
n
是图象的对称轴. 2
n (n -1)(n -2) (n -k +1) k -1n -k +1=C n ⋅,
k ! k n -k +1n +1n -k +1k k -1
>1⇔k
n +1当k
2
(2)增减性与最大值.∵C n =
k
得最大值;
当n 是偶数时,中间一项C 取得最大值;当n 是奇数时,中间两项C 值.
(3)各二项式系数和:
1
∵(1+x ) n =1+C n x +
r r
+C n x +
n
2n n -12n
,C
n +12n
取得最大
+x n ,
r +C n +
n
+C n
012
令x =1,则2n =C n +C n +C n +
三、讲解范例:
例1.在(a +b ) n 0n 1n
证明:在展开式(a +b ) n =C n a +C n a b +r n -r r
+C n a b +n n
+C n b (n ∈N *) 中,令
0123
a =1, b =-1,则(1-1) n =C n -C n +C n -C n +
02
即0=(C n +C n +02∴C n +C n +
n
n
, +(-1) n C n
13
) -(C n +C n +) ,
13=C n +C n +
,
即在(a +b ) 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
02
说明:由性质(3)及例1知C n +C n +
13
=C n +C n +
=2n -1.
例2.已知(1-2x ) 7=a 0+a 1x +a 2x 2+(1)a 1+a 2+
+a 7x 7,求:
+a 7; (2)a 1+a 3+a 5+a 7; (3)|a 0|+|a 1|+
7
7
+|a 7|.
解:(1)当x =1时,(1-2x ) =(1-2) =-1,展开式右边为
a 0+a 1+a 2+
∴a 0+a 1+a 2+
+a 7
+a 7=-1,
+a 7=-1-1=-2,
当x =0时,a 0=1,∴a 1+a 2+(2)令x =1, a 0+a 1+a 2+
+a 7=-1 ①
令x =-1,a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6-a 7=37 ②
1+37
①-② 得:2(a 1+a 3+a 5+a 7) =-1-3,∴ a 1+a 3+a 5+a 7=-.
2
7
(3)由展开式知:a 1, a 3, a 5, a 7均为负,a 0, a 2, a 4, a 8均为正, ∴由(2)中①+② 得:2(a 0+a 2+a 4+a 6) =-1+37,
-1+37
∴ a 0+a 2+a 4+a 6=,
2
∴|a 0|+|a 1|+
+|a 7|=a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6-a 7
=(a 0+a 2+a 4+a 6) -(a 1+a 3+a 5+a 7) =37例3. 求(1+x)+(1+x)+„+(1+x)展开式中x 2103
(1+x )[1-(1+x ) 10]
解:(1+x ) +(1+x ) + (1+x )=
1-(1+x )
2
10
(x +1) 11-(x +1) =,
x
∴原式中x 实为这分子中的x ,则所求系数为C 347
第二课时
25
例4. 在(x+3x+2)的展开式中,求x 解:∵(x 2+3x +2) 5=(x +1) 5(x +2) 5
∴在(x+1)展开式中,常数项为1,含x 的项为C 15=5x ,
5
4在(2+x)展开式中,常数项为2=32,含x 的项为C 152x =80x
5
5
∴展开式中含x 的项为 1⋅(80x ) +5x (32) =240x , ∴此展开式中x 的系数为例5. 已知(x -2n
) 的展开式中,第五项与第三项的二项式系数之比为14;3,求展x 2
242
解:依题意C 4n :C n =14:3⇒3C n =14C n
∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒设第r+1项为常数项,又 T r +1=C (x ) 令
r
10
10-r
2r (-2) r =(-2) r C 10x x
10-5r 2
10-5r
=0⇒r =2, 2
2
∴T 2+1=C 10(-2) 2=180. 此所求常数项为例6. 设(1+x )+(1+x )+(1+x )+当a 0+a 1+a 2+
23
+(1+x )=a 0+a 1x +a 2x 2+
n
+a n x n ,
+a n =254时,求n 解:令x =1得:
a 0+a 1+a 2+
n
+a n =2+2+2+
23
2(2n -1)
=254, +2=
2-1
n
∴2=128, n =7,
点评:对于f (x ) =a 0(x -a ) n +a 1(x -a ) n -1+项系数的和a 0+a 1+a 2++a n ,令x -a =1, 即x =a +1可得各
+a n 的值;令x -a =-1, 即x =a -1,可得奇数项系数和与偶
123
例7.求证:C n +2C n +3C n +n
+nC n =n ⋅2n -1.
n
① +nC n
123
证(法一)倒序相加:设S =C n +2C n +3C n +
n n -1n -2
又∵S =nC n +(n -1) C n +(n -2) C n +r n -r 0n 1n -1∵C n ,∴C n =C n =C n , C n =C n , 012由①+②得:2S =n C n +C n +C n +
21
② +2C n +C n
,
n
+C n ),
(
∴S =
1123
⋅n ⋅2n =n ⋅2n -1,即C n +2C n +3C n +2
n
+nC n =n ⋅2n -1.
(法二):左边各组合数的通项为
r
=r ⋅rC n
n ! n ⋅(n -1)! r -1
==nC n -1,
r !(n -r )! (r -1)!(n -r )!
n 012
+nC n =n (C n -1+C n -1+C n -2+
n -1n -1
+C n . -1)=n ⋅2
123
∴ C n +2C n +3C n +
例8.在(2x -3y ) 10的展开式中, 求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和;
③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.
r
分析:因为二项式系数特指组合数C n , 故在①, ③中只需求组合数的和, 而与二项式
2x -3y 中的系数无关.
解:设(2x -3y ) 10=a 0x 10+a 1x 9y +a 2x 8y 2+ +a 10y 10(*), 各项系数和即为a 0+a 1+ +a 10, 奇数项系数和为a 0+a 2+
+a 10, 偶数项系数和为
a 1+a 3+a 5+ +a 9, x 的奇次项系数和为a 1+a 3+a 5+ +a 9, x 的偶次项系数和a 0+a 2+a 4+ +a 10.
由于(*)是恒等式, 故可用“赋值法”求出相关的系数和.
0110①二项式系数和为C 10+C 10+ +C 10=210.
②令x =y =1, 各项系数和为(2-3) 10=(-1) 10=1.
0210③奇数项的二项式系数和为C 10+C 10+ +C 10=29, 139偶数项的二项式系数和为C 10+C 10+ +C 10=29.
④设(2x -3y ) 10=a 0x 10+a 1x 9y +a 2x 8y 2+ +a 10y 10,
令x =y =1, 得到a 0+a 1+a 2+ +a 10=1„(1),
令x =1, y =-1(或x =-1, y =1) 得a 0-a 1+a 2-a 3+ +a 10=510„(2) (1)+(2)得2(a 0+a 2+ +a 10) =1+510, ∴奇数项的系数和为1+5;
2
10
(1)-(2)得2(a 1+a 3+ +a 9) =1-510, ∴偶数项的系数和为1-5.
2
10
⑤x 的奇次项系数和为a 1+a 3+a 5+ +a 9=1-5;
2
10
x 的偶次项系数和为a 0+a 2+a 4+ +a 10=1+5.
10
2
点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”, “奇(偶) 数项系数和与奇(偶) 次项系数和”严格地区别开来, “赋值法”是求系数和的常规方法之一.
第三课时
例9.已知(x +x 2) 2n 的展开式的系数和比(3x -1) n 的展开式的系数和大992, 求
1
(2x -) 2n 的展开式中:①二项式系数最大的项; ②系数的绝对值最大的项.
x
解:由题意22n -2n =992, 解得n =5.
①(2x -) 的展开式中第6项的二项式系数最大,
5
即T 6=T 5+1=C 10⋅(2x ) 5⋅(-) 5=-8064.
1
x
10
1x
②设第r +1项的系数的绝对值最大,
r r
则T r +1=C 10⋅(2x ) 10-r ⋅(-) r =(-1) r ⋅C 10⋅210-r ⋅x 10-2r
r 10-r r -1r r -1
⎧⎧≥C 10⋅210-r +1⎧11-r ≥2r ⎪C 10⋅2⎪C 10≥2C 10∴⎨r , 得, 即 ⎨r ⎨10-r r +110-r -1r +1
⎪⎪≥C 10⋅2⎩2(r +1) ≥10-r ⎩C 10⋅2⎩2C 10≥C 10
1
x
∴8≤r ≤11, ∴r =3, 故系数的绝对值最大的是第4项33
例10.已知:(x +3x ) 的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项;(22
3
2n
解:令x =1,则展开式中各项系数和为(1+3) n =22n , 又展开式中二项式系数和为2, ∴2
2n
n
-2n =992,n =5.
233
232
223
(1)∵n =5,展开式共6项,二项式系数最大的项为第三、四两项, ∴T 3=C (x ) (3x ) =90x ,T 4=C (x ) (3x ) =270x , (2)设展开式中第r +1项系数最大,则T r +1=C (x )
r r r -1r -1⎧79⎪3C 5≥3C 5
⇒≤r ≤∴⎨r r ,∴r =4, r +1r +1
22⎪⎩3C 5≥3C 5
2
5
226
35
23
r 5
2
35-r
(3x ) =3C x
2r r
r 5
10+4r 3
,
即展开式中第5项系数最大,T 5=C (x )(3x ) =405x 例11.已知S n =2+C n 2
n
1
n -1
45
23
24
263
.
2n -2n -1+C n 2+ +C n ⋅2+1(n ∈N +) ,
求证:当n 为偶数时,S n -4n -1能被64
分析:由二项式定理的逆用化简S n ,再把S n -4n -1变形,化为含有因数64的多项1n -12n -2
∵S n =2n +C n 2+C n 2+
n
n -1
+C n ⋅2+1=(2+1) n =3n ,
*
∴S n -4n -1=3-4n -1,∵n 为偶数,∴设n =2k (k ∈N ), ∴S n -4n -1=3-8k -1=(8+1) k -8k -1
1k -1
=C k 08k +C k 8+
0k 1k -1
=(C k 8+C 88+
2k
+C k k -18+1-8k -1 +C k 2)82 (*) ,
当k =1时,S n -4n -1=0显然能被64整除, 当k ≥2时,(*)式能被64整除,
所以,当n 为偶数时,S n -4n -1能被64三、课堂练习: 1
.
1
)(x -1)展开式中x 的系数为,各项系数之和为
4
5
4
1232.多项式f (x ) =C n (x -1) +C n (x -1) 2+C n (x -1) 3+n
+C n (x -1) n (n >6)的展开式
中,x 的系数为3.若二项式(3x -
2
6
1n
) (n ∈N *)的展开式中含有常数项,则n 的最小值为( ) 32x
A.4 B.5 C.6 D.8 4.某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标,那么该企业年产值的年平均增长率最低应 ( )
A.低于5% B.在5%~6%之间 C. 在6%~8%之间 D.在8%以上
n 2n
5.在(1+x ) 的展开式中,奇数项之和为p ,偶数项之和为q ,则(1-x ) 等于( ) 2222
A.0 B.pq C.p +q D.p -q
1-a 01-a 211-a 321-a 43
C n -C n +C n -C n +6.求和:
1-a 1-a 1-a 1-a
7.求证:当n ∈N 且n ≥2时,3>2
10
1-a n +1n
+(-1)C n .
1-a
n
*n n -1
(n +2).
8.求(2+x )的展开式中系数最大的项答案:1. 45, 0 2. 0 .提示:f (x )=x -1(n >6n
3. B 4. C 5. D 6. -a (1-a )7. (略) 8. T 3+1=15360x 3
n -1
四、小结 :二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系,涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题,只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破,对于与组合数有关的和的问题,赋值法是常用且重要的方法,同时注意二项式定理的逆用
五、课后作业:P36 习题1.3A 组5. 6. 7.8 B 组1. 2
⎛1621.已知(a +
1) 展开式中的各项系数的和等于 的展开式的常数项,而x ⎝5
2
n
5
(a 2+1) n 展开式的系数的最大的项等于54,求a 的值(a ∈R )
答案:a =2.设(1-x )(3+2x )=a 0(x +1)+a 1(x +1)+求:① a 0+a 1+
5
9
14
13
+a 13(x +1)+a 14
+a 14 ②a 1+a 3+
9
+a 13.
=答案:①3
9
(3
=19683; ②
+35)
0123456789
3.求值:2C 9. -C 9+2C 9-C 9+2C 9-C 9+2C 9-C 9+2C 9-C 9
8
答案:2=296
4.设f (x ) =(x +x -1) (2x +1) ,试求f (x ) 的展开式中:
(1)所有项的系数和;
(2答案:(1)3=729;
6
36-1
=364; (2)所有偶次项的系数和为236+1
=所有奇次项的系数和为2
六、板书设计(略) 七、教学反思:
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数,它有三条性质,要理解和掌握好,同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别,不能混淆,只有二项式系数最大的才是中间项,而系数最大的不一定是中间项,尤其要理解和掌握“取特值”法,它是解决有关二项展开式
系数的问题的重要手段。
二项式定理概念的引入,我们已经学过(a +b ) 2=a 2+2ab +b 2,(a +b ) 3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3,那么对一般情况;(a +b ) n 展开后应有什么规律,这里n ∈N ,这就是我们这节课“二项式定理”要研究的内容.
选择实验归纳的研究方式,对(a +b ) n 一般形式的研究与求数列{a n }的通项公式有些类似,大家想想,求a n 时我们用了什么方法,学生:先写出前n 项,再观察规律,猜测其表达式,最后用数学归纳法证明,老师:大家说得很正确,现在我们用同样的方式来研究(a +b ) 4的展开,因(a +b ) 4=(a +b ) 3(a +b ) ,我们可以用(a +b ) 3展开的结论计算(a +b ) 4(由学生板演完成,体会计算规律) 然后老师把计算过程总结为如下形式:
(a +b ) 4=(a +b ) 3(a +b )=(a 3+3a 2b +3ab 2+b 3)(a +b )=a 4+3a 3b 2+ab 3+3a 2b 2+3ab 3+b 4=a 4+4a 3b +6a 2b 2
+4ab 3+b 4.
对计算的化算:对(a +b ) n 展开式中的项,字母指数的变化规律是十分明显的,大家能说出它们的规律吗?学生:a 的指数从n 逐次降到0,b 的指数从0逐次升到n ,老师:大家说的很对,这样一来展开式的项数就是从0到n 的(n +1) 项了,但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现,但我们仍可用a n , a n a n 来表示,它这样一来(a +b ) n 的展开形式就可写成(a +b ) n =a n a
n
n -1r n -r r n n r
现在的问题就是要找的表达形式. 为+a 1a b + a a b +a b a n n n n
01n
2007年高考题
1.(2007年江苏卷)若对于任意实数x ,有x 3=a 0+a 1(x -2) +a 2(x -2) 2+a 3(x -2) 3,则a 2的值为(B )
A .3 B .6 C .9 D .12
2⎫⎛2.(2007年湖北卷)如果 3x 2-⎪ 的展开式中含有非零常数项,则正整数n 的最小值3
x ⎭⎝
为
A.3 B.5 C.6 D.10
【答案】:B. 【分析】:T r +1=C n (3x )
r
2n -r
n
(-
2r r n -r r n -r
) =C n 3(-2) r x 2(n -r ) -3r =C n 3(-2) r x 2n -5r , 3x
)。n min =5.
2n -5r =0,n =
5r
(r =2,4, 2
【高考考点】:本题主要考查二项式定理的有关知识和整除的知识, 以及分析问题和解决问题的能力.
【易错点】:注意二项式定理的通项公式中项数与r 的关系。 【备考提示】:二项式定理是高考的常考内容,有时单独命题,有时与其它分支的知识相综合。
3.(2007
年江西卷)已知展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和
n
之比为64,则n 等于( C )
A.4 B.5
n C.6 D.7 1⎫⎛4.(2007年全国卷I ) x 2-⎪的展开式中,常数项为15,则n =( D ) x ⎭⎝
A .3
B .4 C .5 D .6
81⎫⎛5.(2007年全国卷Ⅱ)(1+2x 2) x -⎪的展开式中常数项为 -42 .(用数字作答) x ⎭⎝
51⎫⎛2x 6.(2007年天津卷)若 x 2+的二项展开式中的系数为,则a = 2 (用数字⎪2ax ⎭⎝
作答).
7.(2007年重庆卷)若(x +61n ) 展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为( B ) x
A10 B.20 C.30 D.120
8.(2007年安徽卷)若(2x 3+1
x ) a 的展开式中含有常数项, 则最小的正整数n 等于 7 .
9.(2007年湖南卷)将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图1所示的0-1三角数表.从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行,„,第n 次全行的数都为1的是第 2-1第61行中1的个数是. 第1行 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
„„ „„„„„„„„„„„„„„„
图1
n
11