洛伦兹变换的严格推导
洛仑兹变换的严格推导
此推导过程从狭义相对性原理及光速不变原理出发，进行严格推导。 设事件P在S系中坐标为(x,y,z,t),在S'系中坐标为(x',y',z',t')，S'系以速度u沿S'系的x轴正方向匀速运动。设真空中光速为c。洛仑兹变换推导过程如下：
因洛仑兹变换为伽利略变换中速度u接近光速c时的数学形式，当速度u远远小于光速c时洛仑兹变换应能退化为伽利略变换。所以参照伽利略变换，洛仑兹变换形式可设为：
⎧x'=axλa+btλb
⎪λλ⎨y'=dyd+ete
⎪λfλgz'=fz+gt⎩
1.讨论x,x'之间的数学关系：
当x=0,x'=-ut'时，有： ⎧x=a'x'λ'a+b't'λ'b⎪λ'dλ'ey=d'y'+e't'⎨⎪λ'fλ'gz=f'z'+g't'⎩
0=a'(-ut')λ'a+b't'λ'b，即0=a'(-u)λ't'λ'+b't'λ'
t'为齐次型 ∴λ'a=λ'b,0=a'(-u)λ'at'λ'a+b't'λ'a aab
若等式成立，有：a'(-u)λ'a=-b',-u=λ'-b' a'
-u的正负性与λ'-b'无关且有意义 ∴λ'a=λ'b=1 a'
则-a'u=-b'，有：x=a'x'+a'ut'
当x'=0,x=ut时，有：
0=a(ut)λa+btλb，即0=auλatλa+btλb
t为齐次型 ∴λa=λb,0=auλatλa+btλa λaλ若等式成立，有：au=-b,
u=a-b a
-b u的正负性与无关且有意义 ∴λa=λb=1 a
则au=-b，有：x'=ax-aut。这里有：
⎧x'=ax-aut⎨ ，由狭义相对性原理可知，应有a=a'，则： ⎩x=a'x'+a'ut'
⎧x'=ax-aut⎨ (1) x=ax'+aut'⎩
2.讨论y,y'之间的数学关系： λ
当y=0,y'=0时，0=e't'
同理可得0=etλeλ'e t'≥0 ∴e'=0 e=0 有y'=y,y=y'
以同样方法讨论z,z'之间的数学关系，有：z'=z,z=z'。
3.下面确定系数a：
当两系原点重合时于原点发出一个光信号，由光速不变原理可知: x=ct,x'=ct' 带入(1)式中，有：
⎧ct'=act-aut⎧ct'=at(c-u)⎨ 整理，得⎨ ct=act'+aut'⎩⎩at'(c+u)=ct
两式做比，约去t,t'，有：
ca(c-u)2=,c=a2(c2-u2)，得：a=a(c+u)c
x'=x-ut
u2-()c,x=x'+ut'u2 -()c
1
u-()2
c，有： 1u2 -()c即得出：4.讨论t,t'之间的数学关系：令γ=
x'=γ(x-ut),x=γ(x'+ut')，相互代入，有：
x=γ(γ(x-ut)+ut'),x=γ2x-γ2ut+γut' (2)
x'=γ(γ(x'+ut')-ut),x'=γ2x'+γ2ut'-γut (3)
ut-2xt'=将(2)式整理，可得：u2 -()c
ux'2t=同理，(3)式整理，有： u2 -()c
x'xz'zy'y=v',=v=vy',=vy，=vz',=vz，有：5.以xx，t'tt'tt't
uu-()2vy-()2vyu-vxu+vx'ccvx'=,vx=v'=,v=yuvxuvx' yuvyuvy 1-21+21-21+2cccc
uu-()2vz-()2vz'ccvz'=,vz=uvzuvz' 1-21+2cct'+
综上，洛仑兹变换为：
x-ut⎧⎪x'=u2⎪-()c⎪⎪y'=y⎪⎨z'=z ⎪u⎪t-2x⎪t'=⎪u⎪1-()2
c⎩
速度变换为： x'+ut'⎧⎪x=u2⎪-()c⎪⎪y=y'⎪⎨z=z' ⎪u⎪t'+2x'⎪t=⎪u⎪-()2c⎩
u-vxu+vx'vx'=,v=uvxxuvx' 1-21+2cc
uu-()2vy-()2vyccvy'=,vy=uvyuvy 1-21+2cc
uu-()2vz-()2vz'ccvz'=,vz=uvzuvz' 1-21+2cc
田七 ，三七的区别
http://www.37ga.com/37html/bbsq/ YNQInyMDOe0W