[数学分析下册]期末考试卷
数学分析下册期末考试卷
一、填空题(第1题每空2分,第2,3,4,5题每题5分,共26分) 1、已知u =e xy ,则
∂u
∂u ∂x
=,∂y =,du =。
2、设L :x 2+y 2=4,则 ⎰xdy -ydx =。
L
3、设 L :x 2+y 2=9,则曲线积分⎰(x 2+y2)ds = 。
L
4、改变累次积分⎰b dy ⎰b
a
y
(f x ,y )dx 的次序为 。
5、设D :x 2+y 2≤ax ,则 ⎰⎰dxdy 。
D
二、判断题(正确的打“O ”; 错误的打“×”;每题3分,
共15分)
1、若函数(f x ,y
)在区域
D 上连续,则函数(f x ,y )在D 上的二重积分必存在。
( )
2、若函数(f x ,y )在点p (x 0,y 0) 可微,则函数(f x ,y )
在点p (x 0,y 0)连续。 ( )
3、若函数(f x ,y )在点p (x 0,y 0)存在二阶偏导数f xy (x 0, y 0) 和f yx (x 0, y 0) ,则 必有 f x y (x 0, y 0)
=f y x (0x , 0y 。
) ( ) 4、第二型曲线积分与所沿的曲线L (A ,B )的方向有关。
( )
5、若函数(f x ,y )在点(x 0, y 0) 连续,则函数(f x ,y ) 在点(x 0, y 0) 必存在一阶偏导数 。 ( )
三、计算题 ( 每小题9分,共45分)
1、用格林公式计算曲线积分
22
I = (-x y ) dx +xy dy , ⎰L
其中 L 是圆周x 2+y 2=a 2
2、计算三重积分
⎰⎰⎰(x
V
2
2
+y 2+z ) dxdydz ,
其中V :x 2+y 2+z 2≤a 2。
3、计算第一型曲面积分
I =⎰⎰z d S ,
S
其中S 是上半球面x 2+y 2+z 2=R 2(z ≥0)。
4、计算第二型曲面积分 I = ⎰⎰x d y d +z
S
y d z +d x ,z d x d y
其中S 是长方体V =[0,1]⨯[0, 2]⨯[0,3]的外表面。
5、计算四个平面x +y +z =1, x =0, y =0, z =0所围成的四面体的体积。
四、证明题(每小题7分,共14分)
1、验证曲线积分
⎰(e xy +xye xy ) dx +x 2ye xy dy ,
L
与路线无关,并求被积表达式的一个原函数u (x , y ) 。
2、证明:若函数(在有界闭区域D 上连续,则存在(ξ, η) ∈D , f x ,y )使得
⎰⎰f (x ,
D
y ) σd =
f ξ(η, ⋅) D S ,这里S D 是区域D 的面积。
参考答案及评分标准
一、填空题(第1题每空2分,第2,3,4,5题每题5分,共26分) 1、ye xy ;xe xy ;ye xy dx +xe xy dy 。
2、8π; 3、54π ; 4、⎰dx ⎰f (x , y ) dy ;5、
a
a
b
X
π2
a 。 4
二、判断题(正确的打“O ”; 错误的打“×”;每题3分,共15分)
1、○; 2、○; 3、×; 4、○ ; 5、× .
三、计算题 ( 每小题9分,共45分) 1、解:由格林公式,有
=I =
D :x 2+y 2≤a 2
⎰⎰
(y 2+x 2) dxdy -----------------------------5分
==
D :0≤r ≤a , 0≤θ≤2π
⎰⎰
r 3drd θ=
π
2
a 4------------------------------------------------------------9分
2、解:作球面坐标变换:x =r cos θsin ϕ, y =r sin θsin ϕ, z =r cos ϕ, 则J (r , θ, ϕ) =r 2sin ϕ 且
V ⇒V ':0≤r ≤a ,0≤ϕ≤π,0≤θ≤2π---------------------------------------------4分
∴⎰⎰⎰(x 2+y 2+z 2) dxdydz
V
=⎰⎰⎰r 2⋅r 2drd ϕd θ--------------------6分
V '2π
πa
4
=
⎰d θ⎰sin ϕd ϕ⎰r dr ------------------8分
r 2
4
=πa 5--------------------------9分5
∈D :x 2+y
2≤R 2. 3
、解: S :Z =x ,y )
dS =
= ----------------------------------5分
∴I =⎰⎰zdS =⎰⎰
S
D
------------8分
=⎰⎰dxdy =πR 3 -----------------------------9分
D
4、解:用高斯公式,得
I =⎰⎰⎰3dxdydz
V
------------------------------------6分
3
=3⎰dx ⎰dy ⎰dz ----------------------------------8分
12
=18-------------------------------------------------9分 解5、设D :0≤y ≤1-x ,0≤x ≤1,则所围成的四面体的体积
V =⎰⎰(1-x -y ) dxdy -----------------------------------4分
D
=⎰dx ⎰
11-x
(1-x -y ) dy ---------------------------------6分
1
= -----------------------------------------------9分
6
四、证明题(每小题7分,共14分)
1、证明:P =e xy +xye xy ,Q =x 2e xy ,
∂P ∂Q
(x ,y )∈R 2. ,==2xe xy +x2ye xy ,
∂y ∂x
∴曲线积分与路线无关。-----------------------------------4分
取x 0=y 0=0,则
x
y
(u x ,y ,z )=⎰P (x ,0)dx +⎰Q (x ,y )dy
x
y
=⎰dx +⎰x 2e xy dy -------------------------------7分
=xe xy -------------------------------------------9分 2、证明:由 最值定理,函数(在有界闭区域D 上存在最大值M 和最小f x ,y )
∈D ,有 值m ,且∀(x ,y )
m ≤(f x ,y )≤M , 上式各端在D 上积分,得
mS D ≤⎰⎰(f x ,y )d σ≤MS D ,
D
或 m ≤其中S D 为D 的面积。
f x ,y )d σ⎰⎰(
D
S D
≤M ,
根据介质性定理,存在(ξ,η)∈D ,使得
f x ,y )d σ⎰⎰(
D
(f ξ,η)=
S D
,即⎰⎰f (x ,y )d σ=(f ξ,η)⋅S D .
D