工程管理的马尔可夫骨架过程建模

维普资讯 http://www.cqvip.com第２ ７卷第 ３期　２０ ０ ７年 ９月 　数 学 理 论与 应 用　Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ ＣＡＬ　 ＴＨＥＯＲＹ　 ＡＮＤ　 ＡＰＰＬＩ ＣＡＴＩ ＯＮＳ 　Ｖｏ ． ７ ＮＯ． 　 Ｉ２ 　 ３Ｓ ｐ ２ ０　 ｅ．０７工 程管 理 的 马 尔可 夫骨 架过 程 建模 。 　周　 尧　（ 深 港客运 专线有 限公 司） 广 　 侯 振挺 薄远超　 （ 中南大学数 学 学院 ， 沙 ， １ ０ ５　 长 ４０ ７ ）摘　 要 在 以 前 ， 个 工 程 项 目的进 程 的 管理 问 题 在 各 工段 的施 工 时 间 为 相 互 独 立且 都服 从 负指 数 分 布 的　 一假 设 下 通 过 一 个 网络 图化 为 对 一 个 马 尔可 夫 链 的控 制 和优 化 的研 究 ． 文 在 二般 情 况 下 （ 弃 对各 工程 段 的　 本 ． 放 时 间服 从 负指 数 分 布 的 假 设 ） 工程 项 目进 程 的 管理 问题 化 为对 一 个马 尔 可 夫 骨 架过 程 的 控 制 和 优 化 问题 ． 把 　 关 键 词　 工 程 管理　 网 络 图 马 尔可 夫 链　 马 尔可 夫 骨 架 过 程　 　Ｍ ｏ ｅｉ ｇＰ ｏ ｅ ｔ ａ ａ ｅ ｎ　 ｉｇ ｄ ｌ 　 ｒ ｊ ｃ　 ｎ ｇ ｍｅ ｔ ｎ Ｍ Ｕｓｎ 　Ｍ ａ ｋ ｖ Ｓ ｅｅ ｏ 　 ｏ ｅ ｓ ｓ ｒ ｏ 　 ｋ ｌ ｔ ｎ Ｐｒ ｃ ｓ ｅ 　Ｚｈｏｕ Ｒａ 　 　 ｏ（ ａ ｇ ｈ ｎ Ｈｏ ｇ ｎ 　 ａ ｓ ｎ ｅ 　 ｄ ｃ ｔ ｄ Ｌｉｅ 　 ． ｍｉｅ 　 Ｇｕ ｎ ｓ ｅ － ｎ Ｋｏ ｇ Ｐ ｓ ｅ ｇ ｒＤｅ ｉ ｅ 　 ｎ ｓ Ｃｏ Ｌｉ ｔｄ） ａＨｏ 　 ｕ Ｚｈｅ ｔｎ 　 ｎ ｉｇ（ ｃ ｏ ｌｏ 　 ａ ｈ ｍａ ｉｓ Ｃｅ ｔ ａ　 ｏ ｔ 　 ｉ ｅ ｓ ｔ ， ａ ｇ ｈ ４ ０ ７ ） Ｓ ｈ ｏ　 ｆＭ ｔ ｅ ｔ ， ｎ ｒ ｌ ｕ ｈ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ Ｃｈ ｎ ｓ ａ， １ ０ ５ 　 ｃ ＳＡｂ ｔａ ｔ Ｐｒｖｏ ｓｙ， ｒｇ ｅ ｓｍａ ａ ｅ ｎ 　 ｒ ｂｅ ｉ　　 ｒｊｃ　 ａ　 ｅ ｎ ｓｕ ｉｄ ｕ ｄ ｒｔ ｅｐ ｅ ｕ ｔｏ 　ｈ ｔ ｓｒ ｃ　 ｅ ｉｕ ｌ ｐ ｏ ｒ ｓ　 ｎ ｇ ｍｅ ｔｐ ｏ ｌｍ　 ａｐ ｏｅ ｔ ｓｂ ｅ 　ｔｄｅ 　 ｎ ｅ　ｈ 　 ｒｓ ｍｐ ｉｎ ｔａ　 ｎ ｈ ｔｅ ｏ ｓｒ ｃｉｎ ｉ ｓ ｏ 　 ａ ｈ ｐ ｏｅ ｔ ｓａ ｅ ｒ　ｉｄ ｐ ｎ ｅ ｔ ｏ 　 ａ ｈ ｔｅ 　 ｎ 　ａｓ 　ｈ ｖ　ａ ｎ ｇ ｔ ｅ ｈ 　ｃ ｎ ｔｕ ｔ 　ｔｍｅ　ｆ ｒ ｅ ｃ 　 ｒ ｊｃ　 ｔ ｇ　ａ ｅ ｎ ｅ ｅ ｄ ｎ 　 ｆ ｅ ｃ 　ｏ ｈ ｒ ａ ｄ ｌｏ ａ ｅ 　 ｅ ａｉ 　 ｏ ｖｅ ｐ ｎ ｎ ｉｌ ｉｔ ｉ ｏ ｉ ｎ ｘ ｏ ｅ ｔ 　ｄ ｓ ｒｂ ｔ ，Ａｎ 　ｔ ｕ 　ｔ ｉ ａ ｏ ｄ ｈ ｓ ｈｓ ｒ ｂｅ 　ｐ ｏ ｌ ｍ　ｃ ｕ ｄ ｅ ｒ ｎ ｆ ｒ ｄ ｎ ｏ ｈ 　ｓ ｕ ｙ ｆ ｏ ｔＯ 　ａ ｄ ｏ ｌ　ｂ 　ｔａ ｓ ｏ ｍｅ 　ｉ ｔ 　ｔ ｅ ｔ ｄ 　ｏ 　ｃ ｎ ｒ ｌ ｎ 　 ｏ ｔｍｉａ ｉ ｎ ｆ ｒ ａ Ｍ ａ ｋ ｖ ｃ ａｎ ｖａ ａ ｅ ｏ ｋ ｉｇ ａ ｐ ｉ ｚ ｔｏ 　 ｏ 　 　 ｒ ｏ 　 ｈ ｉ 　 ｉ　 　ｎ ｗｔ ｒ 　ｄａ ｒ ｍ．Ｔｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｈ ｓ ｒ ｌｘ ｄ ｔ ｅ ｅ ｔ ｉｔ ｎ ｔ ａ 　 ｈ 　 ｉ ａ ｅ 　 ａ 　 ｅａ ｅ 　 ｈ 　ｒ ｓ ｒｃ ｉ 　 ｈ ｔ ｔ ｅ 　 ｏｃ ｎ ｔｕ ｔ ｎ ｔ ｓ ｆ ｒ ｅ ｃ 　 ｒ ｊｃ　 ｔｇ 　 ｈ ｕｄ ａ ｅ ａ ｎ ｇ ｔ ｅ ｘ ｏ ｅ ｔ ｌ ｉｔｉｕ ｉｎ ａ ｄ ｔ ｅ ｂ ｖ 　 ｏ ｓｒ ｃ ｉ 　 ｉ 　 ｏ 　 ａ ｈ ｐ ｏｅ ｔ ｓａ ｅ ｓ ｏ ｌ　ｈ ｖ 　 　 ｅ ａｉ 　ｅ ｐ ｎ ｎ ｉ 　ｄｓｒｂ ｔ 　 ｎ 　 ｈ 　ａ ｏ ｅ ｏ ｍｅ ｖ ａ ｏｐ ｏ ｌｍ　 ａ 　 ｅ ｔ ａ ｓｏ ｍｅ 　ｎ ｏ ｔ ｅ ｒ ｓ ａ ｃ 　 ｎ ｃ ｎ ｒ ｌ ｎ 　 ｐ ｉ ｉ ｔ ｎ ｏ 　　 ａ ｋ ｖ ｓ ｅｅ ｏ 　 ｏ ｅ ｓ ｒ ｂ ｅ ｃ ｎ ｂ 　 ｒ ｎ ｆ ｒ ｄ ｉ ｔ 　 ｈ 　ｅ ｅ ｒ ｈ ｏ 　 ｏ ｔｏ 　 ｄ ｏ ｔ ｚ ｉ 　 ｆａＭ ｒ ｏ 　 ｋ ｌｔ ｎｐｒ ｃ ｓ ａ ｍ ａ ｏ． 　Ｋｅ ｙｗｏ ｄｓ Ｐｒ ｊｃ　 ａ ａ ｅ ｎ 　 Ｍａ ｋ ｖ ｃ ａｎ Ｍ ａｋ ｖｓ ｅｅｏ 　 ｒ ｃ ｓ　 ｒ 　 ｏｅ ｔＭ ｎ ｇ ｍｅ ｔ ｒ ｏ 　 ｈ ｉ　 ｒ ｏ 　 ｋ ｌｔ ｎｐ ｏ ｅ ｓＩ 引　 言　 　一个工 程项 目的进程 可 用一个 网络 图 Ｇ＝ （ 　）　是 Ｇ的结 点集 ， 　， （ Ａ为孤 集 ） 表示 出来 ． 　例如 图 １ 它 的 Ｖ 一 （ ，， ， ￡ ， 一 （ ， ， ， ， ， ） ， 　 ６ ｃｄ，） Ａ １ ２ ３ ４ ５ ６　・ 李 俊 平 教 授 推 荐　 收稿 日期 ：０ ６年 １ 月 １ 　 ２０ ２ ０日维普资讯 http://www.cqvip.com２　 ６数 学 理 论 与 应 用　第２ ７卷　图 １ 　这里 １ ２ ３ ４ ５ ６ 示 每个工 段． ， 工 段首先 开 始平行 的施 工 ， 成后 才能 开始工 程段 ３ ， ，，， ， 表 １２ １ 　的施工 ， ２完成 后才 能开 始工 程段 ４的施工 ， ３的施 工先 完成 ， 则需休 息 待命 等完成 ４工程 段 的　 施 工后 ， 能开始 ５ 程段 的施 工 ， 才 工 等等． 　在 大约 四十 年前都 在 每段工 程 的施 工 时 间是确定 的假 设 下进行 研究 ， ， 如 华罗庚 提倡 推广　的统 筹 法就 属 于 此． 来 ， 人 把 每段 工 程 的施 工 时 间视 为遵 守 负指 数分 布的 随机 变 量来 处　 后 有理　 这 时工 程项 目进 程就是 一个 马尔 可夫 链　 ． 而工 程项 目管理 就 变成对 马尔 可夫 链 的控　 ¨， 从 制和 优 化问题 ［［［． 图 １ 设 各 工 段 的施 工 时 间是 互 相 独立 的随 机 变量 ，段 ａ ａ一 １ ２　 ３４引 如 ］］ ， 工 （ ，，… ，） ６ 的施 工时 间服从 以 九为参 数 的负指数 分 布 ， 于是 工 程项 目就是 一个 马尔 可夫链 Ｘ（）这　 ｆ，个链共 有 １ 个状 态 ： ７ 　（ ， ） （ ， ） （ ， 　） （ ， ６ ， １ ４ ， ） （ ， ６ 　 １ ２ ， ２ ３ ， ２ ３ ， １ ４， ） （ ，　 ６ ， １ ４，　） （ ， 　，　 ） （ ， ６ ， ３ ４， ） （ ，　 ， ） （ ， ，　） １ ４ ６ ， ３ ４， ） （ 　， ６ ， ３ ４ ６ ， ３ ４ ６ 　 （ 　 ， ，　 ） （ ，　 ，　） （ ， ） （ 　， ） （ ，　） （ ， ） ３ ４ ６ ， ３ ４ ６ ， ５ ６ ， ５ ６ ， ５ ６ ，　 　 　（）： （ ， ） 表示 在 时刻 ｔ 程段 １ ｆ １２ ， 工 和工 程段 ２ 正在进 行施 工 ， ｆ 一 （　， ， ） Ｘ（） ３ ４ ６ 表示 在　时刻 ｔ 工程段 ３ 工 已完成 ， 施 工段 ４ ６ 和 正在 施工 ， ￡ 一 （ ， ） ｘ（） 　 　 表示 在时刻 ｔ 整个工 程完 成 ， 　（ ， ） 一个 吸收状 态 ， 等． 　 　 是 等 　这样 以来 ， 已把 图 １所示 的工 程项 目进 程化 为一个 马尔 可夫 链． 　把每个 工 段 的施 工时 间视 为 一个 服从 负指 数分 布 的随 机 变量 后 ， 程项 目进 程 的研 究有　 工 了突 破性 进 展． 每段 施 工时 间都服 从 负指数 分布 这一假 设是 缺乏 实践 的依据 ， 但 只是 为 了使 问　 题 化 为一个 马 尔可 夫链 而 已． 因此 ， 我们 有必 要 在一 般情 况下 考察 工 程项 目进 程 问题 ， 以找到　 它的切 合实 际 的数 学模 型． 我们 在研 究 中发 现 ， 在一般 情 况下 （ 对每 工段 的施 工 时 间 的分 布不　 加任 何 限制 ） 工程 项 目进程 是一 个马 尔可 夫骨 架过程 ， 马尔 可夫 骨架过 程于 １ ９ ， 而 ９ ７年为侯 振　 挺 ， 再 明及邹 捷 中提 出的一 类新 型 的随机过 程并 加 以研究　 ． 刘 引 下面 我们 仍对 图 １所示 的工 程　项 目进程 为例进 行讨 论． 　令　Ｅ 一 ［１ ｛ ）Ｘ ｛）Ｘ Ｅ ，ｏ 　０ｏ ）　 　 ２ 　０ｏ ）ｘ Ｅ ，ｏ ３Ｕ Ｕ ［２ ｛）× ｛ ）× Ｅ ，ｏ ３ ０ｏ ）× Ｅ ，ｏ ３Ｕ ０ｏ ）　 　 Ｕ ［２ ｛）Ｘ ｛　）× Ｅ ，ｏ ３Ｕ ３ ０ｏ ）　 　维普资讯 http://www.cqvip.com第 ３期　工 程 管 理 的 马 尔 可 夫 骨 架 过 程 建　２　 ７Ｕ ［１ ｛ ｝× ｛｝× ｛｝× Ｅ０ｏ ）× ［ ，ｏ ４ ６ （ ，ｏ Ｏ ｏ ）× ［ ，ｏ ３Ｕ Ｏｏ ）　 　● ● ● ● ● ●　Ｕ ［ ｊ ｝× ｛ 『］ ｛『 ２ ｊ ｝　 ２设 Ｘ（） 以 Ｅ为状 态 空间 的随机 过 程 ， 如 ， ｆ 一 ｛ ， ， ，。 表 示在 时刻 ｔ ｆ是 例 Ｘ（） １ ２　 　 ｝ 工段 １ 正　在施 工 ， 而且 已施 工 了时间　 ， 段 ２也正 在施 工 ， 工 而且 已施工 了时 间　 ， …　 …令 ｖ 三 ０　 （ 三１ 表示 Ｘ（） ｏ ， 　三 ） ＝ ｆ 的第　个 间 断点 ， 然 Ｘ（） 以（ 为骨架 时序 列的 马尔　 显 ｆ 是 　） 可 夫骨 架过 程． 了求 出 Ｘ（）的瞬 时分 布需 要写 出并 解 马 尔可夫 过程 的 向后 方程 ． 于我 们　 为 ｆ 对当前 这个 例子 ， 不难 做 到这点 ． 　中南 大学 数 学 院研 究 生 张玄 ， 宁和 张希 娜 以及 湖南 大工 商 管理 学 院博 士 生吴 娟也 参 与　 康了本 文 的部分研 究 工作 ， 特此 致谢 ． 　参 考 文献　［ ］ Ａ． ｈ ｒ ｅ， ． ｏ ｐｒ Ｇ． ｏ ｓｎ Ｃ ｉｃｌｐ ｔ　 ｎｌｓ 　 ｉ ｃ ａｃ　ｏ ｓｒｉ ｄ ａ ｄ ｓｏｈ ｓｉ １　 Ｃ ａｎｓ Ｗ Ｃ ｐ ｅ ， Ｔｈ ｍｐ ｏ ， ｒ ｉ 　 ａｈ ａａｙｉ ｖａ ｈ ｎｅｃ ｎ ｔ ｎ 　 ｎ　 ｔｃａｔ 　 ｔａ ｓ 　 ａｅ ｃｐ ｏ ｒ ｍｍｉ ｇ， ｅ ａ ｉ ｎ 　 ｓ ａ ｃ 　 ９ ４： ２ ４ Ｏ ４ Ｏ　 ｒｇ ａ ｎ Ｏｐ ｒ ｔ ｓ Ｒｅ ｅ ｒ ｈ １ ６ １ ： ６ 一 ７ ． ｏ［ ３ Ｖ． ｌ ａｎ， Ａｄａ ｈ ， ｒ ｏ　ｎ 　 ｒ ｏ —ｒｇ ｎ ｒｔ ｅＰ Ｒ 　 ｅ—ｗｏｋ ， ｅａｉ ｓＲ ｓａｃ　 ２　 Ｋｕｌ ｒｉＶ． ｌｋ ａ Ｍａｋ ｖａ ｄＭａｋ ｖ ｅｅ ｅａｉ 　 Ｅ Ｔ ｎ ｔ ｋ ｖ ｒ ｓＯｐ ｒｔ ｎ　 ｅｅｒｈ ｏ１ ８６： ４： ６９— ７８１　 ９ ３ ７ ．１３ Ａ． ａｏ ， Ｋａａｉ ， ． ａａ ａ Ｋ． ｔ　ｎ 　 Ｍｅ ｒ ｎ ， ｍｕｔ—ｏ ｊ ｔ ｅｒｓｕｃ　 ｌ ｃ ｔ ｎ －　 ３ Ａｚｒｎ Ｈ． ｔｇｒ Ｍ Ｓ ｋ ｗ ， Ｋａｏａ ｄＡ． ｍａｉ ｉＡ　 ｌ ｉ ａ ｉ ｂｅ ｉ 　ｅｏ ｒｅａ ｏａｉ 　 ｃｖ ｌ ｏｐ ｏ ｌｍ　 　 ｒ ｂｅ ｉ ＰＥＲＴ　 ｅｗｏ ｋ ， ｒｐ ａ 　ｏｕｎ ｌｏ　 ｅａ ｉｎ ｌＲｅ ｅ ｒｈ ２ ０ ， ７ ８ ８ ８ ４　 ｎ ｎ ｔ ｒ ｓ Ｅｕ ｏ ｅ ｎ Ｊ ｒ ａ　 ｆＯｐ ｒｔｏ ａ　 ｓ ａｃ 　 ０ ６ １ ２： ３ — ５ ．［ ］ Ａ． ｚｒ ｎ Ｒ Ｔａａ ｋ ｌ Ｍｏ ｈ ｄ ｍ， ｍｕｔ－ｏ ｊ ｔ ｅ ｅｏ ｒｅａ ｏａｉｎｐｏ ｌ ｉ　ｙ ａ ｃ Ｅ 　 ４ Ａ ａｏ ， ． ｖｋ ｏｉ － ｇ ｄ ａ Ａ　 ｌ ｉ ｂｅ ｉ 　 ｓｕｃ　ｌ ｃｔ 　ｒｂｅ ｎｄ ｎｍｉ Ｐ ＲＴ ｃｖｒ ｌ ｏ ｍ　 　ｎ ｔ ｒ ｓ Ａｐ ｌ ｄ Ｍ ａ ｈ ｍａ ｉｓ ａ ｄ Ｃｏ ｕ ａ ｉ ｎ ２ ０ ， ８ ： ６ — １ ４　 ｅ ｗｏ ｋ 。 ｐ ｉ 　 ｔ ｅ ｔ 　 ｎ 　 ｍｐ ｔ ｔ 　 ０ ６ １ １ １ ３ ｅ ｃ ｏ ７．Ｅ３ Ａ． ａｏ ， Ｋ ｔｇｒ， Ｋａｏａ ｄＭ． ａ ａ， ｏ ｇ ｓ ｐ ｔ　ｎ ｌｓ 　ｎｎｔ ｏｋ ｏ　ｕ ｕｓ ｄ ａ ａ ｃ ５　 Ａｚｒｎ Ｈ． ａａｉ Ｋ． ｔ　ｎ 　 Ｓ ｋ ｗａＬ ｎ ｅｔ ａｈａ ａｙｉ ｉ　ｅｗ ｒ　ｆ ｅｅ ：ｙ ｎ ｍｉ ｉ 　 ｓ ｑ 　ｓ ｈ ｄ ｌ ｇｐ ｏ ｌｍｓ Ｅｕ ｏ ｅ ｎ Ｊ ｕ ｎ ｌｏ　 ｅａ ｉｎ ｌＲｅ ｅ ｒｈ ２ ０ ： ７ ｌ ２ １ ９ ｃ ｅ ｕｉ 　 ｒ ｂ ｅ ， ｒｐ ａ 　ｏ ｒ ａ　 ｆ ｎ Ｏｐ ｒ ｔ ａ　 ｓ ａｃ 　 ０ ６ １ ４： ３ — ４ ． ｏ 　［ ］ Ｚ ｅ ｔ ｇＨｏ 　 ｎ 　 ｕ ｘｎ Ｌｕ Ｍａｋ ｖＳ ｅｅｏ 　 ｒｃｓｅ　 ｎ 　 ｈ ｉ Ａ ｐｉ ｔ ｎ ， ｃ ｎ ｅ Ｐ ｅｓ　 ６　 ｈ ｎｉ 　 ｕ ａ ｄ Ｇ ｏ ｉ　 ｉ ， ｒｏ 　 ｋ ｌｔｎ Ｐｏ ｅｓｓａ ｄ Ｔ ｅｒ ｐ ｌａｉ ｓ Ｓｉ ｃ　 ｒｓ ， ｎ 　 ｃ ｏ ｅＢ ｉｎ ， Ｉ ｔｒ ａｉｎ ｌ ｒｓ ， ｏ ｔ ｎ ２ ０ ． ｅ ｉｇ ＆ ｎ ｅ ｎ ｔ ａ Ｐ ｅ ｓ Ｂ ｓｏ ， ０ ５ ｊ ｏ