习题课命题及其关系
习题课 命题及其关系
一、基础过关
1． “lg x>lg yxy”的____________条件．
→→2． 在△ABC中，“△ABC为钝角三角形”是“AB·AC
3． 已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝_____.
4． 对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a
5． 设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D是
A 的______________条件．
a＋b2≤a＋b6． 设a，b∈R，已知命题p：a＝b；命题q：则p是q成立的____________22条件．
7． 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．
(1)末尾数字是0或5的整数，能被5整除；
(2)若a＝2，则函数y＝ax是增函数．
二、能力提升
8． 函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是________________．
9． 下列叙述中，p是q的必要不充分条件的是________(填序号)．
①p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d；
②p：a>1，b>1，q：f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象不过第二象限；
③p：x＝1，q：x2＝x；
④p：a>1，q：f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数．
10．判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．
11．设p：－2
12. 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac
三、探究与拓展
13．已知m∈Z，关于x的一元二次方程
x2－2x＋m＝0，(1)
x2＋2mx＋m2－m－1＝0，(2)
求方程(1)(2)的根都是整数的充要条件． 22
答案
1． 充分不必要 2.必要不充分
3． －1 4.②④ 5.必要不充分
6． 充分不必要
7． 解 (1)逆命题：能被5整除的整数，末尾数字是0或5；(真)
否命题：末尾数字不是0且不是5的整数，不能被5整除；(真)
逆否命题：不能被5整除的整数，末尾数字不是0且不是5；(真)
(2)逆命题：若函数y＝ax是增函数，则a＝2；(假)
否命题：若a≠2，则函数y＝ax不是增函数；(假)
逆否命题：若函数y＝ax不是增函数，则a≠2.(真)
8． a＝b＝0
9． ①
10．解 原命题：若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根．
逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a
判断如下：
1∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a
∴“若x2＋x－a＝0无实根，则a
11．解 当－2
m轴x＝－(0,1)，且满足n＝f(0)∈(0,1)，但函数不一定与x轴有交点，即Δ＝m2－4n2
不一定大于等于0，所以不满足充分性，反之，若方程有两个大于0小于1的根，则必
m有对称轴00，且Δ≥0. 2
即n>0，
m2－4n≥0－20，⇒mn4
0
故p是q的必要不充分条件．
12. 证明 充分性：(由ac
∵ac0.∴方程一定有两不等实根，设为x1，x2，
c则x1x2＝
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac
∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，
c则由根与系数的关系得x1x2＝
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac
13．解 方程(1)有实根⇔Δ＝4－4m≥0，即m≤1，方程(2)有实根⇔Δ＝(2m)2－4(m2－m－1)
＝4m＋4≥0，即m≥－1，所以(1)(2)同时有实数根⇔－1≤m≤1.
因为m∈Z，所以m＝－1,0,1.
当m＝－1时，方程(1)无整数根；
当m＝0时，方程(1)(2)都有整数根；
当m＝1时，方程(2)无整数根．
综上所述，方程(1)(2)的根都是整数的充要条件是m＝0.