一元二次方程的各种解法详解
一元二次方程的解法
1、对于形如x =p 的一元二次方程,能直接开平方的条件是___________________。 2、对于形如
的一元二次方程,也可以用__________________求解。 ()p p ≥0()=mx +n
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3、用直接开平方法解一元二次方程的理论根据是平方根的定义,达到降次转化之目的。
(p ≥0) 的方程的解是x=____________________。 (1)形如x =p
当p=0时,x =x =________________。 12(2)形如
的方程的解为x=_________________________。 ()p p ≥0()=mx +n
2
2
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4、形如m ()+n =0的方程可先化成________________________的形式,再用直接开平方x -a
法解。 【基础过关】
1、下列方程中,适合用直接开平方法解的个数有 ( ) ①1x 2=1;②3
2
(x -2)=5;③1=3;④x =x +3; ()x +34
2
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⑤3;⑥y -23=1y -3=0;⑦x =x +3。. x -x +
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A 、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、方程x -16=0的根是________________________。
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3、方程(的根是________________________。 =900)2x +6
2
4、方程
的根是_____________________。 (t -)=1692
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5、用直接开平方法解下列方程:
(1)42 (2)4 36=0-9=0x -1-3x +13x -1
(3)4x 2+16x+16=9
()
2
()()
2
2
【配方法】用配方法解方程的步骤:
1、移项;2、二次项系数化为1;3、两边加上一次项系数一半的平方;4、直接开平方求解。 1.用适当的数填空:
①、x 2+6x+ =(x+ )2; ②、x 2-5x+ =(x - )2; ③、x 2+ x+ =(x+ )2; ④、x 2-9x+ =(x - )2 2.将二次三项式2x 2-3x-5进行配方,其结果为_________. 3.已知4x 2-ax+1可变为(2x-b )2的形式,则ab=_______.
4.将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成(x+a)2=b的形式为 . 5.若x +6x+m是一个完全平方式,则m 的值是( ) A.3 B.-3 C.〒3 D.以上都不对 6.用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形,结果是( )
A.(a-2)2+1 B.(a+2)2-1 C.(a+2)2+1 D.(a-2)2-1 11. 用配方法求解下列问题
(1)求2x 2-7x+2的最小值 ; (2)求-3x 2+5x+1的最大值。
【因式分解法】
1、因式分解法:若一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式时,例如,x 2-9=0,这个方程可变形为(x +3)(x -3) =0,要(x +3)(x -3) 等于0,必须并且只需(x +3) 等于0或(x -3) 等于0,因此,解方程(x +3)(x -3) =0就相当于解方程x +3=0或x -3=0了,通过解这两个一次方程就可得到原方程的解.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
2、因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程.其理论根据是:若A 〃B =
2
2
A =0或B =0.
例1:用因式分解法解下列方程:
(1)y 2+7y +6=0; (2)t (2t -1) =3(2t -1) ; (3)(2x -1)(x -1) =1.
例2:用适当方法解下列方程:
(1)(1-x ) 2=27; (2)x 2-6x -19=0; (3)3x 2=4x +1;
(4)y 2-15=2y ; (5)5x (x -3) -(x -3)(x +1) =0;
(6)4(3x +1) 2=25(x -2) 2.
例3:解关于x 的方程:(a 2-b 2) x 2-4abx =a 2-b 2.
x 2-2xy -5y 2
例4:已知x -xy -2y =0,且x ≠0,y ≠0,求代数式2的值. 2
x +2xy +5y
2
2
5.解关于x 的方程:
(1)x 2-4ax +3a 2=1-2a ; (2)x 2+5x +k 2=2kx +5k +6;
(3)x 2-2mx -8m 2=0; (4)x 2+(2m +1) x +m 2+m =0. (5)(x +5) 2-2(x +5) -8=0.
8.已知x 2+3x +5的值为9,试求3x 2+9x -2的值.
10.一跳水运动员从10米高台上跳水,他跳下的高度h (单位:米) 与所用的时间t (单位:秒) 的关系式h =-5(t -2)(t +1) .求运动员起跳到入水所用的时间.
11.为解方程(x 2-1) 2-5(x 2-1) +4=0,我们可以将x 2-1视为一个整体,然后设x 2-1=y ,则y 2=(x 2-1) 2,原方程化为y 2-5y +4=0,解此方程,得y 1=1,y 2=4. 当y =1时,x 2-1=1,x 2=2,∴x =〒2.
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当y =4时,x -1=4,x =5,∴x =〒5.
∴原方程的解为x 1=-2,x 2=2,x 3=-,x 4=5. 以上方法就叫换元法,达到了降次的目的,体现了转化的思想. (1)运用上述方法解方程:x 4-3x 2-4=0.
(2)既然可以将x 2-1看作一个整体,你能直接运用因式分解法解这个方程吗?
问题:已知ax +bx+c=0(a ≠0)且b -4ac ≥0,试推导它的两个根x 1
=,
2
2
x 2
分析:因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去. 解:移项,得:ax 2+bx=-c
b c x=- a a
b b c b
配方,得:x 2+x+()2=-+()2
a 2a a 2a
二次项系数化为1,得x 2+
b 2-4a c
即(x+)= 2
4a 2a
b
2
∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0
b 2-4a c
∴≥0 2
4a
直接开平方,得:x+=
2a
b
即
∴x 1
x 2
由上可知,一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定,因此: (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0,当b-4ac ≥0时,•
将a 、b 、c 代入式子
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