数学问题与解答

２０１４年第５３卷第２期数学通报

６３

数学问题与解答

２０１４年１月号问题解答

（解答由问题提供人给出）

２１６１

设口，６，ｆ∈Ｒ＋，且２口２＋２６２＋２ｃ２＋ｎ６ｃ＝

３２，求证：４＜口＋６＋ｃ≤６．

（贵州省贵阳市乌当中学

陈启健５５００１８）

爿矗

证明如图设Ｃ、Ｄ是直径ＡＢ一４的半圆上

的两点，设ＡＤ—ｎ，ＤＣ一６，ＣＢ—ｆ，

连接Ａｃ与ＢＤ，则ＢＤ＝￣／１６一口２，Ａｃ

＝￣／１６一ｃ２，

由托勒密定理得

ＡＣ・ＢＤ＝ＡＤ・ＢＣ＋ＡＢ・ＤＣ。

即撕开×们而一口ｆ＋４６，

化简得２口２＋２６２＋２ｃ２＋ｎ６ｆ一３２，满足题目条件．

因此，问题即为在此几何条件下求出口＋６＋

ｃ的范围．

设么ＢＡＤ２口，么ＡＢｃ一卢，口，卢∈（ｏ，号），且口＋卢∈（号，丌），

则口一４ｃｏ妇，ｆ＝４ｃｏｓ口，

ＢＤ一４ｓｉｍ，

ＡＣ一４ｓｉｎｐ

由ＡＣ・ＢＤ—ＡＤ・ＢＣ＋ＡＢ・ＤＣ，

得１６ｓｉｎ口ｓｉ叩一１６ｃｏｓａｃｏ印＋４６，

６一一４ｃｏｓ（口＋卢），

则四边形ＡＢＣＤ的周长

丑＋６＋ｃ＝４ｃｏｓａ＋４ｃｏ印一４ｃｏｓ（口＋ｐ）

＿４［２ｃｏｓ字ｃｏｓ字＿（２ｃｏｓ２字＿１）］

万方数据

≤８（一ｓ２字＋ｃｏｓ字＋丢）

＿８［＿（ｃ。ｓ字一号）２＋导］≤８×÷＝６，

即

口＋６＋ｃ≤６．

当且仅当ｃ。ｓ生尹一１且ｃ。ｓ生笋一丢，

即口一卢２号（口、卢∈（ｏ，号））时，

即ｎ＝６＝ｃ一２时取等号．显然ＡＤ＋ＤＣ＋ＣＢ＞ＡＢ＝４，

即口＋６＋ｆ＞４，

所以４＜口＋６＋ｃ≤６．

２１６２

已知以是正整数，求证：

正磊ｉ萧＜３．

（江西南昌大学附中宋庆３３００４７）

口。：√忌＋√（是＋１）＋√乙ｉ乏了；而（惫一

证明

令

１，２，…，ｎ），则

√１＋√２＋√；ｉ而一口，，口ｉ一忌＋口。＋，（七一１，２，…，”一１），口：一押．于是，

√１＋√２＋√ｊｉ而一口。≤！芸叠

一号＋警≤号＋÷・半一号＋丢＋警≤吾＋丢＋÷・半一导＋詈＋砉＋警

≤…≤吾＋詈＋丢＋…＋寿＋南

≤号＋导＋詈＋．．．＋寿＋嘉・半

一号＋导＋詈＋．．．＋寿＋字．

令ｓ。一号＋丢＋鲁＋…＋寿＋字，

６４

数学通报２０１４年第５３卷第２期

则

丢ｓ。＝丢＋詈＋去＋…＋参＋筝导，

以上两式相减，可得

专ｓ。一，＋丢＋吉＋．．．＋去一券

１．．

１

孢＋１３

咒＋３

一虿十１一万一虿鬲２虿一虿万，

从而ｓ。＝３一宰＜３．

厂——了２２２三三三三三三三

综上，ｎ。一√１＋√２＋√３＋￣／＝万＜３．

２１６３

如图，点Ｄ，Ｅ，Ｆ分别为△ＡＢＣ的旁心，

△ＡＢＦ，△ＢＣＤ，△ＣＡＥ的内切圆与△ＡＢＣ三边的切点分别为Ｚ，Ｘ，ｙ，则ＡＸ，Ｂｙ，ＣＺ共点．

（湖北省公安县第一中学杨先义４３４３００）

１

证明

记Ｂｃ一口，ＣＡ一６，ＡＢ２ｃ，户２专（口＋

６＋ｃ），且△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ，△ＡＢＦ，

△ＢＣＤ，△ＣＡＥ的半周长分别为夕ｃ，加，户。．由旁

心的定义，有么ｃＢＤ一９０。一昙，么ＢｃＤ：９０。一

导，么ＢＤｃ＿９０。＿会．

在△ＢＣＤ中，ＢＣ＝ｎ＝２ＲｓｉｎＡ，由正弦定理，有

五蕊一五丽一五面’

ＢＣ

—

ＢＤ

—

ＣＤ

即意与一意写一蒜笃’

所以ｃＤ一４Ｒｓｉｎ令ｃ。ｓ导，

ＤＢ一４Ｒｓｉｎ会ｃｏｓ导，

所以

ｐＡ：（Ｂｃ＋ｃＤ＋ＤＢ）／２＝２Ｒｓｉｎ会．

ｃｃ。ｓ会＋ｃ。ｓ导＋ｃ。ｓ导，．

万方数据

由内切圆的性质有Ｂｘ一加一ｃＤ：２Ｒｓｉｎ会．

ｃｃ。ｓ令一ｓ导＋ｃｏｓ争

同理ｘｃ一２Ｒｓｉｎ令（ｃ。ｓ令＋ｃ。ｓ导一ｃ。ｓ导），

Ａｚ＝２Ｒｓｉｎ导（一ｃ。ｓ会＋ｃ。ｓ导＋ｃ。ｓ导），ｚＢ＝２Ｒｓｉｎ导（ｃ。ｓ令一ｃ。ｓ导＋ｃ。ｓ导），ｃｙ一２Ｒｓｉｎ导（ｃ。ｓ令＋ｃ。ｓ导一ｃ。ｓ导），张一２Ｒｓｉｎ导（一ｃ。ｓ令＋ｃ。ｓ导＋ｃ。ｓ导）．由以上六式立即得出等・是－譬＿１．

因此，由塞瓦定理的逆定理知ＡＸ，Ｂｙ，ＣＺ三线共点．

２１６４试证：ａｉ＋ｉ乏＋…＋磊ｂ＜器（挖∈

Ｎ’）．

（浙江湖州市双林中学李建潮

３１３０１２）

证明令，（行）＝茅ｂ＋茅ｂ＋…＋两击ｊ，

则厂（咒＋１）一厂（ｎ）

＝（南＋熹＋熹）一击：上一上牟上

３咒＋２

３咒＋３。３ｎ＋４

一————————ｊｉ———一——————————ｊ二＿———一

（３７ｚ＋２）（３行＋３）

（３竹＋３）（３，ｌ＋４）

一————————————————————．ｊ（３＂＋２）（３，ｌ＋３）（３ｎ＋４）；———．．———————一：：．．．．———————————————ｊ（９咒２＋１５竹＋６）（３咒＋４）

！ｉ．．．．—．—．—一

≤而再而青丽丽而（当且仅当，ｚ。１

时取“＝”号）

一————————————．．．．．．—！（４咒２＋８，ｌ＋３）（２ｎ＋５）

——————————一一。．————————————————．．．ｊ（２，２＋１）（２行＋３）（２咒＋５）

！．．．．．．——————一

２瓦瓦干万西而一砭瓦干孬刁而。

１

１

所以厂（竹）＋砸再若丽

≥厂（以＋１）＋死丽≤矗而・

于是数列｛厂（行）＋砭历再可蒜）单调递减，

（当且仅当ｎ一１时取“一”号）

有厂（咒）＋砭丽看丽

≤厂（１）＋石毫雨＝瞿＋志一器．

因此厂（挖）＜嚣・

２１６５

如图，已知：００，与００外切于点Ｐ，Ｏ０２

与④０内切于点Ｑ，ＭＮ是００。与００。的公切线，Ｍ、Ｎ为切点．则ＰＯ、０，Ｑ、ＭＮ＝线其点．

（安徽省肥西中学刘运宜２３１２００）证明

因为Ｐ、Ｑ分别在０。０２的异侧，所以

ＰＱ与Ｏ，０２必相交，设其交点为Ｇ．

过Ｇ分别作００。与ｏ０２的切线，切点分别为Ｎ、Ｍ，连结Ｏ，Ｎ、０２Ｍ，再连０。０、０Ｑ，则点Ｐ在０，０上，点０２在０Ｑ上，最后再过０２作０：Ｈ∥ＰＱ交０。Ｏ于点Ｈ，另设④０。、④０。、００的半径分别为ｒ１、ｒ２、Ｒ．

因为Ｐ为ＯＯ。与ｏＯ的切点，Ｑ为Ｏ０：的④０的切点，所以０Ｐ一０Ｑ—Ｒ．

又因为ＮＭ切④Ｏ，、００。于Ｎ、Ｍ，所以

０１

Ｎ—ｒ１、０２Ｍ—ｒ２

而０≥Ｈ∥ＰＱ，所以ＰＨ一０２Ｑ—ｒ：．

因为０：Ｈ∥ＰＱ，所以ＧＰ∥０２Ｈ，且０。Ｐ一，．，，

所以器一等一≥；

万方数据

而踹一笔，所以踹一器．

又因为ＧＮ、ＧＭ分别为００。、００：的切线，Ｎ、Ｍ为切点，所以么Ｏ。ＮＧ一９０。一么０。ＭＧ，所以Ｒｔ△Ｎ０，Ｇ∽Ｒｔ△Ｍ０２Ｇ，所以么０。ＧＮ＝

么０２ＧＭ，所以Ｎ、Ｇ、Ｍ三点共线，即ＮＭ为Ｏ

０。与Ｏ０２的公切线．故

ＰＱ、０。０２、ＭＮ三线共点．

２０１４年２月号问题（来稿请注明出处——编者）

２１６６行是大于１的整数，记ｒ。一（，２—１）！＋１，ｓ。＝（卵一２）！一１，试求ｒ。与ｓ。的最大公约数

（ｒ。，ｓ。）．

（浙江温州市区马鞍池东路１—４０８

陈克瀛

３２５０００）

２１６７如图，已知△ＡＢＣ中么Ａ，么Ｂ，么Ｃ的对边分别为口，６，ｃ，Ｐ是△ＡＢＣ内一点，若么ＰＡＢ

一么ＰＢＣ一么ＰＣＡ，

求证：等＋等＋等＝Ｌ

Ｂ

Ｃ

（江西省都昌县第一中学刘南山

３３２６００）

２１６８

已知数列｛ｚ。）满足，ｚ。一ｏ，ｚ２—１，ｚ３—２，

当咒∈Ｎ＋时，令ｚ孙＋ｌ一生芝兰丢塑，ｚ３。＋２＝

一．

』．一

厶

旦！害旦，ｚ讲。一旦￡害旦．试问数列｛ｚ。）是——百一，ｚ３。＋３一——百一．讽Ｉ口Ｊ烈罗ＵＩｚ。７是

厶

厶

否有极限，如果有，请求Ｉｉｍｚ。；如果没有极限，请

说明理由．

（北京宏志中学王芝平１０００１３；北京第八十中学王坤１００１０２）

２１６９

设正方形ＡＢＣＤ的边长为口，在ＣＤ的延

长线上取一点Ｅ，以ＣＥ为直径作圆交ＡＤ的延长线于点Ｆ，连接ＦＢ交圆于另一点Ｇ．如果ＧＢ—ＤＦ，试求五边形ＡＢＣＦＥ的面积．

２１７０定义以下两个２０１３项同码小数的和式

彳ｆ

庐忒

ｎ一０．７＋Ｏ．７７＋Ｏ．７７７＋…＋Ｏ．７７…７

黧形

（最后一项小数点后有２０１３个７）；

６＝Ｏ．７＋２×０．７７＋３Ｘ０．７７７＋…＋２０１３×

ｏ．７７…７

（最后一项小数点后有２０１３个７）

试分别求盘与６的整数部分．（湖南理工学院杨克昌４１４０００）

（上接第６０页）口一０。，ｓｉｎ占一０，占一ｏ。，日出方位角３．４

日照时间、日出日落时刻

为ｏ。，二分日地球上除两极外的任意地区太阳都如图２，日照时间为太阳周日视运动轨迹在是正东升起，正西落下．

地平圈上方部分的弧所对的圆心角与周角的比值（３）当口≠ｏ。，即非二分日，对于地球上赤道以乘以２４，设弦ＦＨ所对的圆心角２口，口一么Ｆ０７Ｊ，外地区，ａ≠ｏ。，ｏ＜ｃｏｓｄ＜１，故ｌｓｉｎ艿ｌ＞Ｉｓｉｎ口Ｉ，Ｉ艿ｌ

０７Ｆ一尺ｃｏｓ口，在直角△Ａ０７Ｊ中，０７Ｊ＝ＡＪ・

＞…，日出方向相对于正东方向的偏角的绝对值

均大于太阳直线点纬度数，且观测点越靠近两极，

ｓｉｎ么．厂Ａ０７一Ａ．，ｓｉｎ口一翌里型Ｒ，在直角△０７，Ｆａ

ｌ越大，ｃ。ｓａ越小，ｌ害笺ｌ越大，Ｉｓｉｎ艿Ｉ越大，ｌ艿Ｉ

中，ｃ。ｓ臼一ｇ吉＝未尝未嚣一ｔａｎａｔａ叩，结合

越大，即观测点距赤道地区越远，日出偏角的绝对３．３有：

值越大．

对于南、北半球非极昼极夜且纬度绝对值相

日照时间Ｔ一垫堡望丛；善坐堕塑匝时．

同的地区，同一天的日出方位相同．

日出时刻函：１２一坐型尘害些鲤时，

．：ｎｏ

上Ｊ

（４）若口＞ｏ。，即太阳直射北半球，ｓｉｎ占一兰坐

ＣＵＳ口

日落时刻：￡。一１２＋坚堡塑尘；霉堕堕咝时，

＞ｏ，ｄ＞ｏ。，即除两极外的任意有日出地区太阳均从东偏北方向升起．

注：ｆ。，￡：为观测地地方时（正午为１２时）；上

同理若口＜ｏ。，除两极外的任意有日出地区太述公式只有当Ｉ—ｔａｎ口ｔａ叩Ｉ≤１，即非极昼极夜地

阳均从东偏南方向升起．区适用．

３．３昼夜长短分析

赤道地区ａ—ｏ。，ｔａｎａｔａ邶一Ｏ，ａｒｃｃｏｓＯ一９０。，若ａ＞ｏ。，胗ｏ。，太阳直射点与观测点同在北

￡ｌ一６，￡：一１８，Ｔ一１２，全年６时日出，１８时日落，半球，Ｊ点在Ｎ侧，９０。一ａ为锐角；太阳周日视运昼夜等长．

动轨迹圆心０７在地平圈上方，地平圈上方的太阳３．５正午太阳高度角

周日视运动轨迹为优弧，昼长大于夜长．

太阳周日视运动轨迹中么ＳＡＶ为正午太阳

若口＜ｏ。，Ｋｏ。，太阳直射点与观测点同在南

高度角＾．如图１、图２，么０８０７一么ＡⅧ７一ｐ，故

半球，，点在Ｓ侧，直线的倾斜角９０。一ａ为钝角；＾＝１８０。一么ＪＡ０７一么０７Ａｙ一１８０。一口一（９０。～太阳周日视运动轨迹圆心０７在地平圈上方，地平』９）一９０。一（口一卢）．若＾＜９０。，正午时太阳在南面，圈上方的周日视运动轨迹为优弧，昼长大于夜长．

若．１ｌ＞９０。，正午时太阳在北面．当ａ一口时，正午太同理，当ａ＞ｏ。，卢＜ｏ。或口＜ｏ。，卢＞ｏ。时，太阳阳在天顶（如图５）．

直射点与观测点分别在两个半球时，阳周日视运动轨迹圆心０７在地平圈下方，地平圈上方的太阳参考文献

周日视运动轨迹为劣弧，昼长小于夜长．

ｌ苏宜．天文学新概论［Ｍ］．武汉：华中科技大学出版社，２００５：

当ａ一０。，观测地为赤道地区，直线Ｗ与地平

５６～６３．

２蒋洪力．太阳直射点纬度的数学推导与分析［Ｊ］．数学通报，

圈垂直，太阳周日视运动轨迹圆心ｄ在地平圈内，太２００７，９：３９～４０

阳周日视运动轨迹被地平圈平分，全年昼夜等长．

刊号：笔导斋望端

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