新产品的推销
新产品销量预测问题
(李润 陈明治 王经纬)
销量预测问题
一、 摘要
本文通过建立微分方程模型,探讨了新产品进入市场后销售量变化的情况。模型由简单到复杂、由理想到现实,逐步利用广告对市场的限制探讨了产品销售量变化的情况,分析了广告费用对销售量产生的影响,建立比较符合现实的模型。
问题一中,新产品的投入,没有市场竞争,有良好的市场环境,也有良好的口碑,故属于较为简单的微分方程模型,可直接建立模型。
dx
问题二中,产品销售存在一定的市场容量N, 统计表明与该产品的潜在
dt容量Nx(t)成正比,故建立阻滞增长模型求解。
问题三中,则考虑了广告费用对产品销量的影响,分析了广告费用与销售速率之间的关系,建立数学微分方程模型,并运用了Matlab软件编程求解。
二、 问题提出
一种新产品问世,经营者自然要关心产品的卖出情况。如何采取有效措施,使得产品销量大,获取更大的利润,这是每个经营者最为关注的问题。
dx
1、设t时刻产品销量的增长率dt与x(t)成正比, 预测t时的产品销量xt; dx
2、设考虑到产品销售存在一定的市场容量N, 统计表明dt与该产品的潜在
容量Nx(t)成正比, 预测t时的产品销量xt;
3、试考虑影响产品销量的广告因素,并建立模型,预测t时的产品销量xt.
三、 模型假设与符号系统
模型假设:
模型基本假设:;
假设1:在考虑影响商品销售的因素时,不考虑偶然因素,如经济、战争因素、政治干预等;
假设2:产品的销售量符合产品的生命周期;
假设3:产品为日常用品,不是耐用品,每个人都需要。
符号系统:
x(t) 为t时刻新产品的销售量 a 为每件新产品的宣传效率 N 为市场的销售容量
b 为产品销售量的增长率与潜在容量的比例系数
s(t) 为商品t时刻的销售量(即新产品在此时刻一段时间的销售量,如七月份,八月份的销售量,而不是总销售量)
M(t) 为t时刻的广告费用
θ 为销售量本身的衰减系数 ∂ 为广告宣传对销售速率的影响 T 为商品销售速率最大的时刻
四、 模型的建立与求解
问题一模型的建立与求解:
模型的建立:
t时刻时,新产品的销售量为x(t),把x(t)当做连续、可微函数处理。 每件新产品都是宣传品,且单位时间内每件新产品能够使a件新产品被销售。 由假设可知:
x(t+∆t)-x(t)=ax(t)
即:
dxaxdt 开始时有x0件新产品被销售
x(0)= x0
整理得:
dx
axdtx(0)x0
求解得:
x(t)x0eat
问题二模型的建立与求解:
模型的建立: 事实上,xt往往是有上界的。针对模型上述欠缺,我们来修改模型,统计表明
dx
与该产品的潜在销量成正比,且设b为销售量的增长率与潜在dt
销售量的比例系数 则:
dx
b(Nx(t))dt
N(ebt1)x0x(t)
ebt
用matlab软件求解得:
问题三模型的建立与求解:
模型的建立:与实际情况比较,所得结果与真实销售量的增长情况比较相符。
然而事实上,厂家在产品销售之初,往往是通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的。因此我们需要做一下在广告干预下的模型。 另由图像分析可知
商品的销售速度与广告费用成正比,即
ds
M(t)dt
但是在市场趋于饱和,销售量趋于极限值N时,销售速度将会下降(广告作用下降,当s(t)趋近于N,广告作用趋近于零)。 产品生命周期一般分为四个阶段:
引入期:指新产品投入市场的初期阶段,也叫投入期。因这一阶段,用户对产品不太了解,需要做大量的广告宣传工作,向用户推荐介绍产品,所以这一时期也叫做介绍期。
成长期:市场销售量迅速增长的阶段。 成熟期:销售量很大,而且稳定,增减幅度不大。销售量最高点也是在这一时期。 衰退期:产品已经陈旧老化,销售量下降很快。
由产品的生命周期可知,自然衰退是商品销售速度的一种性质,即产品销售速度随销售量的增加而下降。
dss(t)1dtN
由于商品本质属性中销售衰减期的存在,所以我们建立模型如下:
ds(t)s(t)
M(t)(1)s(t)dtN
特别:M(t)=0,s(t)=N时,得到
ds(t)
s(t)dt
若M(t)复杂,则方程难以解出。考虑到销售速度与广告宣传的关系,当销售进行到一定时刻,无论如何做广告,销售速度都将下降。故设广告总费用为m,为讨论方便,设在T时间内做广告且取M(t)=m/T,即取广告策略为:
m
(0tT)
M(t)T
0(tT)
相当于在开始到T时间内,平均投入广告费用,时间T后不再作广告。
代入方程:
当0
ds(t)ms(t)
(1)s(t)dtTN
mm
()s(t)TTM(0
令
p
mTM
q
mT
则方程化为一阶非齐次线性方程
ds(t)
ps(t)qdt
得:
s(t)ce
若s(0)=s0,则c=s0-q/p, 从而
pt
q
p
s(t)(s0)ept
pp
q
(1ept)s0ept
p
当t>T时,由 s'(t)=-s(t) 得:,
s(t)=
cept
当t=T时,由s=s(T)=sN,由(1)算出得
即
s(t)sne(Tt)
qptpt
(1e)sce(0tT)0p
s(t)
se(Tt)(tT)N