大学物理课后答案5
5-1 设有一宇宙飞船，相对于地球作匀速直线运动，若在地球上测得飞船的长度为其静止长度的一半，问飞船相对地球的速度是多少?
[解] 飞船静止长度l 0为其固有长度，地球上测得其长度为运动长度，由长度收缩公式，有：
l v 2
l =l 0-() =0
c 2
v c
3232
解得：=
即：v =c =0. 866c
5-2 宇宙射线与大气相互作用时能产生π介子衰变，此衰变在大气上层放出μ粒子，已知μ粒子的速率为v ＝0.998c ，在实验室测得静止μ粒子的平均寿命为2. 2⨯10-6s ，试问在8000m 高空产生的μ粒子能否飞到地面?
[解] 地面上观测到的μ子平均寿命与固有寿命之间的关系
t =t 0
⎛v ⎫- ⎪
⎝c ⎭
2
μ子运行距离l =vt =v t 0μ子能飞到地面。
⎛v ⎫- ⎪
⎝c ⎭
2
=0. 998c ⨯2. 2⨯10
-6
-0. 998
2
=1042m
5-3 在S 系中观测到两个事件同时发生在x 轴上，其间距离为1m ，在S '系中观测这两个事件之间的距离是2m 。求在S '中测得的这两个事件发生的时间间隔。 [解] 在S 系中两事件时间间隔∆t =0, 由Lorentz 变换
u c
2
x '=
x -ut -(u /c )
2
t -
t '=
x
2
-(u /c )
∆x -u ∆t ∆x ⎧
'=∆x =⎪22
-(u /c ) -(u /c ) ⎪
⎪
u u 得：⎨ ∆t -2∆x ∆x 2⎪c c '=-⎪∆t =22-(u /c ) -(u /c ) ⎪⎩
将∆x '=2m , ∆x =1m 代入上两式，得
u =
32c ,
∆t '=-5. 77⨯10
-9
s
5-4 远方一颗星体以0.80c 的速率离开我们，我们接收到它辐射来的闪光按5昼夜的周期变化，求固定在这星体上的参考系中测得的闪光周期。 [解] 所求的为固有周期T 0：
5-5 假设一飞船的速率可达u ＝0.5c ，它沿着广州和北京的连线飞行，已知广州到北京的直线距离为1. 89⨯103km ，问飞船中的乘客观测到广州到北京的直线距离是多少? [解] 已知固有长度l 0=1. 89⨯103km
⎛v ⎫- ⎪
⎝c ⎭
2
3
2
3
=1. 6368⨯10km
T 0=T -(v /c )
2
=5-0. 80
2
=3昼夜
l =l 0
=1. 89⨯10⨯-0. 5
5-6 1966～1972年间，欧洲原子核研究中心(CERN)多次测量到储存环中沿“圆形轨道”运行的μ粒子的平均寿命，在μ粒子的速率为0.9965c 时，测得的平均寿命是26. 15⨯10-6s 。
-6
μ粒子固有寿命的实验值是2. 197⨯10s 。问实验结果与相对论理论值符合的程度如何?
[解] μ粒子固有寿命理论值
⎛v ⎫
t 0=t - ⎪
⎝c ⎭
2
=2. 615⨯10
-6
⨯-0. 9965
2
=2. 186⨯10
-6
s
与实验值比较，相对误差0.5%，两者符合得极好。
5-7 在惯性系S 中的同一地点发生A 、B 两个事件，B 晚于A 4s，在另一惯性系中S ´中观测到B 晚于A 5s ，求：(1)这两个参考系的相对速率是多少?(2)在S ´系这两个事件发生的地点间的距离是多少?
[解] (1) 由题意知，固有时τ0=4s ，根据时间膨胀公式， τ=
τ0
-(u /c )
2
有：-(u /c ) 2=τ0/τ=4/5 由此得
u c =35
, 即u =
35c
(2) 应用Lorentz 变换式，得： x '=
x -ut 1-(u /c )
2
3
所以 ∆x '=
∆x -u ∆t -(u /c )
2
=-
u ∆t -(u /c )
2
=-
5
⨯4c 45
=-3c
因而S '系中这两个事件发生地点间相距3c 。
5-8 有一宇航员乘速率为1000km 的火箭由地球前往火星，宇航员测得他经40h 到达火星，求地面上观测者测得的时间与宇航员测得的时间差。 [解] 宇航员测得的是固有时间t 0，地面测得的时间
t =
t 0⎛v ⎫1- ⎪
⎝c ⎭
2
=40. 00022小时 t 0=40小时
所以t -t 0=2. 2⨯10-4小时
5-9 (1)火箭A 以0.8c 的速率相对于地球向东飞行，火箭 B 以0.6c 的速率相对地球向西飞行，求火箭B 测得火箭A 的速率的大小和方向。
(2)如果火箭A 向正北飞行，火箭B 仍然向西飞行，则由火箭B 测得火箭A 的速率大小中方向又如何?
[解] (1)选地球为S 系，火箭B 为S '系，并设正东为x 轴正向，则对A 有：
u =-0. 6c , 由速度变换公式，得：
v 'x =方向为正东。 (2) 坐标系仍如(1)问，
u =-0. 6c ,
v x =v z =0,
v y =0. 8c
v x =0. 8c ,
v y =v x =0
v x -u 1-
u c
2
=
0. 8c +0. 6c 1+
0. 8c ⨯0. 6c
c
2
=0. 946c
v x
由速度变换公式，有
'
v x =
v x -u 1-
u c
2
=0. 6c
v x
2
v y =
'
v y -(u /c ) 1-
u c
2
=0. 64c
v x
'=0 v z
v '=
''v 'x +v y +v z
222
=0. 877c
有正东方向夹角为
θ=cos -1
v 'x v '=cos
-1
0. 6c 0. 877c
=46. 83
5-10 一空间飞船以0.5c 的速率从地球发射，在飞行中飞船又向前方相对自己以0.5c 的速率发射一火箭，问地球上的观测者测得火箭的速率是多少?
[解] 地面取为S 系，飞船取为S '系，则v =0. 5c ，u '。对地面观测者而言火箭速率x =0. 5c
u x =
u 'x +v 1+
u 'x v c
2
=
0. 5c +0. 5c 1+
0. 5c ⨯0. 5c
c
2
=0. 8c
5-11 半人马星座的口星距地球为4. 3⨯1016m ，设有一飞船以0.999c 的速率往返于。星与地球之间。由地球上观测，飞船往返一次需多少时间? 若在飞船上观测，往返一次需多少时间?
[解]取地球为S 系，飞船为S '系，地球上观测飞船往返一次需时：
2∆t =2∆x /u =2⨯4. 3⨯1016/0. 999c =2. 87⨯108S 由Lorentz 变换，飞船上观测，往返一次需时：
∆t -
u c
2
∆x
2
2∆t '=2⨯=1. 28⨯10s
7
-(u /c )
本题第二问也可用尺缩效应来求，飞船上看来，距离为
∆x '=
2
-(u /c ) ∆x ，时间为 2∆t '=2∆x '/u
还可以用钟慢效应来求，飞船上人观测往返一次这两件事发生在同一地点，故飞船测得的为固有时，因而：
2∆t '=2∆t -(u /c )
2
=1. 28⨯10s
7
5-12 地球上的观测者发现，一只以速率0.60c 向东航行的宇宙飞船将在5s 后同一个以0.80c 速率向西飞行的慧星相撞。 (1)飞船中的人将观测到慧星以多大的速率向他们接近?(2)按照飞船上的钟，还有多少时间允许他们离开原来的航线避免相撞?
[解] 地球取为S 系，飞船取为S '系，由已知条件，当取x 轴向东时，v =0. 6c ，u x =-0. 80c ，
∆t =5s 。飞船上人观测彗星速率
u 'x =
u x -v 1-
u x v c
2
=
-0. 80c -0. 60c 1+0. 80⨯0. 60
=-0. 946c
负号表示彗星向西飞行。时间间隔∆t 在飞船中观测应为∆t '
∆t -
∆t '=
v ∆x c
22
⎛v ⎫1- ⎪
⎝c ⎭
式中∆x 为相撞浅s 中彗星飞行距离。∆x =u x ∆t
∆t -
v ∆x c
22
1-=
u x v c
2
2
所以 ∆t '=⋅∆t =9. 25s
⎛v ⎫- ⎪
⎝c ⎭⎛v ⎫- ⎪
⎝c ⎭
5-13 设一火箭的静止质量为100t ，当它以第二宇宙速度飞行时，它的质量增加了多少? [解] v =11. 2km s =1. 12⨯104m
m =
m 0⎛v ⎫
- ⎪
⎝c ⎭
2
=
1⎛1. 121-
⎝3⨯10
-10
5
⎫⎪⎭
2
=1. 0000000009
m
∆m =m -m 0=9⨯10m 0=9⨯10
-2
g
5-14 要使电子的速率从1. 2⨯108m s 增加到2. 4⨯108m s 必须做多少功? [解] 由动能定理，外力所作的功为
A =∆mc 代入数据，得
A =8. 199⨯10-14(1. 667-1. 091) =4. 72⨯10-14J
5-15 某粒子的静止质量为m 0，当其动能等于其静能时，其质量和动量各等于多少? [解] 动能为E k =mc
2
2
=m 0c (
2
1-(v 2/c )
2
-
1-(v 1/c )
2
)
-m 0c 由已知条件
2
E k =m 0c 2，故 解出 v =
32
m 0-(v /c )
2
1/-(v /c )
2
=2
c
所以有 m =
=2m 0
因此 p =mv =
3m 0c
5-16 太阳的辐射能来自其内部的核聚变反应。太阳每秒钟向周围空间辐射出的能量约为5⨯1028J ⋅s ，由于这个原因，太阳每秒钟减少多少质量?
[解] ∆m =∆E c 2=5⨯1028
5-17 一颗核弹含有20kg 的钚，爆炸后的生成物的静止质量比原来的静止质量小104分之一，求爆炸中释放的能量。 [解] 由质能关系，得：
∆E =∆mc
2
(3⨯10)
82
=5. 56⨯10
12
kg
=20⨯10
-4
⨯(3⨯10)
82
=1. 80⨯10
14
J
5-18 假设一个静止质量为m 0、动能为2m 0c 2的粒子同一个静止质量为2m 0，处于静止状态的粒子相碰撞并结合在一起，试求碰撞后结合在一起的粒子的静止质量。 [解]依题意，得：
E k =m 0c 2(
1-(v /c ) 1-(v /c )
2
2
-1) =2m 0c
2
故有
=3v =
23
2c
由动量守恒、能量守恒定律，得
m 0v 1-(v /c )
2
2
2
=
'v 'm 0-(v '/c )
2
2m 0c +m 0c
1-(v /c )
2
=
'c m 0
2
2
-(v '/c )
'=m 0 可解得 m 0
5-19 在北京的正负电子对撞机中，电子可以被加速到动能为E k =2. 8⨯109eV 。这种电子的速率与光速相差多大? 一个电子的动量是多大?(电子的静止能量E 0=0. 511⨯106eV ) 。
[解] 因为 E k
⎛
1
=m 0c
⎝-β
2
2
⎫⎪-1 ⎪⎭
所以
1-β
2
=1+
E k m 0c
2
=1+
2. 8⨯10
96
0. 511⨯10=5480
β=
⎛1⎫- ⎪
⎝5480⎭
2
=0. 999999983
c -v =(1-β)c =1. 6⨯10
-8
c =4. 9m ⋅s
-1
18
-1
p =
m 0v ⎛v ⎫1- ⎪
⎝c ⎭
2
=5480⨯9. 11⨯10
-31
⨯0. 000000083c =1. 5⨯10kg ⋅m ⋅s
5-20 静止质量为M 0的粒子在静止时衰变为静止质量为m 10和m 20的两个粒子。试求静止质量为m 10的粒子的能量E 1和速度v 1。 [解] 根据动量、能量守恒定律列出方程
22
⎧m 10c m 20c 2
+⎪M 0c =
22
⎪⎛v 1⎫⎛v 2⎫
- 1- ⎪⎪⎪
⎪c c ⎝⎭⎝⎭⎨
m 10v 1m 20v 2
⎪0=+
22⎪
v 1⎫v 2⎫⎛⎛⎪1- - ⎪⎪
⎪c c ⎝⎭⎝⎭⎩
(1)
(2)
令β1=v 1c 、β2=v 2c ，上两式化为
m 10m 20⎧M =+⎪0
22
-β1-β2⎪
⎨
m 10β1m 20β2
⎪0=+
22⎪-β-β12⎩
(3)
(4)
从(4)式得 β2=
2
m 201-β1
2
m 10β1
2
22
210
+m
β1
2
(5)
(5)式代入(3)式消去β2，经代数运算解出
⎡
β1=⎢1-
⎢⎣
2
⎛ M ⎝
2m 10M
20
+m 10
2
-m 20
2
⎫⎪⎪⎭
⎤⎥⎥⎦
12
⎡v 1=c ⎢1-
⎢⎣
⎛ M ⎝
2
2m 10M
20
2
2
+m 10-m 20
20
⎫⎪⎪⎭
2
⎤⎥⎥⎦
1
E 1=
m 10c
-β2
2
⎛M = ⎝22
+m 10-m 20⎫2
⎪c ⎪2M 0
⎭
5-21 试估计地球、太阳的史瓦西半径．
解: 史瓦西半径 r s =
2GM c
2
地球： M ≈6⨯1024kg
2⨯6. 7⨯10
-11
8
则： r s =
⨯6⨯10
2
24
(3⨯10)
=8. 9⨯10
-3
m
太阳： M ≈2⨯1030kg
2⨯6. 7⨯10
-11
8
则： r s =
⨯2⨯10
2
30
(3⨯10)
=3⨯10 m
3
5-22 典型中子星的质量与太阳质量M
⊙
＝2×1030kg 同数量级，半径约为10km ．若进一步
-15
坍缩为黑洞，其史瓦西半径为多少? 一个质子那么大小的微黑洞(10cm) ，质量是什么数量?
3
解: (1)史瓦西半径与太阳的相同，r s =3⨯10 m
-15-17
cm =10(2) r s =10m
由 r s =
r s c
2
2GM c
2
8
2
得 M =
2G
=
10
-17
⨯(3⨯10)
-11
2⨯6. 7⨯10
=6. 7⨯10kg
9
5-23 简述广义相对论的基本原理和实验验证．
解: 广义相对论的基本原理是等效原理和广义相对性原理．
等效原理又分为弱等效原理和强等效原理．弱等效原理是：在局部时空中，不可能通过力学实验区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．强等效原理是：在局部时空中，任何物理实验 都不能区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．
广义相对性原理是：所有参考系都是平权的，物理定律的表述相同． 广义相对论的实验验证有：光线的引力偏转，引力红移，水星近日点进动，雷达回波延迟等．