全等三角形经典培优题型(含答案)

全等三角形的提高拓展训练

全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．

寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

(1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3) 有公共边的，公共边常是对应边． (4) 有公共角的，公共角常是对应角． (5) 有对顶角的，对顶角常是对应角．

(6) 两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角) 是对应边(或对应角) ，一对最短边(或最小角) 是对应边(或对应角) ．

要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：

(1) 边角边定理(SAS ) ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA ) ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS ) ：三边对应相等的两个三角形全等．

(4) 角角边定理(AAS ) ：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL ) ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．

全等三角形证明经典题

1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD

B

D

2已知：BC=DE，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2

3已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

B

5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

6 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC。

7已知：AB=CD，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C

8 P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB，求证：PC-PB

A

D

9已知，E 是AB 中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC

C

10．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线

交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．

P

C

E

D

A B

11（6分）如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B

A

C

D

B

12（10分）如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，A

BE=CF。

求证：AM 是△ABC 的中线。 F

B

M

C

E

13已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE =CD ．

14在△ABC 中，∠ACB =90︒，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①∆ADC ≌∆CEB ；②DE =AD +BE ；

(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

B E

A

15如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC ⊥BF

C

16．如图, 已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD相等吗？请说明理由

17．如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．

图9

E B

全等三角形证明经典（答案）

1. 延长AD 到E, 使DE=AD,

则三角形ADC 全等于三角形EBD

即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE

2证明：连接BF 和EF 。

因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。

所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) 。 所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。

连接BE 。

在三角形BEF 中,BF=EF。 所以 ∠EBF=∠BEF 。 又因为 ∠ABC=∠AED 。 所以 ∠ABE=∠AEB 。 所以 AB=AE。

在三角形ABF 和三角形AEF 中，

AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。 所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2) 。 3 证明：

过E 点，作EG//AC，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2 又∵CD=DE

∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1 ∵∠1=∠2 ∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC

4证明：

在AC 上截取AE=AB，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD

又∵AE=AB，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ） ∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD

AC=AE+CE ∴CE=DE

∴∠C=∠EDC

∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C

5证明：

在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB

所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF

所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC

所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF

所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE

6证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.

∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A; AB 平行于CD, 则:∠A+∠D=180°; 又∠EFB+∠EFC=180°, 则∠EFC=∠D;

又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD. 所以,BC=BF+FC=AB+CD.

7证明：设线段AB,CD 所在的直线交于E ，（当ADBC时，E 点是射线AB,DC 的交点）。 则：

△AED 是等腰三角形。 所以：AE=DE

而AB=CD

所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量） 所以：△BEC 是等腰三角形 所以：角B=角C.

8作B 关于AD 的对称点B‘，因为AD 是角BAC 的平分线，B' 在线段AC 上（在AC 中间，因为AB 较短）

因为PCA

D

9作AG ∥BD 交DE 延长线于G AGE 全等BDE AG=BD=5 AGF ∽CDF AF=AG=5

所以DC=CF=2

10证明：

做BE 的延长线，与AP 相交于F 点， ∵PA//BC

∴∠PAB+∠CBA=180°，

又∵，AE ，BE 均为∠PAB 和∠CBA 的角平分线 ∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB 为直角三角形 在三角形ABF 中，AE ⊥BF ，且AE 为∠FAB 的角平分线∴三角形FAB 为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF 与三角形BEC 中，

∠EBC=∠DFE, 且BE=EF，∠DEF=∠CEB ，

∴三角形DEF 与三角形BEC 为全等三角形，∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

11证明：在AB 上找点E ，使AE=AC ∵AE=AC，∠EAD=∠CAD ，AD=AD

∴△ADE ≌△ADC 。DE=CD，∠AED=∠C ∵AB=AC+CD，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE ∠B=∠EDB

∠C=∠B+∠EDB=2∠B

12证明： ∵BE ‖CF

∴∠E=∠CFM ，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF

∴△BEM ≌△CFM ∴BM=CM

∴AM 是△ABC 的中线.

13证明：因为 AB=AC， 所以 ∠EBC=∠DCB 因为 BD ⊥AC ，CE ⊥AB 所以 ∠BEC=∠CDB BC=CB (公共边)

则有 三角形EBC 全等于三角形DCB 所以 BE ＝CD

14

（1）证明：∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，

而AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，

∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°， ∴∠ACD=∠CBE ．

在Rt △ADC 和Rt △CEB 中，{∠ADC=∠CEB ∠ACD=∠CBE AC=CB， ∴Rt △ADC ≌Rt △CEB （AAS ）， ∴AD=CE，DC=BE， ∴DE=DC+CE=BE+AD；

（2）不成立，证明：在△ADC 和△CEB 中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB， ∴△ADC ≌△CEB （AAS ）， ∴AD=CE，DC=BE， ∴DE=CE-CD=AD-BE；

15

（1）证明; 因为AE 垂直AB

所以角EAB=角EAC+角CAB=90度 因为AF 垂直AC

所以角CAF=角CAB+角BAF=90度 所以角EAC=角BAF 因为AE=AB AF=AC

所以三角形EAC 和三角形FAB 全等 所以EC=BF 角ECA=角F

（2）延长FB 与EC 的延长线交于点G 因为角ECA=角F(已证） 所以角G=角CAF

雨露辅导中心专用资料 因为角CAF=90度

所以EC 垂直BF

16在AB 上取点N ,使得AN=AC

∠CAE=∠EAN ,AE为公共边, 所以三角形CAE 全等三角形EAN 所以∠ANE=∠ACE

又AC 平行BD

所以∠ACE+∠BDE=180

而∠ANE+∠ENB=180

所以∠ENB=∠BDE

∠NBE=∠EBN

BE 为公共边,

所以三角形EBN 全等三角形EBD

所以BD=BN

所以AB=AN+BN=AC+BD

17证明：作CG 平分∠ACB 交AD 于G

∵∠ACB=90°

∴∠ACG= ∠DCG=45°

∵∠ACB=90° AC=BC

∴∠B=∠BAC=45°

∴∠B=∠DCG=∠ACG

∵CF ⊥AD

∴∠ACF+∠DCF=90°

∵∠ACF+∠CAF=90°

∴∠CAF=∠DCF

∵ AC=CB ∠ACG=∠B

∴△ACG ≌△CBE

∴CG=BE

∵∠DCG=∠B CD=BD

∴△CDG ≌△BDE

∴∠ADC=∠BDE

11