人教版高中数学双曲线及其基本方程教案
基础巩固强化
一、选择题
1.(2012~2013学年度四川南部中学高二期末测试) 双曲线3x 2
-4y 2=-12的焦点坐标为( )
A .(±5,0) C .,0) [答案] D
y 2x 2
[解析] 双曲线3x -4y =-12化为标准方程为1,∴a 2
34
2
2
B .(0,D .(0,=3,b 2=4,c 2=a 2+b 2=7,∴c ,又∵焦点在y 轴上,故选D.
x 2y 2
2.已知方程1表示双曲线,则k 的取值范围是( )
1+k 1-k A .-1
[解析] 由题意得(1+k )(1-k )>0,∴(k -1)(k +1)
3.椭圆1-1有相同的焦点,则m 的值
4m m 2是( )
A .±1 C .-1 [答案] A
[解析] 验证法:当m =±1时,m 2=1, 对椭圆来说,a 2=4,b 2=1,c 2=3. 对双曲线来说,a 2=1,b 2=2,c 2=3, 故当m =±1时,它们有相同的焦点.
直接法:显然双曲线焦点在x 轴上,故4-m 2=m 2+2.
B .1 D .不存在 B .k >0 D .k >1或k
∴m 2=1,即m =±1.
4.(2012~2013学年度宁夏宁大附中高二期末测试) 双曲线x 2y 2
-1的焦距是( ) m +124-m
A .4 C .8 [答案] C
[解析] 由题意知,a 2=m 2+12,b 2=4-m 2,∴c 2=a 2+b 2=16,∴c =4,故双曲线的焦距为8.
5.已知点F 1(-4,0) 和F 2(4,0),曲线C 上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6,则曲线C 的方程为( )
x 2y 2
A. =1 97x 2y 2
B. 1(y >0) 97
x 2y 2x 2y 2
1或1 9779x 2y 2
D. =1(x >0) 97[答案] D
[解析] 由双曲线的定义知,点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点,实x 2y 2
轴长为6=1(x >0)
97
6.已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点,线段AB 的长为5,若2a =8,那么△ABF 2的周长是( )
A .16 C .21
B .18 D .26 B .D .与m 有关
[答案] D
[解析] |AF 2|-|AF 1|=2a =8,|BF 2|-|BF 1|=2a =8,
∴|AF 2|+|BF 2|-(|AF 1|+|BF 1|)=16, ∴|AF 2|+|BF 2|=16+5=21,
∴△ABF 2的周长为|AF 2|+|BF 2|+|AB |=21+5 =26. 二、填空题
7.双曲线的焦点在x 轴上,且经过点M (3,2)、N (-2,-1) ,则双曲线标准方程是________.
x 2y 2
[答案] 1
7735
x 2y 2
[解析] 解法一:设双曲线方程为:1(a >0,b >0)
a b 又点M (3,2)、N (-2,-1) 在双曲线上, 94⎧⎪a b 1∴⎨41⎪⎩a b =1
72⎧a =⎪3
,∴⎨
72
⎪b =⎩5
.
解法二:设双曲线方程为mx 2+ny 2=1(m >0,n
⎧⎪9m +4n =1
⎨
⎪4m +n =1⎩
3⎧m =⎪7
,解得⎨
5
⎪n ⎩7
.
x 2y 2
=1.
7735
x 22
8.(2012~2013学年度安徽安庆市高二期末测试) 双曲线y
m
=1的一个焦点为F (3,0),则m =________.
[答案] 8
[解析] 由题意,得a 2=m ,b 2=1, ∴c 2=a 2+b 2=m +1,又c =3, ∴m +1=9,∴m =8.
x 2y 2
9.方程+=1表示双曲线,则m 的取值范围是
|m |-12-m ________.
[答案] m >2或-1
x 2y 2
[解析] 方程+1表示双曲线,
|m |-12-m 则(|m |-1)(2-m )2或-1
x 2y 2
10.讨论1表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征.
25-k 9-k [解析] (1)当k 0,9-k >0, 所给方程表示椭圆,
此时a 2=25-k ,b 2=9-k ,c 2=a 2-b 2=16, 这些椭圆有共同的焦点(-4,0) ,(4,0). (2)当90,9-k
此时,a 2=25-k ,b 2=k -9,c 2=a 2+b 2=16,这些双曲线也有共同的焦点(-4,0) ,(4,0).
(3)当k >25时,所给方程没有轨迹.
能力拓展提升
一、选择题
11.已知双曲线中心在原点,一个焦点为F 1(,0) ,点P 在该双曲线上,线段PF 1的中点坐标为(0,2),则双曲线的方程是( )
x 22
A. y =1 4x 2y 2
1 23[答案] B
x 2y 2516
[解析] 由条件知P ,4) 在双曲线1上,∴=1,
a b a b
2
⎧a =1⎪22
又a +b =5,∴⎨2,故选B.
⎪b =4⎩
2
y
B .x 2-1
4
x 2y 2
D. 1 32
12.已知双曲线的两个焦点为F 1(,0) 、F 2,0) ,P 是此双曲线上的一点,且PF 1⊥PF 2,|PF 1|·|PF 2|=2,则该双曲线的方程是( )
x 2y 2
A. =1 23x 22
y =1 4[答案] C
[解析] ∵c =,|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2, ∴(|PF 1|-|PF 2|)2+2|PF 1|·|PF 2|=4c 2, ∴4a 2=4c 2-4=16,∴a 2=4,b 2=1.
x 2y 213.k >9+=1表示双曲线的( )
9-k k -4A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件
x 2y 2
B. 1 32
2y
D .x 2-1
4
[答案] B
y 2x 2
[解析] k >9时,方程为1表示焦点在y 轴上的双曲
k -4k -9线,方程表示双曲线时,(9-k )(k -4)9,故选B.
x 2y 2
141的左、右焦点分别为F 1、F 2,若双曲
259线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18,N 是MF 2的中点,O 为坐标原点,则|NO |等于( )
2
A. B .1 C .2 D .4 3[答案] D
1
[解析] NO 为△MF 1F 2的中位线,所以|NO |=MF 1|,又由双曲
2线定义知,|MF 2|-|MF 1|=10,因为|MF 2|=18,所以|MF 1|=8,所以|NO |=4,故选D.
二、填空题
x 2y 2
15.若方程3表示焦点在y 轴上的双曲线,则m
m -1m -4的取值范围是________.
[答案] (-∞,-2)
y 2x 2
[解析] 由题意,方程可化为3,
m -41-m
2⎧m ⎪-4>0∴⎨,解得m 0⎩
x 2y 2x 2y 2
16.若双曲线=1(m >0,n >0)和椭圆1(a >b >0)有相
m n a b 同的焦点F 1、F 2,M 为两曲线的交点,则|MF 1|·|MF 2|等于________.
[答案] a -m
[解析] 由双曲线及椭圆定义分别可得 |MF 1|-|MF 2|=±2,① |MF 1|+|MF 2|=,②
②2-①2得,4|MF 1|·|MF 2|=4a -4m , ∴|MF 1|·|MF 2|=a -m . 三、解答题
x 2y 2
17+=1有共同的焦点,且与椭圆相交,
2736在第一象限的交点A 的纵坐标为4,求此双曲线的方程.
x 2y 2
[解析] 椭圆=1的焦点为(0,±3) ,
2736y 2x 2
=1(a >0,b >0),
a b x 2y 2
又点A (x 0, 4) 在椭圆1上,∴x 20=15, 2736y 2x 21615
又点A 在双曲线1-=1,
a b a b 又a 2+b 2=c 2=9,∴a 2=4,b 2=5, y 2x 2
所求的双曲线方程为:1.
45
18.当0°≤α≤180°时,方程x 2cos α+y 2sin α=1表示的曲线如何变化?
[解析] (1)当α=0°时,方程为x 2=1,它表示两条平行直线x =±1.
x 2y 2(2)当0°
11cos αsin α
11
①当0°
cos αsin α
②当α=45°时,它表示圆x 2+y 211③当45>0,它表示焦点在x 轴上的椭圆.
cos αsin α(3)当α=90°时,方程为y 2=1,它表示两条平行直线y =±1. y 2x 2(4)当90°
11sin α-cos α轴上的双曲线.
(5)当α=180°时,方程为x 2=-1,它不表示任何曲线.
x 22
1+y =1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )
4x 22x 22
A. y =1 B. y =1 42x 2y 2y 22
1 D .x 1 332[答案] B
[解析] 椭圆的焦点F 1(-,0) ,F 2,0) , 由双曲线定义知2a =|PF 1|-|PF 2| =(2+)2+1(2-)2+1 =8+8-=, ∴a =,∴b 2=c 2-a 2=1, x 22
∴双曲线方程为y =1.
2
x 2y 2
2.在平面内,已知双曲线C 1的焦点为F 1、F 2,则“|PF 1|
916-|PF 2|=6”是“点P 在双曲线C 上”的( )
A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] B
[解析] 由已知若点P 在双曲线C 上,则有||PF 1|-|PF 2||=6, ∴“|PF 1|-|PF 2|=6”是“点P 在双曲线C 上”的充分不必要条件.
3.已知F 1、F 2为双曲线C :x 2-y 2=1的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则|PF 1|·|PF 2|等于( )
A .2 C .6 [答案] B
[解析] 在△PF 1F 2中,
|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|·cos60°=(|PF 1|-|PF 2|)2+|PF 1|·|PF 2|,
即2=22+|PF 1|·|PF 2|, 解得|PF 1|·|PF 2|=4.
2
y
4.已知双曲线x 21的焦点为F 1、F 2,点M 在双曲线上且
2
B .4 D .8
→→MF 1·MF 2=0,则点M 到x 轴的距离为( )
4
A. 3 3[答案] C
5B. 3D.
[解析] 由条件知c =,∴|F 1F 2|=, →→1∵MF 1·MF 2=0,∴|MO |=F 1F 2|=,
2
22x +y ⎧00=3
设M (x 0,y 0) ,则⎨2y 2, 0
⎩x 0-2=1
42
∴y 0=y 0=3
3
C.
x 2y 2
5.过双曲线1的焦点且与x 轴垂直的直线被双线截取的
34线段的长度为________.
[答案] 3
[解析] ∵a 2=3,b 2=4,∴c 2=7,∴c =, 该直线方程为x ,
⎧x 7由⎨x 2y 2
⎩341
16
,解得y ,
3
2
∴|y |.
33
x 2y 2
6+=1上有一点P ,到其左、右两焦点距离之
10036比为
,求点P 到两焦点的距离及点P 的坐标.
[解析] 设P (x ,y ) ,左、右焦点分别是F 1、F 2, ∵a =10,∴|PF 1|+|PF 2|=2a =20. 又|PF 2|=3|PF 1|,∴|PF 1|=5,|PF 2|=15. 由两点间的距离公式可得
22⎧⎪(x +8)+y =2525⎨,解得x . 224⎪⎩(x -8)+y =225
代入椭圆方程得y =4
⎛25⎫⎛253⎫ ⎪. 故点P 的坐标为-或-⎝44⎭⎝44⎭