平方差公式练习题
1.7 平方差公式
A 卷:基础题
一、选择题
1.平方差公式(a+b)(a -b )=a2-b 2中字母a ,b 表示( )
A .只能是数 B .只能是单项式 C .只能是多项式 D .以上都可以 2.下列多项式的乘法中,可以用平方差公式计算的是( ) A .(a+b)(b+a) B .(-a+b)(a -b ) C .(
13
a+b)(b -
13
a ) D .(a 2-b )(b 2+a)
3.下列计算中,错误的有( )
①(3a+4)(3a -4)=9a2-4;②(2a 2-b )(2a 2+b)=4a2-b 2;
③(3-x )(x+3)=x2-9;④(-x+y)·(x+y)=-(x -y )(x+y)=-x 2-y 2. A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4.若x 2-y 2=30,且x -y=-5,则x+y的值是( ) A .5 B .6 C .-6 D .-5 二、填空题
5.(-2x+y)(-2x -y )=______. 6.(-3x 2+2y2)(______)=9x4-4y 4.
7.(a+b-1)(a -b+1)=(_____)2-(_____)2.
8.两个正方形的边长之和为5,边长之差为2,那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积,差是_____. 三、计算题
9.利用平方差公式计算:20
23
×19
13
.
10.计算:(a+2)(a 2+4)(a 4+16)(a -2).
B 卷:提高题
一、七彩题
1.(多题-思路题)计算:
(1)(2+1)(22+1)(24+1)…(22n +1)+1(n 是正整数);
(2)(3+1)(3+1)(3+1)…(3
2.(一题多变题)利用平方差公式计算:2009×2007-20082.
(1)一变:利用平方差公式计算:
2
4
2008
+1)-
3
4016
.
2
2007
2007-2008⨯2006
2
.
2007
2
(2)二变:利用平方差公式计算:
二、知识交叉题
.
2008⨯2006+1
3.(科内交叉题)解方程:x (x+2)+(2x+1)(2x -1)=5(x 2+3).
三、实际应用题
4.广场内有一块边长为2a 米的正方形草坪,经统一规划后,南北方向要缩短3米,东西方向要加长3米,则改造后的长方形草坪的面积是多少?
四、经典中考题
5.(2007,泰安,3分)下列运算正确的是( ) A .a 3+a3=3a6 B .(-a )3·(-a )5=-a 8 C .(-2a 2b )·4a=-24a 6b 3 D .(-
13
a -4b )(
13
a -4b )=16b2-
19
a 2
6.(2008,海南,3分)计算:(a+1)(a -1)=______.
C 卷:课标新型题
1.(规律探究题)已知x≠1,计算(1+x)(1-x )=1-x 2,(1-x )(1+x+x2)=1-x 3, (1-x )(•1+x+x2+x3)=1-x 4.
(1)观察以上各式并猜想:(1-x )(1+x+x2+…+xn )=______.(n 为正整数) (2)根据你的猜想计算:
①(1-2)(1+2+22+23+24+25)=______. ②2+22+23+…+2n =______(n 为正整数). ③(x -1)(x 99+x98+x97+…+x2+x+1)=_______. (3)通过以上规律请你进行下面的探索: ①(a -b )(a+b)=_______. ②(a -b )(a 2+ab+b2)=______. ③(a -b )(a 3+a2b+ab2+b3)=______.
2.(结论开放题)请写出一个平方差公式,使其中含有字母m ,n 和数字4.
3. 从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后,•将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形,如图1-7-1所示,然后拼成一个平行四边形,如图1-7-2所示,分别计算这两个图形阴影部分的面积,结果验证了什么公式?请将结果与同伴交流一下.
参考答案
A 卷
一、1.D
2.C 点拨:一个算式能否用平方差公式计算,•关键要看这个算式是不是两个数的和与这两个数的差相乘的形式,选项A ,B ,D 都不符合平方差公式的结构特征,•只有选项C 可以用平方差公式计算,故选C .
3.D 点拨:①(3a+4)(3a -4)=(3a )2-42=9a2-16,
②(2a 2-b )(2a 2+b)=(2a 2)2-b 2=4a4-b 2,③(3-x )(x+3)=32-x 2=9-x 2, ④(-x+y)(x+y)=-(x -y )(x+y)=-(x 2-y 2)=-x 2+y2,故选D . 4.C 点拨:因为(x+y)(x -y )=x2-y 2,又x 2-y 2=30,x -y=-5, 所以-5(x+y)=30,x+y=-6,•故选C . 二、
5.4x 2-y 2 点拨:(-2x+y)(-2x -y )=(-2x )2-y 2=4x2-y 2.
6.-3x 2-2y 2 点拨:因为(-3x 2+2y2)(-3x 2-2y 2)=(-3x 2)2-(2y 2)2=9x4-4y 4,所以本题应填写-3x 2-2y 2. 7.a ;b -1
点拨:把a+b-1转化为a+(b -1),把a -b+1转化为a -(b -1),可得 (a+b-1)(a -b+1)=[a+(b -1)][a-(b -1)]=a2-(b -1)2. 8.10 点拨:设较大的正方形的边长为a ,较小的正方形的边长为b , 则a+b=5,•a -b=2,所求的面积差为a 2-b 2, 而(a+b)(a -b )=a2-b 2,故a 2-b 2=10. 三、 9.解:20
23
×19
13
=(20+
23
)×(20-
23
)=202-(
23
)2=400-
49
=399
59
.
点拨:先把两个因数分别转化成两数的和与这两个数的差,再利用平方差公式计算. 10.解:(a+2)(a 2+4)(a 4+16)(a -2)=(a -2)(a+2)(a 2+4)·(a 4+16) =(a 2-4)(a 2+4)(a 4+16)=(a 4-16)(a 4+16)=a8-162=a8-256.
点拨:根据题中因式的结构特征,•依次运用平方差公式进行计算.
B 卷
一、
1.解:(1)(2+1)(22+1)(24+1)…(22n +1)+1 =(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)…(22n +1)+1 =(22-1)(22+1)(24+1)…(22n +1)+1 =(24-1)(24+1)…(22n +1)+1=… =[(22n )2-1]+1=24n -1+1=24n ; (2)(3+1)(3+1)(3+1)…(3
2
4
2008
+1)-
3
4016
2
=
1212
(3-1)(3+1)(3+1)(3+1)…(3
242008
+1)-
3
4016
2
=(3-1)(3+1)·(3+1)…(3
2242008
+1)-
3
4016
2
=…=
1212
(3-1)(3+1)…(3
442008
+1)-
3
4016
23
4016
=…=(3
4016
-1)-
3
4016
2
=
3
4016
2
-
12
-
2
=-
12
.
2.解:2009×2007-20082=(2008+1)×(2008-1)-20082=20082-1-20082=-1.
(1)
2007
2007-2008⨯2006
2007
2007-(2007-1)
2007
2
2
2
2
=
2007
2007-(2007+1) ⨯(2007-1)
2
==2007.
(2)
2008⨯2006+1
=
2007
2
(2007+1) ⨯(2007-1) +1
=
2007
2
2
2007-1+1
=
20072007
22
=1.
点拨:把式子中乘积部分的运算通过变形转化为平方差公式的结构形式,然后运用
平方差公式化繁为简. 二、
3.解:x (x+2)+(2x+1)(2x -1)=5(x 2+3),x 2+2x+4x2-1=5x2+15,x 2+4x2-5x 2+2x=15+1,2x=16,x=8. 三、
4.解:(2a+3)(2a -3)=(2a )2-32=4a2-9(平方米). 答:改造后的长方形草坪的面积是(4a 2-9)平方米. 四、
5.D 点拨:A 选项a 3+a3=2a3;B 选项(-a )3·(-a )5=a8; C 选项(-2a 2b )·4a=-8a 3b ;D 选项正确,故选D . 6.a 2-1
C 卷
1.(1)1-x n+1 (2)①-63;②2n+1-2;③x 100-1 (3)①a 2-b 2 ②a 3-b 3 ③a 4-b 4
点拨:(1),(3)题根据观察到的规律正确填写即可; (2)题①中利用观察到的规律可知,原式=1-26=1-64=-63; ②中原式=2(1+2+22+…+2n 1)=-2(1-2)(1+2+22+…+2n 1)
-
-
=-2(1-2n )=-2+2·2n =2n+1-2;
③中原式=-(1-x )(1+x+x2+…+x97+x98+x99)=-(1-x 100)=x100-1. 2.解:(m+2n)(m -2n )=m2-4n 2.
点拨:本题答案不唯一,只要符合要求即可.
3. 解:题图1中的阴影部分(四个等腰梯形)的面积为a 2-b 2,题图2•中的阴影部分(平行四边形)的底为(a+b),这个底上的高为(a -b ),故它的面积为(a+b)(a -b ),•由此可验证:(a+b)(a -b )=a2-b 2.
图1 图2