2014最新解直角三角形的典型例题

一、一周知识概述

1、仰角、俯角

仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图所示．

说明：仰角、俯角一定是水平线与视线的夹角，即从观察点引出的水平线与视线所夹的锐角．

2、坡角和坡度

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示．

坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度，用字母i

表示．则

．如图所示

说明：(1)坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡．

(2)在解决实际问题时，遇到坡度、坡角的问题，常构造如图所示的直角三角形．

3、象限角

象限角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫象限角，如图中的目标方向线OA、OB、OC、OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，北偏西60°，南偏西80°，如：东南方向，指的是南偏东45°角的方向上．如图所示．

二、重点难点疑点突破

1、怎样运用解直角三角形的方法解决实际问题

在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用．我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了． 一般有以下三个步骤：

(1)审题，通过图形(题目没画出图形的，可自己画出示意图)，弄清已知和未知；

(2)找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题；

(3)根据直角三角形元素(边、角)之间关系解有关的直角三角形．

其中，找出有关的直角三角形是关键，具体方法是：

(1)将实际问题转化为直角三角形中的数学问题；

(2)作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．

2、在学习中应注意两个转化

(1)把实际问题转化成数学问题

这个转化分两个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的平面或截面示意图，并赋予字母；二是将已知条件转化成示意图中的边或角．

(2)把数学问题转化成解直角三角形问题．

如果示意图形不是直角三角形，可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为解直角三角形问题，把可解的直角三角形纳入基本类型，确定合适的边角关系，细心推理，按要求精确度作近似计算，最后写出答案并注明单位．

三、典型例题讲解

1、测量河宽

例1、(潍坊课改)如图，河边有一条笔直的公路l，公路两侧是平坦的草地．在数学活动课上，老师要求测量河对岸B点到公路的距离，请你设计一个测量方案．要求：

(1)列出你测量所使用的测量工具；

(2)画出测量的示意图，写出测量的步骤；

(3)用字母表示测得的数据，求出B点到公路的距离．

分析：

这是一个实际问题，要求B到CD的距离，可转化为直角三角形，然后在两个直角三角形中，可分别用含有AB的式子表示AC和AD，而AC＋AD=m，可运用解方程的方法求出AB即可．

解：

(1)测角器、尺子；

(2)测量示意图如下图所示；

测量步骤：

①在公路上取两点C，D，使∠BCD，∠BDC为锐角；

②用测角器测出∠BCD=α，∠BDC=β；

③用尺子测得CD的长，记为m米；

④计算求值．

(3)解：设B到CD的距离为x米，作BA⊥CD于点A，在△CAB中，x=CAtanα，

点评：

运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力(即将实际问题转化为数学问题)．

2、仰角、俯角问题

例2、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况.在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB.在地面上事先划定以B为圆心、半径与AB等长的圆形危险区.现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B的俯角为30°（如图）.问距离B点8米远的保护物是否在危险区内？

分析：

解决测量问题要明确仰角、俯角、视角、坡度、坡角等名词术语.

要考查距离B点8米远的保护物是否在危险区内，关键的一点是要测算树AB的高度.

解：

过点C作CE⊥AB，垂足为E.

在Rt△CBE中，

在Rt△CAE中，

故AB=AE＋BE=≈4×1.73=6.92（米）＜8（米）.

因此可判断该保护物不在危险区内.

3、坡角、坡度(坡比)

例3、如图，一水坝横断面为等腰梯形ABCD，斜坡AB的坡度为

平宽度为，坡面AB的水上底宽AD为4m，求坡角B，坝高AE和坝底宽BC各是多少？

分析：

首先将实际问题转化为数学问题，如图所示，实际上已知

求∠B、AE、BC．此题实质转化为解直角三角

形的问题．

点评：

(1)解应用题时，解题过程中可以不写各数量的单位，但最后作答时务必写清单位名称．

(2)应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形，梯形也是通过作底边的高线来构造直角三角形．

(3)本题主要应用坡度是坡角的正切函数而求出坡角，运用坡度的概念求出梯形高，运用等腰梯形性质求出底边．

4、象限角

例4、如图，一轮船自西向东航行，在A处测得某岛C，在北偏东60°的方向上，船前进8海里后到达B，再测C岛，在北偏东30°的方向上，问船再前进多少海里与C岛最近？最近距离是多少？

分析：

将实际问题转化为数学问题，并构造出与实际问题有关的直角三角形，如图所示．船沿AB方向继续前进至D处与C岛最近，此问题实质就是已知∠CAB=90°－60°=30°，∠ABC=90°＋30°=120°，AB=8海里，求BD和CD的解直角三角形问题．

解：

根据题设可知△ABC中，∠CAB=30°，∠ABC=120°，∴∠

ACB=180°-30°-120°=30°,AB=BC=8，作CD⊥AB于D．

∴最近距离即为C到AB所在直线的垂线段CD的长度．

在Rt△CBD中，BC=8，∠CBD=60°，

点评：根据题意准确画出示意图是解这类题的前提和保障．

5、开放探究题

例5、(荆州市)某海滨浴场的沿岸可以看作直线，如图，1号救生员在岸边A点看到海中的B点有人求救，便立即向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中游到B点救助；若每位救生员在岸上跑步的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒，∠BAD=45°．

(1)请问1号救生员的做法是否合理？

(2)若2号救生员从A跑到C，再跳入海中游到B点救助，且∠BCD=65°，请问谁先到达点B？(所有数据精确到0.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，)

分析：

(1)比较1号救生员从点A直接游到点B所用时间与从点A跑到点D再游到点B的时间即可作出判断．

(2)分别计算出1号救生员、2号救生员所用时间，再作判断．

点评：

掌握探究题的探究方法非常重要，本题中救生员赶到点B的时间是我们探究的核心问题，如何准确求出救生员赶到点B所用时间是解决本题的关键．