校本课程教材

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第一课时 趣味数学（1）

一、数字陷阱

有三个人同去餐厅吃饭，每人各出十元钱，餐厅找回五元钱，让服务员转交给这三个人。服务员有点贪小便宜，他一想，三个人分五元钱，怎么也不能做到平均分，于是就自己拿出二元，剩下的三元钱正好退给每人一元。

每人事先出了10元钱，共计30元。后又每人找回1元，相当于每人各出了9元钱，计27元，加上服务员拿走的2元，计29元。

思考：那剩下的一元钱哪里去了？

二、生活中的数学

小卫到文具店买文具，他买了毛笔用去了所有钱的一半，买铅笔用去了剩下钱的一半，最后剩下8元钱，问小卫原有多少钱？

苹果做加法，把一个加数错写成12算出结果是48，问正确的结果是多少？ 小明做减法，把减数30写成了20，这样算出的得数比正确的数多（），如果小明算出的结果是10，正确结果是（）。

三、角谷游戏

1、数字黑洞——1

任取一个正整数，如果它是偶数，就除以2，如果它是奇数，就用它乘3再加1。将所得到的结果不断地重复上述运算，最后的结果总是1。

如：正整数7。

2、数字黑洞——123

任取一个正整数，将组成这个数的偶数的数字个数，奇数的数字个数和这个数的数字位数依次写下来，组成一个新的数，重复上述步骤，你会发现，最后的结果始终是123。

如：正整数518054。

四、折纸中的学问

一张薄纸，不断对折，折30次后，纸叠得有多厚？你能想到吗?

故事：在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨•班•达依尔。国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2

粒，第3小格给4粒，以后

每一小格都比前一小格加一倍。请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧!”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒。当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求。

那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢? 总数为：

1+2+4+8+„+263=264-1

第 第 第 第 第

一 二 三 四 „„64

格 格 格 格 格

=[***********]15(粒)

人们估计，全世界两千年也难以生产这么多麦子？

五、神奇的数字

有一根很长很长的绳子，恰好可以绕地球赤道一周，如果把绳子再接长15米后，绳子就会绕着地球一周悬在空中。

你能想像出：在赤道的任何一个地方，一个身高2米39以下的人, 都可以从绳子下面自由穿过。

设地球半径为R 米，则绳子的原长为2πR ，

当绳子长为2πR+15时，绳子所围半径为

（2πR+15）÷2π=R+2.39

绳子可围成一个与地球，

相距2.39米的大圆圈。

第二课时 趣味数学（2）

一、七桥问题

18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，

那里有七座桥。如图1所示：河中的小岛A 与河的

左岸B 、右岸C 各有两座桥相连结，河中两支流间

的陆地D 与A 、B 、C 各有一座桥相连结。当时哥尼

斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次

走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？

大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个

问题。

七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关注。

他把具体七桥布局化归为图所示的简单图形，于是，

七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A 、B 、

C 、D 中的某一点出发，一笔画出这个简单图形

（即笔不离开纸，而且a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 各条线

只画一次不准重复），并且最后返回起点？

欧拉经过研究得出的结论是：图是不能一笔画出的图形。这就是说，七桥问题是无解的。这个结论是如何产生呢？

如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。如果画笔经过一个n 次，那么就有2n 条线与该点相连结。因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。

如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。

综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。

图2中的A 点与5条线相连结，B 、C 、D 各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。

欧拉定理 ：如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。

练习：你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？试试看。（不走重复线路）

图例1

图例2

图例3

图例4

二、四色问题

人人都熟悉地图，可是绘制一张普通的政区图，至少需要几种颜色，才能把相邻的政区或区域通过不同的颜色区分开来，就未必是一个简单的问题了。

这个地图着色问题，是一个著名的数学难题。大家不妨用一张中国政区图来试一试，无论从哪里开始着色，至少都要用上四种颜色，才能把所有省份都区别开来。所以，很早的时候就有数学家猜想：“任何地图的着色，只需四种颜色就足够了。”这就是“四色问题”这个名称的由来。

四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。

四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能

使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，

即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可

以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻

的两个区域得到相同的数字。”（右图）

这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

数学史上正式提出“四色问题”的时间是在1852年。当时伦敦的大学的一名学生法朗西斯向他的老师、著名数学家、伦敦大学数学教授莫根提出了这个问题，可是莫根无法解答，求助于其它数学家，也没有得到答案。于是从那时起，这个问题便成为数学界的一个“悬案”。

一直到二十年前的1976年9月，《美国数学会通告》正式宣布了一件震撼全球数学界的消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了“四色问题”这个猜想是完全正确的！他们将普通地图的四色问题转化为2000个特殊图的四色问题，然后在电子计算机上计算了足足1200个小时，作了100亿判断，最后成功地证明了四色问题, 轰动了世界。

这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳，以庆祝这一难题获得解决。

第三课时 数学中的巧算（1）

1．括号的使用

在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．

例1 计算：

分析 中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．

注意 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．

例2 计算下式的值：

211×555+445×789+555×789+211×445．

分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．

解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)

=211×(555+445)+(445+555)×789

=211×1000+1000×789

=1000×(211+789)

=1 000 000．

说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．

例3 计算：S=1-2+3-4+„+(-1)n+1·n ．

分析 不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，„，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．

解 S=(1-2)+(3-4)+„+(-1)n+1·n ．

下面需对n 的奇偶性进行讨论：

当n 为偶数时，上式是n ／2个(-1)的和，所以有

当n 为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有

例4 在数1，2，3，„，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？

分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，„，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，„，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．

现考虑在自然数n ，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然

n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．

这启发我们将1，2，3，„，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即

(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+„+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．

所以，所求最小非负数是1．

说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．

2．用字母表示数

我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：

(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4

=1002-22．

这是一个对具体数的运算，若用字母a 代换100，用字母b 代换2，上述运算过程变为

(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b 2．

于是我们得到了一个重要的计算公式

(a+b)(a-b)=a2-b 2， ①

这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．

例5 计算 3001×2999的值．

解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)

=30002-12=8 999 999．

例6 计算 103×97×10 009的值．

解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)

=(1002-9)(1002+9)

=1004-92=99 999 919．

例7 计算：

分析与解 直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n 2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得

n 2-(n2-12)=n2-n 2+1=1，

即原式分母的值是1，所以原式=24 690．

例8 计算：

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．

分析 式子中2，22，24，„每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b 2了．

解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)

=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=„„

=(232-1)(232+1)

=264-1．

例9 计算：

分析 在前面的例题中，应用过公式

(a+b)(a-b)=a2-b 2．

这个公式也可以反着使用，即

a 2-b 2=(a+b)(a-b)．

本题就是一个例子．

通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．

第四课时 数学中的巧算（2）

3．观察算式找规律

例11 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．

87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．

分析与解 若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为 90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3) +2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1) +2+5+(-2) =1800-1=1799，

平均分为 90+(-1)÷20=89.95．

例12 计算1+3+5+7+„+1997+1999的值．

分析 观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．

解 用字母S 表示所求算式，即

S=1+3+5+„+1997+1999． ①

再将S 各项倒过来写为

S=1999+1997+1995+„+3+1． ②

将①，②两式左右分别相加，得

2S=(1+1999)+(3+1997)+„+(1997+3)+(1999+1) =2000+2000+„+2000+2000(500个2000) =2000×500． 从而有 S=500 000．

说明 一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=„=1999-1997，都等于2) ，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决． 例13 计算 1+5+52+53+„+599+5100的值．

分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解 设

S=1+5+52+„+599+5100， ①

所以

5S=5+52+53+„+5100+5101． ②

②—①得

4S=5101-1，

说明 如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5) ，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决． 例14 计算：

分析 一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式

来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法． 解 由于

所以

说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．

1．计算下列各式的值：

(1)-1+3-5+7-9+11-„-1997+1999； (2)11+12-13-14+15+16-17-18+„+99+100； (3)1991×1999-1990×2000；

(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；

(6)1+4+7+„+244；

2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分． 81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．