4-4线性方程组解的结构
练习1 设有四组向量
1, 2, 3; 1, 2, 3, 4; 1, 2, 3, 5; V 1, 2, 3, 4 +5; 且r r 3,r 4, 则 r V C . A 2 B 3 C 4 D 5
练习2 设向量组 1 , 2 , , s 的秩为r,则( D ). (A)必定有r
小结: 1.向量空间的概念: 向量的集合对加法及数乘两种运算封闭; 子空间的概念. 2.由向量组生成的向量空间. 3.向量空间的基和维数: 4.基变换和坐标变换:
第四章
向量空间
第四节
线性方程组解的结构
齐次方程组解的结构 非齐次方程组解的结构
一、齐次线性方程组解的结构
齐次线性方程组Ax = 0的解也称为方程组的解向量. 若Am×nx = 0有非零解,则其全体解的集合V R n .
1 , 2 V及 k R A(1 2 ) A1 A 2 0, A ( k 1 ) kA 1 0 1 2 V ,k1 V
即V对线性运算封闭,故V构成一向量空间. 称此向量空间为齐次线性方程组 Ax= 0 的解空间 (或零空间或核).一般记作N(A).
Ax = 0有非零解 r(A)
问题: 如何理解通解形式不唯一,但含参数个数确定?
Ax = 0的解空间N(A)的基称为Ax = 0的基础解系
而dim N(A) = n -r (A). 所以 Ax = 0的解空间N(A)为基础解系的生成空间,即
Ax= 0 的每一个解向量皆可表为基础解系的线性组合.
若设 1 , 2 , , n r A为Ax = 0的基础解系,则Ax = 0
x t 1 1 t 2 2 t n r ( A ) n r ( A ) 的通解为: 其中t1 , t 2 , , t n r ( A )为任意常数.
解空间:
N A x t11 +t 2 2 t nr A nr A t1 , t 2 , , t nr A R
span 1 , 2 , , n r A
说明 (1)由于向量空间的基不唯一,故Ax = 0的基础解 系不唯一,所以Ax = 0的通解形式不唯一. (2)由于向量空间的维数即每组基所含向量个数固 定,所以Ax = 0的基础解系所含向量个数确定,即 为通解中所含任意常数个数,dim N(A) = n -r (A). 特别当r (A) = n 时, Ax = 0只有零解,故没有 基础解系, dim N(A) = 0.
x1 x2 x3 x4 0 【例1】 求齐次线性方程组 2 x1 5 x2 3 x3 2 x4 0 7 x 7 x 3 x x 0 的基础解系与通解. 2 3 4 1
【解】对系数矩阵A作行初等变换,变为行最简矩 阵,有 1 1 1 1 1 0 2 / 7 3 / 7
A 2
5 3 2 ~ 0 1 5 / 7 4 / 7 7 7 3 1 0 0 0 0 2/ 7 3/ 7 2 3 x1 x3 x4 5 / 7 4 / 7 7 7 c , x c 得通解 即 1 2 1 0 x 5 x 4 x 2 3 4 0 1 7 7 2/ 7 3/ 7 c1 , c2 R 5/ 7 4/ 7 其中1 是基础解系. , 2 1 0 0 1
x3 1 或令 及 x4 0
0 对应有 x1 2 / 7 及 3 / 7 , , 1 x2 5 / 7 4 / 7 T T 2 5 3 4 , , 1 , 0 , , ,0 , 1 即得基础解系 1 。 2 7 7 7 7 x3 7 7 x1 5 8 若令 及 , 对应有 及 , x2 9 13 x4 7 14
得基础解系 通解为
1 (5,,, 9 7 7)T , 2 (8, 13,, 7 14)T .
x c 1 1 c 2 2 t 1 1 t 2 2
c1 , c 2 , t1 , t 2 R
N A span 1, 2 span 1, 2
【例2】设A为n阶方阵, An = 0,但An-1 ≠ 0,且 A n 1 0.试证:A , A 2 , , A n 1 为n维列向量, 为方程组An-1 x = 0的一个基础解系. 【分析】:须证明三点 (1) A i ( i 1, 2, , n 1)是An-1 x = 0的解; (2) A , A 2 , , A n 1 线性无关; (3) n -r (An-1 ) = n-1 ,即r (An-1 ) = 1. 【证明】: (1)显然 An1 ( Ai ) 0, i 1, 2, , n 1.
(2)设 t 1 A t 2 A 2 t n 1 A n 1 0(*)
n-2得 t A n 1 0 两边左乘 A A 0 1
n
An1 0
t1 0
(*)式即为
t 2 A t 3 A t n 1 A 0
2 3 n 1
两边左乘An-3
t 2 An1 0 t 2 0
依次类推可得: t 3 t4 t n1 0
A , A 2 , , A n 1 线性无关
(3) An1 0 r ( An1 ) 1 又 A , A 2 , , A n 1是An-1 x = 0的n-1个线性无关的解.
dim N ( An1 ) n r ( An1 ) n 1 r ( A n 1 ) 1 r ( An 1 ) 1
二、非齐次线性方程组解的结构
1. 若x 1 和 x 2 都是Ax = b的解,则x 1 2 是对应的齐次方程组Ax = 0的解. 2. 若 x 是Ax = b的解,x 是Ax = 0的解,则 x 是非齐次方程组Ax = b的解. 3.非齐次线性方程组Ax = b的通解为
x * xh
* 其中 x h 为对应齐次线性方程组Ax = 0的通解,
为非齐次线性方程组Ax = b的任意一个特解. 注意: Ax = b的解集
不构成向量空间。
4. 与方程组Ax = b有解等价的命题 设 A (1, 2, , n ) ,则 线性方程组Ax = b有解
~ 矩阵 A ( 1 , 2 , , n ) 与 A ( 1 , 2 , , n , b) 等秩
向量b能由向量组1 , 2 , , n线性表示 向量组 1 , 2 , , n与向量组 1 , 2 , , n , b等价
【例4】设A为m×3矩阵,且r (A) = 1,如果非齐次 线性方程组Ax = b的三个解向量 1 , 2 , 3 满足
1 1 2 2 , 3 0 1 2 3 1 , 3 1 0 1 1
求Ax = b的通解. 【分析】 r (A) = 1, n -r (A) = 3- 1 = 2. Ax = b的通解 x * xh Ax = 0的基础解系含两个向量 1, 2
x h t 1 1 t 2 2
t1 , t 2 R
【例5】已知三阶方阵 A ( 1 , 2 , 3 ) 满足 1, 2 线性无关,且 1 2 2 3 ,向量 b 1 2 2 3 3 . 求:(1) Ax 0 的通解;(2) Ax b 的通解.
1 即 1 为 Ax 0的解 , 2 1 Ax 0 的通解为 x t 1 , t R . 2 1 (2)由 b 1 2 2 3 3 ,知 2 为Ax b的一个特解 3 1 1 Ax b 的通解为 x 1 t 2 , t R. 2 3
1 1 2 2 3 ( 1 , 2 , 3 ) 1 0 2
【解】(1) r ( A) 2
第四章
向量空间
第五节
向量的内积
内积的概念 正交向量组的概念及求法
一、内积的概念
定义1
设有n维向量 x
x1 y1 x2 y , y 2 xn yn
向量 x 与 y 的内积定义为:
x , y x T y x 1 y1 x 2 y 2 x n y n
注意: n n 4 维向量的内积是3维向量数量积 的推广,但是没有3维向量直观的几何意义. 内积的运算性质:(其中x, y, z为n维向量,为实数 )
(1) x , y y , x y T x; (2) x , y x , y ;
(3) x y , z x , z y , z ; (4) x , x 0,而 x , x 0 x 0.
定义2
记 x x, x
x1 2 x 2 2 x n 2
称|| x ||为n维向量x的长度(或范数) . 当|| x || = 1,称x为单位向量; 1 x x 称为x的单位化(或规范化)向量. x 向量的长度具有下述性质: 1. 非负性:当x ≠ 0时, || x || > 0;当x = 0时, || x || = 0. 2. 齐次性: x
x
3. 三角不等式: x y x y
二、正交向量组的概念及求法
1. 正交的概念
当<x , y>= 0
时,称向量x与y正交(或垂直) 由定义知零向量与任何向量都正交.
2. 正交向量组的概念
若一向量组中的向量两两正交,则称该向量 组为正交向量组. 即若向量组 1 , 2 , , m是正交向量组,则必有
i T j 0
i
j
3. 正交向量组的性质
定理1 若n维向量 1 , 2 , , r是一组两两正交 的非零向量,则 1 , 2 , , r线性无关. 证明:设有 1 , 2 , , r 使
1 1 2 2 r r 0
以 1T左乘上式两端,得
1 1 T 1 0
1 0 1 1 T 1 0 1 0
同理可得: 2 r 0 故 1 , 2 , , r 线性无关.
由定理1得: Rn中n个两两正交的非零向量必构 成Rn的一组基,称为Rn的正交基. 一般地,称向量空间的两两正交的基为正交基. 若正交基中每个向量又都是单位向量,则称其为 规范(或标准)正交基.
1 0 0 0 1 0 e1 , e2 , , en 0 0 1
即为Rn的一组规范正交基,我们称其为自然基.
又如,4 维向量组
1 1 0 0 2 2 0 0 1 1 1 1 1 , 2 ,3 ,4 . 2 2 2 2 0 0 1 1 0 0 2 2 i , j 0 i j且i , j 1, 2, 3, 4 由于 i j且i , j 1, 2, 3, 4 i , j 1
所以1 , 2 , 3 , 4是R 的一组规范正交基.
4