完全平方数1

1、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。

2、求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方。

3、证明，（5n+1）不是平方数（n 为自然数）。

什么是完全平方数？

一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例 如：

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,„ 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：

性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

证明 奇数必为下列五种形式之一：

10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9

分别平方后，得

(10a+1)^2=100a^2+20a+1=20a(5a+1)+1

(10a+3)^2=100a^2+60a+9=20a(5a+3)+9

(10a+5)^2=100a^2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5

(10a+7)^2=100a^2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9

(10a+9)^2=100a^2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1

综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。

性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

证明 已知m^2=10k+6，证明k 为奇数。因为的个位数为6，所以m 的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。

则 10k+6=(10n+4)^2=100+(8n+1)x10+6

或 10k+6=(10n+6)^2=100+(12n+3)x10+6

即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1

或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3

∴ k为奇数。

推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。 推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1 (2k)=4

性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n 或8n+4型。

在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n 型或8n+4型的数。

性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。

因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1, 3m+2。平方后，分别得

(3m)=9=3k

(3m+1)=9+6m+1=3k+1

(3m+2)=9+12m+4=3k+1

同理可以得到：

性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k 型。

性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。

除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的 各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加， 如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题： 一个数的数字和等于这个数被9除的余数。

下面以四位数为例来说明这个命题。

设四位数为，则

= 1000a+100b+10c+d

= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)

= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)

显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。

对於n 位数，也可以仿此法予以证明。

关於完全平方数的数字和有下面的性质：

性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。

证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种

形式，而

(9k)=9(9)+0

(9k±1)=9(9±2k)+1

(9k±2)=9(9±4k)+4

(9k±3)=9(9±6k)+9

(9k±4)=9(9±8k+1)+7

除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：

性质10：为完全平方数的充要条件是b 为完全平方数。

性质11：如果质数p 能整除a ，但p 的平方不能整除a ，则a 不是完全平方数。

证明 由题设可知，a 有质因数p ，但无因数，可知a 分解成标准式时，p 的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a 不是完全平方数。

性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若 n^2

性质13：一个正整数n 是完全平方数的充分必要条件是n 有奇数个因数(包括1和n 本身) 。

完全平方数的数论问题例题讲解

1

一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例 如：

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,„ 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：

性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

证明 奇数必为下列五种形式之一：

10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9

分别平方后，得

(10a+1)^2=100a^2+20a+1=20a(5a+1)+1

(10a+3)^2=100a^2+60a+9=20a(5a+3)+9

(10a+5)^2=100a^2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5

(10a+7)^2=100a^2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9

(10a+9)^2=100a^2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1

综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。

性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

证明 已知m^2=10k+6，证明k 为奇数。因为的个位数为6，所以m 的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。

则 10k+6=(10n+4)^2=100+(8n+1)x10+6

或 10k+6=(10n+6)^2=100+(12n+3)x10+6

即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1

或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3

∴ k为奇数。

推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。 推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1 (2k)=4

性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n 或8n+4型。

在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n 型或8n+4型的数。

性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。

因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1, 3m+2。平方后，分别得

(3m)=9=3k

(3m+1)=9+6m+1=3k+1

(3m+2)=9+12m+4=3k+1

同理可以得到：

性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k 型。

性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。

除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的 各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加， 如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题： 一个数的数字和等于这个数被9除的余数。

下面以四位数为例来说明这个命题。

设四位数为，则

= 1000a+100b+10c+d

= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)

= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)

显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。

对於n 位数，也可以仿此法予以证明。

关於完全平方数的数字和有下面的性质：

性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。

证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式，而

(9k)=9(9)+0

(9k±1)=9(9±2k)+1

(9k±2)=9(9±4k)+4

(9k±3)=9(9±6k)+9

(9k±4)=9(9±8k+1)+7

除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：

性质10：为完全平方数的充要条件是b 为完全平方数。

性质11：如果质数p 能整除a ，但p 的平方不能整除a ，则a 不是完全平方数。

证明 由题设可知，a 有质因数p ，但无因数，可知a 分解成标准式时，p 的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a 不是完全平方数。

性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若 n^2

性质13：一个正整数n 是完全平方数的充分必要条件是n 有奇数个因数(包括1和n 本身) 。

数论之完全平方数练习17

证明3（5n+1）不是平方数（n 为自然数）。

证明：现在，假设n 为奇数：不管n 为哪个奇数，5n 的末位数一定是5。这样，式子变成了3×（5+1），等于18，末位是8。可是根据这一条完全平方数的性质，就能判别正误了。

请看这边：完全平方数的末位数字只能是0、1、4、5、6、9这6个数中的某一个。显然不对。看看偶数会怎么样。

如果n 为偶数，这样5n 末位一定为0。式子现在又变成了：3×（0+1），等于3。还是看上面完全平方数的定律，答案也是错。现在已经证明出来了。 这一道题告诉我，当我遇到像这种证明题，看看用分类证明的方法是不是最好。其实，这题目也不是很难，关键在于我们是否能从数的末位去巧做完全平方数的题！

数论之完全平方数练习16

1. 一个自然数如果加上60, 则为一完全平方数, 如果加上43, 则为另一完全平方数, 求这个自然数.

2. 求一个能被180整除的最小完全平方数.

3. 一个两位数与它的反序数(个位数字与十位数字交换) 的和是一个完全平方数, 求这样的两位数.

4. 求一个四位数, 使它前两位数字相同, 后两位数字也相同, 且这个四位数是完全平方数.

5. 正整数的平方按大小排成1 4 9 16 25 36 49 „,那么第85 个位置上的数字是几

6. 已知a 是正整数, 且a2+2004a是一个正整数的平方, 求a 的最大值. 数论之完全平方数练习15

1、自然数从小到大排列0,1,2,3,„,其中一个自然数是n 的完全平方, 则它前面的一个完全平方数是( )

(A)n-1 (B)n2-1 (C)n2-2n+1 (D)n2+2n+1

2、下列四个数中, 只有一个是完全平方数, 它是( )

(A)513231 (B)121826 (C)122530 (D)625681

3、2,9,8,0四个数中, 完全平方数, 偶数, 合数, 质数的个数依次是( )

(A)2,3,2,1 (B)1,2,3,1 (C)2,3,1,2 (D)1,3,2,1

数论之完全平方数练习14

1、（03ABC ）快乐小学为庆祝“六一”儿童节排练学生团体操，团体操要求全体参加排练的学生恰好能排成一个正方形队列，也能变成一个三角形队列。参加排练的学生至少要有（ ）人。

2、（04浙江五决）某人今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，组成四位数与六位数的10个数字正好是0到9这10个数字。此人今年（ ）岁。

3、（04“陈省升”杯）一个整数若能表示为两个整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=5—3，16就是一个“智慧数”。那么，从1开始的自然数列中，第2003个“智慧数”是（ ）。

4、（04南京冬令营）将1，2，3，„„n（n 为大于4的整数）这n 个数分成两组，使每组中任意两数之和都不是完全平方数，整数n 可以取得的最大值是（ ），并给出一种分组方法。

数论之完全平方数练习13

1、（03甘肃冬令营）祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是（ ）岁。

2、（2000浙江五决）小明妈妈买了4张体育彩票，第一张的末三位是125；第二张的末位是4，倒数第四位是5；第三张的末位是1，倒数第四 位是7；第四张的末三位是280。妈妈说这中间有一张是中奖的，中奖号码是一个四位数，就是彩票中的最后四位与它相同便是中奖彩票，且这个四位数正好是个 平方数。小明确定中奖号码为（ ）。

3、将16分解成若干个质数（可以相同）相加的形式，如果这些质数的乘积正好是平方数，那么这个平方数所有可能的值的和是（ ）。

4、（03浙江夏令营）11„„11×11„„11的各位数字之和是（ ）。

5、（01六预）一位一百多岁的老寿星，公元x 年时年龄为x 岁，则此老寿星现年（ ）岁。

数论之完全平方数练习12

1、（04南京冬令营）一个数与2940的积是完全平方数，那么这个数最小是（ ）。

2、已知1×2×3ׄ„×n+3是一个自然数的平方，n=( ) 。

3、（02河北香河）有两个两位数，它们的差是56，它们的平方数末两位数字相同，这两个两位数分别是（ ）。

4、（97六预）一个四位数的数码都是由非零的偶数码构成，它又恰好是某个偶数码组成的数的平方，则这个四位数是（ ）。

5、（02甘肃冬令营）有一个自然数，它与168的和恰好等于某个数的平方；它与100的和恰好等于另一个数的平方，这个数是（ ）。

数论之完全平方数练习11

1、（02六决）1+2+3+„„+2001+2002除以4的余数是（ ）。

2、在1到2007之间的自然数中，恰有奇数个约数的数的总和是（ ）。

3、（01福州“迎春杯”）将自然数的平方数从小到大依次排列成一串有序数列：[1**********]64„„第11位上的数字是9，第88位上的数字是（ ）。

4、（03江苏吴江）一个四位数是平方数，它的前两位数字相同，后两位数字也相同，这个四位数是（ ）。

5、（02ABC ）甲、乙两同学按先后顺序把多米诺骨牌，要求摆成一个正方形。由于每人手中一次只能拿10块，故每次每人摆10块。现已知最后一次甲摆了10块，而乙摆了不足10块。如果他们一共要摆3000多块，那么他们摆的准确数是（ ）块。

数论之完全平方数练习10

1、（2000六预）1—2+3—4+5—6+„„—100+101

2、（04六决）1.2345+0.7655+2.469×0.7655

3、135792468÷（135792468—135792467×135792469）

4、（04六决）自然数N 是一个两位数，它是一个完全平方数，且N 的个位数字与十位数字都是完全平方数，这样的自然数有（ ）个。

5、（03江苏吴江）一个三位数abc 是个完全平方数，它的前两位数ab 也是完全平方数，个位c 也是完全平方数，符合条件的全部三位数的和是（ ）。 数论之完全平方数练习9

1, 求证:五个连续整数的平方和不是完全平方数.

2,m 取什么实数时,(m-1)x2+2mx+3m-2 是完全平方式

3, 已知: (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式. 求证: a=b=c.

4. 已知方程x2-5x+k=0有两个整数解, 求k 的非负整数解.

数论之完全平方数练习8

1、已知四位数是平方数, 试求a, b.

2、已知:n是自然数且n>1. 求证:2n-1不是完全平方数.

3、已知:整系数的多项式4x4+ax3+13x2+bx+1 是完全平方数, 求整数a 和b 的值.

4、已知:a, b是自然数且互质, 试求方程x2-abx+(a+b)=0的自然数解. 数论之完全平方数练习7

1、m 取什么值时, 代数式x2-2m(x-4)-15是完全平方式

2、m 取什么正整数时, 方程x2-7x+m=0的两个根都是整数

3、a, b, c满足什么条件时, 代数式(c-b)x2+2(b-a)x+a-b是一个完全平方式

4、判断下列计算的结果, 是不是一个完全平方数:

四个连续整数的积; ②两个奇数的平方和.

数论之完全平方数练习6

1、如果m 是整数, 那么m2+1的个位数可能是____.

2、如果n 是奇数, 那么n2-1除以4余数是__,n2+2除以8余数是___,3n2除以4的余数是__.

3、如果k 不是3的倍数, 那么k2-1 除以3余数是_____.

数论之完全平方数练习5

1、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。

解：设此自然数为x ，依题意可得

x-45=m^2................(1)

x+44=n^2................(2)(m,n为自然数)

(2)-(1)可得 n^2-m^2=89, (n+m)(n-m)=89

但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。

2、求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方。

分析：设四个连续的整数为n,(n+1),(n+2),(n+3)，其中n 为整数。欲证 n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。

证明：设这四个整数之积加上1为m ，则

m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2

而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m 是一个奇数的平方。

数论之完全平方数练习4

1、矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分) ，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题) 。

2、求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的。

3、求自然数n ，使的值是由数字0,2,3,4,4,7,8,8,9组成。

4、(1986年第27届IMO 试题)

5、设正整数d 不等于2,5,13，求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a , b，使得ab -1不是完全平方数。

6、求k 的最大值

数论之完全平方数练习4答案

部分习题答案：

1、矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分) ，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题) 。

解：设矩形的边长为x,y ，则四位数

∵N是完全平方数，11为质数 ∴x+y能被11整除。

又 ,得x+y=11。

∴∴9x+1是一个完全平方数，而，验算知x=7满足条件。又由x+y=11得。

2、求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的。

解：设符合题意的四位数为，则，∴为五位数，为三位数，∴。经计算得，其中符合题意的只有2401一个。

3、求自然数n ，使的值是由数字0,2,3,4,4,7,8,8,9组成。

解：显然，。为了便于估计，我们把的变化范围放大到，於是，即。∵，∴。 另一方面，因已知九个数码之和是3的倍数，故及n 都是3的倍数。这样，n 只有24,27,30三种可能。但30结尾有六个0，故30不合要求。经计算得 故所求的自然数n = 27。

数论之完全平方数练习2

1、已知数x= 50，则（ ）。

A 、x 是完全平方数 B、（x-50）是完全平方数

C 、（x-25）是完全平方数 D、（x+50）是完全平方数

2、在十进制中，各位数字全由奇数组成的完全平方数共有（ ）个。

A 、0 B、2 C、超过2，但有限

3、试证数列49,4489,444889, 的每一项都是完全平方数。

4、用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？

5、试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题) 。

数论之完全平方数练习2答案

3、试证数列49,4489,444889, 的每一项都是完全平方数。

证明

=

=++1

=4+8+1

=4()(9+1)+8+1

=36 ()+12+1

=(6+1)

即为完全平方数。

4、用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？ 解：设由300个2和若干个0组成的数为A ，则其数字和为600

3｜600 ∴3｜A

此数有3的因数，故9｜A 。但9｜600，∴矛盾。故不可能有完全平方数。

5、试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题) 。

解：设此数为

此数为完全平方，则必须是11的倍数。因此11｜a + b ，而a,b 为0,1,2,9，故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8组可能。

直接验算，可知此数为7744=88。

数论之完全平方数练习1

完全平方数的数论问题例题讲解2

完全平方数的数论问题例题讲解1