非线性曲线拟合的实证分析
２００８年第９期ｆ总第１０９期）
大众科技
ＤＡＺＨＯＮＧＫＥＪＩ
Ｎｏ，９，２００８
（ＣｕｍｕｌａｔｉｖｅｌｙＮｏ．１０９）
非线性曲线拟合的实证分析
燕霎夭ｊ’投
（安徽财经大学，安徽蚌埠２３３０４１）
【摘要１文章主要是运用ｍａｔｌａｂ软件，通过定量分析对非线性曲线模型进行曲线拟合，得鲻非线性曲线的模型，并找出最佳模型。
【关键词】ｍａｔｌａｂ；双曲线；对数由线；幂函数曲线；预测【中图分类号】ＴＰ３１９
【文献标识码】Ａ
【文章编号】１００８—１１５１（２００８）０９－００１７—０２
（一）理论概述
在生产和科学实验中，线性模型是同归模型中最常见的一种，但实际中，许多现象之间的关系往往并不是线性的，而是呈现某种曲线关系。这就产生了非线性模型理论方法。
非线性模型指的是关于参数或自变量是非线性函数的模型。非线性模型的形式复杂多样，有烈曲线形式、对能够数形式、幂函数形式等，更复杂的有修正指数曲线、Ｃｏｍｐｔｅｒｚ曲线以及Ｌｏｇｉｓｔｉｃ曲线等。如何根据实际的数据选择合适的模型，是建模的关键。总的说来可以参考两种方法；一是根据散点图来确定类型，即由散点图的形状来大体确定模型类型：二是根据一定的经济知识背景。
在ｍａｔｌａｂ软件中，非线性拟合主要是通过函数ｉｎｌｉｎｅ和命令［ｂｅｔａ，ｒ，Ｊ］＝ｎｌｉｎｆｉｔ（Ｘ，Ｙ，ｆｕｎ，ｂｅｔａＯ）来进行的。其中，函数ｉｎｌｉｎｅ是用来定义所要求的函数的；用命令［ｂｅｔａ，ｒ，Ｊ］＝ｎｌｉｎｆｉｔ（ｘ，Ｙ，ｆｕｎ，ｂｅｔａＯ）来进行拟合，其中ｘ，Ｙ
为原始数据，ｆｕｎ是在Ｍ文件中定义的函数，ｂｅｔａＯ是函数中参数的初始值：ｂｅｔａ为参数的最优值。ｒ是各点处的拟合残差，Ｊ为雅克比矩阵的数值。
散点图
从图中可以看出Ｙ和ｘ不宜采用线性模型来描述，此时考虑非线性模型，根据散点图，ｙ随着ｘ的增加而减少，结合经济学中成本理论的相关知识，可以考虑以下三个模型：
双曲线：ｙ＝ａ＋ｂ／ｘ对数曲线：ｙ＝ａ＋ｂ＊ｉｎｘ
首先，为了明确产量和单机成本是何种关系，先绘制散点图。在ｍａｔｌａｂ软｛牛中用ｐｌｏｔ（ｘ，ｙ）命令来做散点图，得到如下图形：
（二）实证分析
本文采用某企业在１６个月度的某产品产量和单位成本资料的数据，研究■者关系，运用ｍａｔＬａｂ软件分别对数据迸行双曲线拟合、对数曲线拟合，幂函数曲线拟合，并从中找出昂佳的拟合形式。
某企业某产品产量和单位成本资料
，ｊ度序号
１２
幂函数曲线；ｙ＝鲥”
下面分别给出三种曲线函数的拟合程序：１．双曲线模型：ｙ＝ａ＋ｂ／ｘ
ｘｌ＝【４３００，４００４。４３００，５０１６，５５１１，５６４８，５８７６，６６５１，６０２４，６１９４，７５５８，７３８１，６９５０，６４７１，６３５４，８０００］；
ｙｌ－－［３４６．２３，３４３．３４，３２７．４６，３１３．２７，３１０．７５，３０７．６１，３１
４．５６，３０５．７２，３１０，８２。３０６．８３，３０５．１１，３００．７１．３０６．８４，３０３．４
产罱（台）ｘ
４３００４００４４３００５０１６５５ｌｌ
午机成本（元／台）Ｙ
３４６．２３
３４３．３４３２７．４６３ｊ３
２７
３
４５６７８
３１０．７５
３０７
６ｌ
４，２９８，０３，２９６．２１］：
５６４８５８７６
６６５ｌ６０２４
先要进行初始参数的计算，选择已知数据的两点（４３００，３４６．２３）和（８０００，２９６．２ｔ），在ｍａｔｌａｂ软件中用如下命令来解方程组：
［ａ，ｂ］：ｓｏｌｖｅ（’３４６．２３＝ａ＋ｂ／４３００’，’２９６．２１＝ａ＋ｂ／８０００’）：得到初始值ａ＝２３８．０８’ｂ：４６５０５０．８１ｂ０１＝［２３８．０８，４６５０５０．ｓｔ］：
％初始参数值
ｆｕｎｌ＝ｉｎｌｉｎｅ（’ｂ（１）＋ｂ（２），／ｘ’，’ｂ’，’ｘ’）：％定义函数［ｂ１，ｒｌ，Ｊ１］＝ｎｌｉｎｆｉｔ（ｘｌ，ｙｌ，ｆｕｎｌ，ｂ０１）：ｙ＝２５０＋３５５４６０／ｘ１：％根据ｂｌ写出具体函数
３ｌ｛５６
３ｑ５—７２３１０
９
１０ｌｌ１２１３１４１５１６
８２
６１９４７５５８７３８ｌ
６９５０
３０６，８３
３０５．１１３００
７Ｉ
３０６．８４
３０３，４４
６４７ｌ６３５４８０００
２９８０３
２９０
２ｌ
【收稿日期】２００８—０６－０９
【作者简介】吴燕（１９８３一）．安徽巢湖人，安徽财经大学数量经济专业在读生，研究方向为经济优化与应用。
．１７．
Ｒ＝ｓｕｍ（ｒ１．‘２）得结果：ｂｌ＝
１．Ｏｅ＋００５奉０．００２５Ｒ＝０．６３０２
３．５５４６
％误差平方和ｙｌ＝［３４６．２３，３４３．３４，３２７．４６，３１３．２７，３１０．７５，３０７．６１，３１
４．５６，３０５．７２，３１０．８２，３０６．８３，３０５．ＩＩ，３００．７１，３０６．８４，３０３．４
４。２９８．０３，２９６．２１］：
同理，先进行初始参数的计算，选择已知数据的两点（４３００，３４６．２３）和（８０００，２９６．２１），代入幂函数曲线方程的等价方程ｌｎｙ＝ｌｎａ＋ｂｌｎｘ中，在ｍｔｌａｂ软件中用如下命令来解方程组：
［ａ，ｂ］＝ｓｏｌｖｅ（’ｌｏｇ（３４６．２３）＝ｌｏｇ（ａ）＋ｂ＊ｌｏｇ（４３００）’，’１０ｇ（２９６．２１）＝ｌｏｇ（ａ）＋ｂ＊ｌｏｇ（８０００）’）：
得到初始值ａ－２８３５．１６，ｂ＝一０．２５１３ｂＯｌ＝［２８３５．１６．－０．２５１３］：％初始参数值
ｆｕｎｌ＝ｉｎｌｉｎｅ（’ｂ（１）＊ｅｘｐ（ｂ（２）＊ｌｏｇ（ｘ））’，’ｂ’，’ｘ’）：定义函数
［ｂｌ＇ｒｌ，Ｊ１］＝ｎｌｉｎｆｉｔ（ｘｌ，ｙｌ，ｆｕｎｌ，ｂ０１）：Ｒ＝ｓｕｍ（ｒ１．‘２）得结果：ｂｌ＝
６．７８６０Ｒ＝３．１７６０
０．１８０６
％
所以，根据上述结果，写出双曲线模型：ｙ＝２５０＋３５５４６０／ｘ。２．对数曲线模型：ｙ＝ａ＋ｂ＊ｉｎｘ
ｘｌ＝［４３００，４００４，４３００，５０１６，５５１１，５６４８，５８７６，６６５１，６０２４。６１９４，７５５８，７３８１，６９５０，６４７１，６３５４，８０００］：
ｙｌ＝［３４６．２３，３４３．３４，３２７．４６，３１３．２７，３１０．７５，３０７．６１，３１
４．５６，３０５．７２，３１０．８２，３０６．８３，３０５．ＩＩ，３００．７１，３０６．８４，３０３．４
４，２９８。０３，２９６．２１］；
同理，先进行初始参数的计算，选择已知数据的两点（４３００，３４６．２３）和（８０００，２９６．２１），在ｍｔｌａｂ软件中用如下命令来解方程组：
［ａ，ｂ］＝ｓｏｌｖｅ（’３４６．２３＝ａ＋ｂ＊ｌｏｇ（４３００）’，’２９６．２１＝ａ＋ｂ＊ｌｏｇ（８０００）’）：
得到初始值ａ＝１０２０．３１，ｂ＝一８０．５７ｂＯｌ＝［１０２０．３１，－８０．５７］：数
［ｂｌ，ｒ１，ｊ１］＝ｎｌｉｎｆｉｔ（ｘｌ，ｙｌ，ｆｕｎｌ，ｂ０１）：Ｒ＝ｓｕｍ（ｒ１．‘２）得结果：ｂｌ＝
８５７．６８９３Ｒ＝２．５５９２
—６２．８１３７
％误差平方和
％初始参数值所以，根据上述结果，写出幂函数曲线模型：
ｖ：６．７８Ｘ０１８ｌ。
ｆｕｎｌ＝ｉｎｌｉｎｅ（’ｂ（１）＋ｂ（２）＊ｌｏｇ（ｘ）’，’ｂ’，’ｘ’）：％定义函
４．小结
从上述拟合的数据来看，三个模型的误差平方和分别为０．６３０２、２．５５９２、３．１７６０，即双曲线的拟合效果最好，对数曲线其次，幂函数曲线最差。所以，选择双曲线模型作为本实例的终选模型，即某企业某产品的产量和单位成本资料二者之间关系为双曲线模型：ｙ＝２５０＋３５５４６０／ｘ，并可以应用该模型对以后月度的数据做出预测。
【参考文献】
【１】１易丹辉．数据分析与Ｅｖｉｅｗｓ应用【Ｍ】
％误差平方和
所以，根据上述结果，写出对数曲线模型：ｙ＝８５７．６９－６２．８１Ｉｎｘ。
３．幂函数曲线：ｙ＝甜６
ｘｌ＝［４３００，４００４．４３００，５０１６，５５１１，５６４８，５８７６，６６５１，６０２４
，６１９４，７５５８，７３８１，６９５０，６４７１，６３５４，８０００］：
（上接第１４页）接受了镀层的纸张作为信息的载体，可在其面层进行常规印刷等加工，或直接制成各种包装品。全息转移纸具有两层（或多层）记录各种信息的载体，全息层不仅能够达到防伪功能，还可通过五彩斑斓的图像充分体现包装的个性和档次。正是基于这种制造工艺，全息转移纸具有防伪、耐折、装饰、耐磨、可印刷、环保等优点，相信随着全息技术的发展，全息防伪技术将取得进一步的发展。
全息瞄准镜的分划是全息图——投射到一块直立的硬玻璃上
的激光图像。用全息技术形成的瞄准分划，即使在硬玻璃窗（全息图投射到其上面）严重损坏的情况下，仍然能够使用。关掉全息瞄准镜，射手透过全息瞄准镜的玻璃窗观察，就可以按通常的方法使用机械瞄具，而不必把全息瞄准镜取下来。和准直式瞄准镜一样，射手可以立即看到全息瞄准镜的分划，实际上可以马上瞄准目标，使用时射手两只眼睛睁开，不会遮挡视线，在武器后坐或Ｌ１标急速移动时分划仍在视场之中。
（五）全息技术在军事工业中的应用
除了全息技术在军事领域的传统应用外，近年来发展起来的有全息导弹制导系统及全息瞄准镜等，大大地推进了军事的信息化建设。
与普通光学系统相比，在导弹制导系统中应用全息光学元件具有许多优越性。首先，可以把比较复杂的光学制导系统简化为一个或两个全息光学元件组，从而既减轻重量又提高强度：其次，如果使用计算全息元件，可以产生普通光学系统无法实现的功能：第三，全息元件较易复制所以成本较低；最后，全息光学元件可以记录在制导系统的传感器窗口上，并于导弹的行状一致，这是最重要的。目前，全息光学元件导弹制导系统中的直接应用主要包括：有两个全息光学元件组成的全息变焦物镜，全息滤光片，全息校正板等。
将全息技术应用到枪械瞄准上，便制造出了全息瞄准镜。
（六）后语
随着光全息术的不断向前发展，催生了不同全息技术的出现，如微波全息，声全息等，并同它们一起不断加深全息术在现代生活中的应用。相信在不久的将来，人们对全息术耳熟能详，其制品也将在生产生活中随处可见。
【参考文献】
川周海宪，程云芳．全息光学一设计、制造和应用【Ｍ】．北京：化
学工业出版社．２００５．
【２】王仕墙．信息光学理论与应用【Ｍ】．北京：北京邮电大学出版
社．２００４．【３１苏显渝，李继陶．信，包光学［ＭＩ．北京：科学出版社，１９９９．
．１８一
非线性曲线拟合的实证分析
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
吴燕
安徽财经大学,安徽,蚌埠,233041大众科技DAZHONG KEJI2008(9)1次
参考文献(1条)
1. 易丹辉 数据分析与Eviews应用
引证文献(1条)
1. 矫震. 王道杰. 谢洪. 张金山. 郭灵辉 云南东川蒋家沟银合欢林区原状土抗剪强度试验分析[期刊论文]-中国水土保持 2009(11)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_dgkj200809005.aspx