材料力学笔记(材力II)
材料力学（土）笔记
第一章 弯曲问题的进一步研究
1．非对称纯弯曲梁的正应力 当梁不具有纵向对称平面
或者梁虽然具有纵向对称平面，但外力不作用在该平面内时 梁将发生非对称弯曲
这时对称弯曲的正应力公式将不再适用 1.1 非对称纯弯曲梁正应力的普遍公式
若梁的任意横截面上只有弯矩M （其值等于外力偶M e ）
取x 轴为梁的轴线，y ，z 轴为横截面上任意一对相互垂直的形心轴 弯矩M 及其在y ，z 轴上的分量M y 和M z 均用矢量表示 对于非对称弯曲，平面假设依然成立
非对称弯曲梁横截面上任一点处正应力的普遍表达式为
M y (zI z -yI yz ) -M z (yI y -zI yz )
σ=2
I y I z -I yz
上式称为广义弯曲正应力公式
式中I y 、I z 和I yz 依次为横截面对y 轴和z 轴的惯性矩及对y ，z 轴的惯性积
y 和z 代表横截面上任一点的坐标
可解出中性轴与y 轴间的夹角θ为
tan θ=
M z I y +M y I yz M y I z +M z I yz
横截面上的最大拉应力和最大压应力将分别发生在距中性轴最远的点处
对于具有棱角的横截面，其最大拉、压应力必发生在距中性轴最远的截面棱角处
对于周边为光滑曲线的横截面，可平行于中性轴作两直线分别与横截面周边相切于两点 该两点即为横截面上的最大拉、压应力点
将其坐标(y , z ) 分别代入广义弯曲正应力公式，即可得横截面上的最大拉应力（压应力） 由于梁危险截面上的最大拉应力σt ,m ax 和最大压应力σc ,m ax 点均处于单轴应力状态
于是根据最大拉、压应力不得超过材料许用拉、压应力的强度条件 即可进行非对称纯弯曲梁的强度计算
1.2 广义弯曲正应力公式的讨论 不论梁是否有纵向对称平面，外力是否作用在纵向对称平面内，广义弯曲正应力公式都适用 即广义弯曲正应力公式包含了对称弯曲情况下的正应力计算公式 ①梁具有纵向对称平面，且外力作用在该对称平面内
将M y =0、M z =M 、I yz =0代入广义弯曲正应力公式，即得
σ=-
M I z
y
上式即为对称弯曲情况下横截面上任一点处的正应力公式
在对称弯曲中已知，梁的挠曲线必定是外力作用平面内的一条平面曲线 这一类弯曲也称为平面弯曲 ②梁不具有纵向对称平面
但外力作用在（或平行于）由梁的轴线与形心主惯性轴组成的形心主惯性平面内 将M y =0，M z =M 、I yz =0代入广义弯曲整理公式，同样可得上面的公式 上式表明，只要外力作用在（或平行于）梁的形心主惯性平面内 对称弯曲时的正应力哦给你时仍然适用
可得tan θ=∞，θ=90︒，说明中性轴垂直于弯矩（即外力）所在平面
即梁弯曲变形后的挠曲线也将是外力作用平面内的平面曲线，属于平面弯曲范畴 ③梁具有纵向对称平面，但外力的作用平面与纵向对称平面间有一夹角
弯矩M 的矢量与y 轴间的夹角为ϕ，将M y =M cos ϕ、M z =M sin ϕ、I yz =0代入
σ=
M cos ϕI y
z -
M sin ϕI z
y
此时横截面上任一点处的正应力，可视作两相互垂直平面内对称弯曲情况下正应力的叠加 在此情况下，确定中性轴与y 轴间夹角的公式化简为
tan θ=
M z M
y
⨯
I y I z
=
I y I z
tan ϕ
对于I y ≠I z ，因而θ≠ϕ
即中性轴不再垂直于弯矩（即外力）所在的平面
梁弯曲变形后，其挠曲线不再外力作用的平面内，这类弯曲也称为斜弯曲
2．两种材料的组合梁
设梁由材料1与材料2组成
其弹性模量分别为E 1和E 2，且E 1
当梁的两种材料的接触部分紧密结合，在弯曲变形过程中无相对错动时，视作整体 平面假设与单轴应力状态假设依然成立取截面的对称轴和中性轴分别为y 轴和z 轴 由平面假设可知，横截面上各点处的纵向线应变沿截面高度呈线性规律变化 任一点y 处的纵向线应变为
ε=
y
ρ
式中，ρ为中性层的曲率半径
当梁的材料均处于线弹性范围，由单轴应力状态下的胡克定律 可得横截面上材料1与2部分的弯曲正应力分别为
σ1=E 1σ2
y ⎫ρ⎪⎪⎬ y =E 2⎪
ρ⎪⎭
由横截面上正应力所构成的法向分布内力系的合成等于内力的静力学关系，即得
⎰
A 1
σ1dA 1+
⎰
A 2
σ2dA 2=F N =0
A 2
⎰
A 1
y σ1dA 1+
⎰
y σ2dA 2=M
与同一材料梁在对称弯曲时的推导相仿
若将组合梁的截面变换为仅由材料1构成的截面，则仅需将横截面上材料2的宽度换为
b =
'
E 2E 1
b
于是两种材料的组合梁可变换为同一材料的均质梁进行计算 同一材料的截面相当于两种材料的实际截面，称为相当截面 应用相当截面，按同一材料梁算出的横截面上的正应力σ 于材料1部分，即为实际的应力 材料2部分（变换宽度部分），必须将其乘以两材料弹性模量之比值E 2/E 1，才是实际应力
上述按相当截面的计算方法，对于其他形状截面的两种材料组合梁也完全适用 只需将截面高度维持不变，将其宽度折算，即可得到相当于一种材料的相当截面
在计算相当截面时，将原来的截面折算为哪一种材料的相当接面，对计算结果无影响
3．开口薄壁截面梁的切应力·弯曲中心 3.1 开口薄壁截面梁的切应力
对于横向力作用下的非对称开口薄壁截面梁
横向力必须作用在平行于形心主惯性平面的某一特定平面内 才能保证梁只发生平面弯曲而不扭转
这以一特定平面，就是梁在形心主惯性平面内发生弯曲时横截面上剪力F s 所在的纵向平面 若横向力作用在平行于该特定平面的另一纵向平面内 则梁不仅发生平面弯曲，还将发生扭转
3.2开口薄壁截面的弯曲中心
非对称薄壁截面梁，其横截面上剪力F Sy 和F Sz 的作用线教育A 点
为使梁只发生弯曲而不扭转，梁很说那个横向外力所在的纵向平面就必须通过该交点A 这一交点称为截面的弯曲中心，或剪切中心
对于具有一根对称轴的截面，其弯曲中心都在截面的对称轴上 则仅需确定其垂直于对称轴的剪力作用线，剪力作用线与对称轴的交点即为截面的弯曲中心 若截面具有两根对称轴，则两根对称轴的交点（即截面形心）即是弯曲中心 对于由两个狭长矩形组成的截面，由于狭长矩形上的切应力方向平行于长边 且数值沿厚度不变，故剪力作用线必与狭长矩形的中线重合， 其弯曲中心应位于梁狭长矩形中心的交点 弯曲中心的位置仅与横截面的几何特征有关
因为弯曲中心仅决定于剪力作用线的位置，而与其方位及剪力的数值无关
4．开口薄壁截面梁约束扭转的概念
5．平面大曲率杆纯弯曲时的正应力
第二章 考虑材料塑性的极限分析
1．塑性变形·塑性极限分析的假设 1.1塑性变形的特征 塑性变形主要特征
①塑性变形时不可逆的永久变形，一旦产生后，即使荷载卸除也不会消失 产生塑性变形后再卸除荷载，往往会导致受力构件内的残余应力 ②应力超过弹性范围后，应力-应变呈非线性关系 ③塑性变形与加载的历程有关
应力超过弹性范围后，卸载时的应力-应变关系基本上按平行于弹性阶段的直线呈线性关系 直至达到材料在反向时的屈服极限，这就是材料的卸载规律
在考虑材料的塑性变形时，对于同一应力水平，不同加载过程对应的应变值不同 只有明确了加载过程，才能得到应力、应变间的对应关系 ④金属材料的塑性变形远大于弹性变形量
当应力超过弹性范围后，其总应变包含弹性应变和塑性应变
通常所说的塑性变形，是指在常温下、与时间无关的不会消失的永久变形 在高温下随承载持续时间而引起的塑性变形，称为蠕变
1.2 塑性极限分析假设
实际工程中，为简化计算，通常作如下假设 ①荷载为单调增加的静荷载，若多个荷载同时作用，则各个荷载按比例同时由零增至最终值 满足上述加载方式的荷载称为简单加载
②结构（或构件）虽局部产生塑性变形，但其总体的变形仍然足够小 因而其变形的几何相容条件仍保持为线性
结构（或构件）由于大的塑性变形变为几何可变机构时，称结构（或构件）达到了极限状态 ③结构（或构件）达到极限状态之前，应始终保持为几何不变体系
④材料具有屈服阶段，在塑性变形较小时，材料的应力-应变关系可理想化为理想塑性模型 其中，一种是不考虑弹性变形的影响，即材料在达到屈服极限之前，应变为零 而在达到屈服极限之后，应力保持不变，应变持续增长，称为刚性-理想塑性模型
另一种是考虑弹性变形的影响，即材料在屈服极限前，应力-应变关系保持为线性，并服从胡克定律，在达到屈服极限后，应力保持不变而应变可继续增长，称为弹性-理想塑性模型
2．拉、压杆系的极限荷载
对于静定的拉、压杆系，当其中受力最大的一杆的应力达到材料的屈服极限时 结构就将产生大的塑性变形而达到极限状态
因此，结构的极限荷载与弹性分析中最大应力达到屈服极限，使杆件开始屈服时荷载相同 对于一次超静定结构，当其中受力最大的杆件的应力达到材料的屈服极限
而使该杆开始屈服时，由于超静定结构存在多余约束，结构并不会产生大的塑性变形 若继续增加荷载，则开始屈服的杆件，其应力保持不变（保持为屈服极限） 其他杆的应力持续增长，直至其他某一杆内的应力也达到屈服极限时 结构开始大的塑性变形变成几何可变机构，而使结构达到极限状态 结构（或构件）开始出现塑性变形时的荷载，称为屈服荷载，记为F s 使结构（或构件）处于极限状态的荷载，称为极限荷载，记为F u
按弹性设计时，结构的破坏荷载为屈服荷载
考虑材料塑性的极限分析时，结构的破坏荷载为极限荷载
3．等直圆杆扭转时的极限扭矩
设直径为d ，长度为l 的等直圆杆承受扭转外力偶矩M e 的作用
圆杆的材料为弹性-理性塑性，其切应力τ与切应变γ的关系如正应力与应变的弹塑性关系 材料的弹性模量为G
弹性阶段，最大切应力和相对扭转角分别为
16M e T
τm ax == 3
W p πd
ϕ=
Tl G I p
=
2τm ax l G d
杆件开始产生塑性变形，横截面上的扭矩为屈服扭矩，其值为
τs
16
当几面各点处的切应力均达到τs 时，则横截面上各点处均将发生塑性变形 整个截面进入完全塑性状态，这时不需要再增大外力偶矩，杆件将继续扭转变形 引起大的塑性变形，即杆件达到极限状态
T s =W p τs =
πd
3
极限状态的极限扭矩为
T u =
T u =
⎰
A
ρτs dA
d /20
⎰
A
ρτs dA =2πτs ⎰
ρd ρ=
2
πd 12
3
τs
考虑材料的塑性时，增加了圆杆的承载能力
若等直圆杆在达到极限扭矩T u 后，卸除荷载，即反向施加外力偶矩M e =T u 则圆杆的横截面将有残余应力存在，残余应力有以下特征 ①卸载后圆杆横截面上的残余应力必自相平衡
②残余应力的最大值为τs ，如在卸载后，继续翻向增大外力偶矩 当外力偶矩增大到M e =-
2
3
若继续增大外力偶矩，τ-γ关系将不再保持线性关系，不能用简单的线性叠加
T s 时，横截面周边处的切应力将达到τs
4．梁的极限弯矩·塑性铰 4.1 纯弯曲梁的极限弯矩
设一承受纯弯曲的矩形截面梁，材料可理想化为弹性-理想塑性模型 且在拉伸和压缩时的弹性模量E 和屈服极限σs 均相同
在线弹性范围内，梁横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比 其中性轴为横截面的水平对称轴
当梁横截面上的最大正应力达到材料的屈服极限时，梁开始发生塑性变形 横截面上的弯矩为
M s =W σs =
bh 6
2
⨯σs
梁的曲率为
⎛1⎫σs 2
=⨯ ⎪ρE h ⎝⎭s
若继续增大外力偶矩，则截面上的弯矩也随之增大
并随着显影的增大，横截面上正应力达到σs 的区域将由其上、下边缘逐渐向中轴扩展
即线应变ε=εs 的点处的正应力达到σs ，而ε>εs 各点处的正应力均保持为σs 这时梁处于弹性-塑性阶段，梁虽已产生塑性变形，但其值不大，是有限的 当整个横截面上各点处的正应力均达到σs ，则整个截面进入完全塑性状态 梁将发生明显的塑性变形而达到极限状态
梁横截面上受拉部分的面积为A t ，受压部分面积为A c ，A t =A c 横截面上轴力F N 是确定中性轴的条件
当梁达到极限状态时，中性轴将横截面分为两个面积相等的部分 对于具有水平对称轴的横截面，其中性轴与该对称轴重合
对于无水平对称轴的横截面，其中性轴将与线弹性范围内工作时的中性轴位置不同 中性或走将随塑性区的增加而不断移动
在极限状态下，横截面上法向内力元素所组成的力偶矩就是梁的极限弯矩M u
M u =σs W s W s =S t +S c
S t 和S c 分别为受拉部分的面积A t ，受压部分面积A c 对中性轴的静矩，均取正值
式中，W s 称为塑性弯曲截面系数，对于由水平对称轴的横截面S t =S c ，M u /M s =W s /W
4.2 横力弯曲梁的极限荷载·塑性铰
对于在横向外力作用下的静定梁，考虑材料塑性时梁的极限荷载 可根据最大弯矩所在截面的极限进行计算 梁材料可理想化为弹性-理想塑性模型
当梁上的最大弯矩小于屈服弯矩时，梁处于弹性状态
当最大弯矩达到屈服弯矩时，危险截面上的最大正应力达到材料的屈服极限 当荷载继续增加，跨中截面上的弯矩M 处于M s
梁处于弹性-塑性状态，跨中截面上的塑性区逐渐向中性轴扩展 最大正应力达到屈服极限的截面，则从跨中截面逐渐向两侧延伸
当荷载增大到梁跨中截面上的弯矩达到极限弯矩时，截面全部进入塑性状态，弹性区消失 这时跨中截面两侧的两段梁，在极限弯矩不变的条件下，将绕截面的中性轴发生相对转动 由于截面达到完全塑性而引起的转动效应，犹如在该截面处安置了一个铰链，称为塑性铰 塑性铰时由于截面达到完全塑性所引起的铰链效应 这时，截面上承受的弯矩即为极限弯矩
塑性铰所在截面两侧两段梁的转动方向，恒与极限弯矩方向一致 当梁卸载，即截面上的弯矩小于极限弯矩，塑性铰的效应随之消失
第三章 能量法
1．概述
可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力均将做功
对于弹性体，由于变形的可逆性，外力在相应的位以上所作的功 在数值上就等于积蓄在物体内的应变能
当外力撤除时，这种应变能将全部转换为其他形式的能量
利用功和能的概念求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法，统称能量法
2．应变能·余能 2.1 应变能
当杆件发生组合变形时，在线弹性、小变形条件下 每一基本变形的内力对其他的节本变形并不做功
故组合变形杆的应变能等于各基本变形应变能的总和 若组合变形杆横截面上的内力包括轴力、扭矩和弯矩
且三者均可表达为截面位置x 的函数，不计剪力影响，则组合变形等直圆杆应变能
V ε=
⎰
F N (x ) dx 2EA
2
l
+
⎰
T (x ) dx
l
2
2G I p
+
⎰
M (x ) dx
l
2
2EI
式中积分应遍及全杆，若为非圆截面杆，则I p 应改为I t 由于材料是弹性体，略去加载和卸载过程中的能量损耗 外力所作的功在数值上就等于积蓄在杆内的应变能，即
V ε=W =
⎰
∆10
Fd ∆
在拉杆加载过程中，单元体上外力所作的功等于积蓄在单元体内的应变能
v ε=W =
V ε=
⎰
ε1
σd ε
⎰dV ε=⎰
V
v εdV =v εV =v εAL
对于杆件内各点处的应变能密度v ε随该点的坐标而改变的情况，应先求出应变能密度，再积分计算整个梁内所积蓄的应变能
在扭转时，整个轴内所积蓄的应变能同理计算，但σ和ε要换成τ和γ
应变能具有如下特征
①应变能恒为正的标量，与坐标系的选取无关 在杆系的不同杆件或不同杆段，可独立选取坐标 ②应变能仅与荷载的最终值有关，与加载顺序无关
③在线弹性范围内，应变能为内力（或位移）的二次齐次函数，力的叠加原理不再适用
2.2 余能
另一个能量参数称为余能，是仿照外力功的表达式计算另一积分
积分是F -∆曲线与纵坐标轴间的面积，与外力功之和正好等于矩形面积F 1∆1，称为余功 用W c 表示，即
W c =
F 10
⎰
∆dF
将余功相应的能称为余能，并用V c 表示，余功和余能在数值上相等，即
V c =W c =
⎰
F 1
∆dF
σ1
几何线性问题中，同样可仿照应变能密度来计算应变能的方式
V c =
⎰
V
v c dV ，v c =
⎰
εd σ
余能有以下特征
①余能（或余能密度）仅具有与应变能（或应变能密度）相同的量纲，并无具体的物理意义 ②线弹性材料的几何线性问题中，由于荷载与位移（或应力与应变）间的线性关系 因而余能（或余能密度）在数值上等于应变能（或应变能密度），但两者迥然不同
3．卡氏定理
3.1 卡氏第一定理
卡斯蒂利亚诺导出了计算弹性杆件的力和位移的两个定理 通常称为卡氏第一定理和卡氏第二定理
设梁的材料为非线性弹性，梁上有n 个集中荷载作用
与这些集中荷载相对应的最后位移分别为∆1、∆2、... 、∆n
假定这些荷载咱比例同时由零增至其最终值F 1、F 2、... 、F n （即为简单加载） 于是外力所作的总功就等于每个集中荷载在加载过程中所作功的总和，则
n
V ε=W =
∑⎰
i =1
∆i 0
f i d δi
式中，f i 和δi 为加载过程中荷载以及位移的瞬时值，右端每一积分均为位移∆i 的函数 设与第i 个荷载相应的位移有一微小增量d ∆i ，则梁内应变能的变化dV ε
dV ε=
∂V ε∂∆i
d ∆i
其中，
∂V ε∂∆i
代表应变能对于位移∆i 的变化率
因为仅与第i 个荷载相应的位移有一微小增量，而与其余各荷载相应的位移均保持不变 因此对于位移的微小增量d ∆i ，仅F i 作了外力功，则外力功的变化为
dW =F i d ∆i
由于外力功在数值上等于应变能，故有
dV ε=dW
整理可以得到
F i =
∂V ε∂∆i
上式表明：弹性杆件的应变能对于杆件上某一位移之变化率，等于改为以相应的荷载 称为卡氏第一定理
卡氏第一定理适用于一切受力状态下线性或非线性的弹性杆件
式中，F i 代表作用在杆件上的广义力，可以代表一个力、一个力偶、一对力或一对力偶
∆i 则为与之相应的广义位移，可以是一个线位移、一个角位移、相对线位移或相对角位移
在运用卡氏第一定理时，必须将应变能表达成给定位移的函数形式 这样才可能求其对给定位移的变化率
3.2 卡氏第二定理
受n 个集中荷载F 1、F 2、... 、F n 作用的梁，材料为非线弹性 与各荷载相应的最终位移分别为∆1、∆2、... 、∆n ，按简单方式加载 外力的总余功等于每一集中荷载的余功之总和，梁内的余能为
n
V c =W c =
∑⎰
i =1
F i 0
δi df i
式中, f i 和δi 分别为加载过程中荷载及位移的瞬时值 上式表明, 梁内的余能时作用在梁上一系列荷载F i 的函数 同卡氏第一定理，可得
∆i =
∂V c ∂F i
上式表明：弹性杆件的余能V c 对于杆件上某一荷载之变化率，等于与该荷载相应的位移 称为余能定理，余能定理适用于一切受力状态下线性或非线性弹性杆件 式中，F i 代表广义力，而∆i 代表与之相应的广义位移
在弹性杆件或杆系中，由于力与位移成正比，杆内得应变能在数值上等于余能 因此对于线弹性杆件或杆系，可用应变能代替余能，从而得到
∆i =
∂V ε∂F i
上式表明：线弹性杆件或杆系的应变能对于作用在该杆件或杆系上的某一荷载值变化率，等于该荷载相应的位移，称为卡氏第二定理
卡氏第二定理时余能定理在线弹性情况下的特例，仍然适用于任意受力形式下的线弹性杆 卡氏第一定理和余能定理适用于线弹性或非线弹性体，而卡氏第二定理仅适用于线弹性体
4．用能量法解超静定系统
利用能量法所得力-位移间的物理关系，就可求解超静定问题的范围扩展到任意荷载作用下、线弹性杆系、刚架或曲杆等超静定问题
5．虚位移原理及单位力法
第五章 应变分析·电阻应变计法基础
1．概述
在实际工程中，有一些构件或由于形状不规则，或由于受情况、工作条件比较复杂 按其计算简图进行的理论计算结果，往往与实际情况有较大出入
有时也用试验的方法来检验按计算简图进行理论分析所得结果的精确度 通过实验来研究和了解结构或构件应力的方法，称为实验应力分析 实验应力分析方法很多，较为常用的有电阻应变计法等
方法是以电阻应变片为传感元件，将其粘贴在被测构件的测点处，使其随同构件变形 将构件测点的应变转换为电阻应变片的电阻变化，便可确定测点处的应变 并进而按胡克定律的得到其应力
电阻应变计的特点是传感元件小，适应性强，测试精度高
该方法有其局限性，即只能测量受力构件表面上各点处的应变 在实际应变测量中，往往先测定测点处沿几个方向的线应变，然后确定该点处的最大线应变 进而确定该点处的最大正应力
2．平面应力状态下的应变分析 2.1 任意方向的应变
推导平面应力状态下一点处在该平面内沿任意方向线应变和切应变的表达式 规定α角逆时针转动为正
先分别算出由各应变分量εx 、εy 、γxy 单独存在时的线应变εα和切应变γα 然后按照叠加原理求得同时存在时的线应变εα和切应变γα，得到
εα=
12
(εx +εy ) +
12
(εx -εy ) cos 2α+
12
γxy sin 2α
-
γα2
=
12
(εx -εy ) sin 2α-
γxy 2
cos 2α
2.2 应变圆
将线应变ε作为横坐标，将-γ/2作为纵坐标，即将纵坐标的正向取为铅垂向下 便可绘出表示平面应力状态下一点处不同方向的应变变化规律的应变圆 受力物体内一点处各方向应变的集合，称为一点处的应变状态
在已知一点处的三个应变分量εx 、εy 、γxy 后，就可依照应力圆的作法作出应变圆 注意应边圆的纵坐标时γ/2，且正值的切应变在横坐标下方
2.3 主应变的数值与方向
平面应力状态下，在平面内一点处也存在着两个相互垂直的主应变 其相应的切应变均等于零，由应变圆可得两主应变的表达式为
ε1=ε2=
1212
[(εx +εy ) +[(εx +εy ) -
主应变ε1的方向与x 轴间所夹角度为
2α0=arctan
γxy /2(εx -εy ) /2
=arctan
γxy (εx -εy )
α0
3．电阻应变计法的基本原理 3.1 转换原理及电阻应变片
导体在一定应变范围内，其电阻改变率∆R /R 与导体的弹性线应变∆l /l 成正比，即
∆R /R ∆l /l
=K s
式中，常数K s 称为材料的灵敏系数
因此可选取合适的导体制造成电阻应变片，粘贴在构件表面测点处 使其随同构件变形，从而测定构件测点处的应变
金属丝制造成应变片后，因金属丝回绕形状，基体和胶层等因素影响，应变片的灵敏因数为
K =
∆R /R
ε
式中，ε为沿应变片长度方向的线应变
应变片的灵敏因数K 与制造应变片材料的灵敏因数K s 值不尽相同
应变片的灵敏因数K 一般通过实验测定，常用应变片K 值为1.7~3.6 电阻应变片的基本参数为灵敏因数K 、电阻值R 、标距l 和宽度a 由应变片测得的应变实际上式标距和宽度范围内的平均应变 当需要测量一点处的应变时，应选取尽可能小的应变片 当要测量不均匀材料的应变时，则须选用足够大的应变片，以得到测量范围内的平均应变值
3.2 测量原理及电阻应变仪
应变片随同构件变形而引起的电阻变化，可用四臂电桥（惠斯顿电桥）来测量 电桥的四个桥臂的电阻分别为R 1、R 2、R 3和R 4
当对交结点A 、C 接上电压为U AC 的直流电源时，另一对角结点B 、D 的输出电压为
U BD =U AB -U AD =I 1R 1-I 4R 4
由于
I 1=
U AC R 1+R 2
，I 4=
U AC R 3+R 4
故得到
U BD =U AC
R 1R 3-R 2R 4(R 1+R 2)(R 3+R 4)
当电桥的输出电压U BD =0，即电桥平衡时，得
R 1R 3=R 2R 4
若电桥的四个桥臂均为粘贴在构件上的电阻应变片，且其初始电阻相等 则在构件受力前，电桥保持平衡，U BD =0
在构件受力后各应变片产生的电阻该变量分别为∆R 1、∆R 2、∆R 3和∆R 4 考虑到∆R i 远小于R ，略去分子中∆R i 的高次向和分母中的∆R i 项 即可得到电桥的输出电压为
U B D =U A C ⨯
∆R 1+∆R 3-∆R 2-∆R 4
4R
为了提高测量精度，实际应用的应变仪采用双电桥结构，把测量电桥和读数电桥串联起来 R 1、R 2、R 3和R 4是有应变片组成的测量电桥四个桥臂的电阻 而R 1、R 2、R 3和R 4为由可调电阻组成的读数电桥四个桥臂的电阻 双电桥的总输出电压为
U =U BD +U BD
'
'
'
'
'
旋钮刻度盘的读数εR 与测量电桥中的四个应变片的应变值之间的关系式为
εR =ε1+ε3-ε2-ε4
按上述原理制成的仪器称为电阻应变仪
应用电阻应变仪，可直接读出构件表面被测点处应变片的应变值
3.3应变测量中一些问题
用电阻应变计法测量应变时，通常考虑以下几个问题 ①测量电桥的接线
在实际测量中，测量电桥的接线方式有两种
一种是半桥接线法，将测量电桥的R 1、R 2两臂接上应变片，而另两臂R 3和R 4短接 即用电阻应变仪内接的相同值的标准电阻（ε3=ε4=0）
另一种是全桥接线法， 即将测量电桥的四个桥臂都接上应变片 ②温度补偿
在测量过程中，工作环境的温度变化将引起构件和应变片产生温度变形 各应变片处的温度变化也不一定相同，测得的应变值将包含温度变化的影响，导致测量误差 为消除由温度变化而引起的测量误差
测量中可使相邻两臂的应变片粘贴在处于同一温度环境下相同材料的表面上 其中一个为构件测点的应变片，称为工作片
一个为不受荷载作用的应变片，称为温度补偿片 ③灵敏因数调整器的使用
由于各种电阻应变片的灵敏因数K 值不尽相同
为使应变仪的读数值正确反映测点的应变，在实际测试中 同一次测试应选用具有相同灵敏因数值的同一种应变片
并且在测量前，将电阻应变仪上灵敏因数调整器的指针对准应变片的灵敏因数K 值 这时，应变仪的读数εR 与四个桥臂的应变间才符合关系
4．应变的测量与应力的计算 4.1 单轴应力状态
当构件的测点处于单轴应力状态时
只需在测点处沿主应力方向（亦即主应变方向）粘贴一个电阻应变片 然后，用电阻应变仪测定其应变ε，并按胡克定律
σ=E ε
求得其正应力σ，也即测点处的主应力
4.2 主应力方向已知的平面应力状态 若构件的测点处于平面应力状态
且其主应力方向（即主应变方向）可通过理论分析或其他试验方法加以确定
则可在测点处沿两个主应力方向粘贴电阻应变片，应用温度补偿片或自动补偿法 测得相应的两个主应变
然后，应用平面应力状态下的广义胡克定律公式，得到测点处相应的两个主应力
4.3 主应力方向未知的平面应力状态
若构件的测点处于平面应力状态，而其主应力方向尚未可知 无法直接测定该点处的两个主应变
为此，可通过测定该点处任意三个方向的线应变，据此以确定主应变及其方向 在实际测试中，为了简化计算，通常采用45°应变花，或称直角应变花 有时也采用60°应变花，或称等角应变花
第六章 动荷载·交变应力
1．概述
所谓动荷载，是指随时间作急剧变化的荷载，以及作加速运动或转动的系统中构件的惯性力 若构件内的应力随时间作交替变化，则称为交变应力 构件长期在交变应力作用下，虽然最大工作应力远低于材料的屈服强度，无明显的塑性变形 却往往发生骤然断裂，这种破坏现象，称为疲劳破坏 因此，在交变应力作用下的构件还应校核疲劳强度
2．构件作等加速直线运动或等速转动时的动应力计算
构件作等加速直线运动或等速转动时，构件内各质点将产生惯性力 动应力的最简单解法时应用动静法 即除外加荷载外，再在构件的各点处加上惯性力，然后按求解静荷载问题求得构件的动应力
3．构件受冲击荷载作用时的动应力计算 当运动中的物体碰撞到一静止的构件时
前者的运动将受阻而在瞬间停止运动，这时构件就受到了冲击作用，杆件承受冲击荷载 设有重量为P 的重物，从高度h 自由下落冲击到固定在等截面直杆A B 下端B 处圆盘上 杆A B 的长度为l ，横截面面积为A 重物为冲击物，杆A B 为被冲击物 在冲击应力的估算中，假定：
①不计冲击物的变形，且冲击物与被冲击物接触后无回弹
②被冲击物的质量与冲击物相比很小可略去不计，而冲击力瞬时传遍被冲击物 且材料服从胡克定律
③在冲击过程中，声、热等能量损耗很小，可略去不计
可利用机械能守恒定律，来计算冲击荷载作用下被冲击物的最大动位移∆d ，及冲击应力σd 冲击物在冲击过程中所减少的动能和势能等于被冲击的杆增加的应变能 冲击荷载F d 可以表示为
F d =K d P
式中K d 称为冲击动荷因数
其中
P l E A
=∆st σd =
F d A =K d
P A
=K d σst
可见，冲击位移，冲击荷载和冲击应力均等于将冲击物的重量P 作为静荷载作用时 相应的量乘以同一个冲击动荷因数K d
∆d =K d ∆st
σd =K d σst
对一个结构来说，动荷系数只有一个
由此可见，冲击荷载问题计算的关键，在于确定相应的冲击动荷因数
增大相应的静位移∆st 值，可降低冲击动荷因数K d 在水平冲击情况下的动荷因数K d 为
K d =
∆st 是杆在冲击点收到一个数值等于冲击物重量P 的水平力F 作用时，该点的静挠度
就是结构在受冲击点沿水平方向的静位移
4．交变应力下材料的疲劳破坏·疲劳极限 4.1 金属材料的疲劳破坏
有些构件内的应力随时间作交替变化，这种随时间作交替变化的应力，统称为交变应力 实践表明，金属材料若长期处于交变应力下，则在最大工作应力远低于材料的屈服强度 且不产生明显的塑性变形情况下，也有可能发生骤然的断裂 这种破坏，称为疲劳破坏
4.2 交变应力的基本参量·疲劳极限
5．钢结构构件及其连接的疲劳计算