分数拆分经典解法

课 题： 分数的拆分

知识概述：

把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫单位分数。单位分数又叫埃及分数。在很早以前，埃及人就研究如何把一个分数单位表示成若干个分数单位的和，把一个真分数表示成两个（或几个）分数单位的和叫分数的拆分。

教学目标：

1、让学生熟练的掌握“单位分数”加减计算的速算方法，并能准确快速的计算。

2、让学生掌握分数拆分的基本方法，并能使一些计算简化。

3、让学生感受归纳的一般方法。

教学重点：1、发现总结“单位分数”加减计算的速算方法。2、分数的拆分的方法。 教学难点：分数的拆分的灵活应用。

教具与学具：

本周通知事项：

教学过程：

一、引入：

7化成小数等于多少？ 12

。 。711分析：=+=0.3+0.25=0.583 1234

11这里的和数学里称为：单位分数（分数单位）。今天我们学习的课题就是如何又快又准34

将一个分数拆分成若干个单位分数的和（或者差）。

定义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫单位分数（分数单位）。

二、新课教授：

例1：在等式111=+ 中，求出所有整数解。 6x y

分析：要找出一组解很容易，但是要找出所有解容易漏。通过观察我们发现要使分子最终为1，必需让分子分母约分。怎样才能约分？我们想到了约数。这时列出6的所有约数：1，2，3，6。通过扩分的方法：

11×(1+2) 1111×(2+3) 11==+ ==+ 66×(1+2) 18966×(2+3) 1510

1

11×(1+3) 1111×(2+6) 11==+ ==+ 66×(1+3) 24866×(2+6) 248

11×(1+6) 1111×(3+6) 11==+ ==+ 66×(1+6) 42766×(3+6) 189

分析：里面结果相同的原因？

注意：两个相加的约数，它们比值相同时结果也相同。

总结:111=+型，拆分分数的步骤: n x y

1. 找出分母n 的所有的约数；（找约数）

2. 将约数进行分组，比值相同的分为一组；（分组）

13. 将的分子、分母分别同时乘以其中两个约数之和（或者差）；（扩分） n

4. 将所得分数拆成同分母的两个分数之和（或者差），使两个约数恰好是两个分数的分子；（拆分）

5. 将各个分数分别约分，使分子为1，即变成单位分数。（约分） 练习：1111=++ 6x y z

分析：此题与之前题目的区别以及相同之处？可不可以用同样的方法解答？

请同学们说出结果。

例2：已知两个不同的单位分数之和是

的最小值是多少？

1. 12的所有约数：1，2，3，4，6，12。

2. 分组：

第一组：（1，2）、（2，4）、（3，6）、（6，12） 第五组：（1，12）

11×(1+2) 1111×(1+12) 11=+ ==+ =1212×(1+12) 156131212×(1+2) 36181，则这两个单位分数之差的（较大分数为被减数）12

第二组：（1，3）、（2，6）、（4、12） 第六组：（2，3），（4，6）

11×(1+3) 1111×(1+2) 11==+ ==+ 1212×(1+3) 48161212×(1+2) 3020

第三组：（1，4）、（3，12） 第七组：（3，4）

2

11×(1+4) 1111×(3+4) 11==+ ==+ 1212×(1+4) 60151212×(3+2) 2821

第四组：（1，6）、（2，12）

11×(1+6) 11==+ 1212×(1+6) 8414

第七组差值最小。

分析：

11111111=+ （假设a >b，即

1111111121-=-(-) =-+=-，b 越大，结果越小。b 是怎么得来的？假设约数b a b 12b b 12b b 12

为（x ，y ）且x

111++，其中a 、b 、c 为自然数且互不相同，求a+b+c的和？ a b c

11111分析：假设a=b=c，那么1=++，三个分数中一定至少有一个比要大（若全比小33333

11的话，则和要比1小，不可能为1），a ，b ，c 为自然数，比大的单位分数只有。即可转32

111111化为1=++，那么1-=+即可转化为我们熟悉的问题。 2b c 2b c 12(x +y ) x x =12(1+) 也就是比值最大时，b 最大，即第七组（3，y y y 例3：如果1=

练习：一群酒鬼喝酒，第一瓶时倒了几个，第二瓶时又倒了几个，第三瓶时全部倒下，最后倒下的说他喝了一瓶，如果他说的是真的，那么一共有多少人？

11111=++，假设喝第一瓶的有a 个人，那么每个人喝了，以此类推第二瓶，有b 个人，a a b c

11那么每个人喝了，第三瓶，有c 个人，那么每个人喝了。最后说话的人三瓶酒都喝过了，b c

111他第一瓶喝了，第二瓶喝了，第三瓶喝了，最后他说了一句话：他只喝了一瓶。那么a b c

1111=++。 a b c

补充： 公式：111111=+=-或者 n n ×(n+1) n +1n ×(n+1) n n +1

111=+的过程： 6x y 推导：

3

6x 111x -66y ，那么y =，x = =-=x -6y 6x 6x y -6

令t=x-6，那么x=t+6

y =6(t +6) 6t +36366y ==6+，将y 代入x =中有x =6+t t t t y -6

即y =6+36 t

x =6+t 根据36为整数，知道t 为36的约数，那么可以列出t 求解。 t

板书设计： 分数的拆分 例题1、 结论： 例题2、 推导： 例题3、

课后反思：

4