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抛物线性质结论

12-13

经过抛物线

y22px的焦点F倾斜角为的直线与抛物线交于Ax1,y1,Bx2,y2。且A,B两点在准线上的投影分别

在准线上的投影为N.

为

A',B'，线段AB的中点M

结论1:焦半径

FB=x2

pp;21cos

FA=x1

pp

21cos

结论2:直线BN与抛物线相切于点B,且平分FBB'

直线AN与抛物线相切于点A,且平分FAA'.

结论3:直线被曲线截得的弦长公式：

结论4：抛物线

y22px.(pABx1x2p。

结论5：

ABAB

k1

2p．（kk22p

.(0)sin2

2

2

结论6：

结论7：抛物线

y2px.(p0)p2

x1x2,y1y2p2。

4

结论8:(1)以焦点弦在准线上的射影(A1B1)为直径的圆切焦点弦(AB)于F点。

(2)以焦点弦(AB)为直径的圆切焦点弦在准线上的射影(A1B1)于N点。

结论9：抛物线

y22px.(p0)的焦点为F,AB为过F的弦,则

112。 FBp

过抛物线

y22px(p0)的对称轴上一点Aa,0a0的直线与抛物线相交于

p2

时，求证：AM1⊥

M、N两点，自M、N向直线

l:xa作垂线，垂足分别为M1、N1。（Ⅰ）当a （Ⅱ）记AMM1、AM1N1 、AN1；

2

ANN1的面积分别为S1、S2、S3，是否存在，使得对任意的a0，都有S2S1S2成立。若存在，求出的值；若

不存在，说明理由。（09湖北理）

解：依题意，可设直线MN的方程为xmya,M(x1,y1),N(x2,y2)，则有M(a,y1),N(a,y2)

由

xmya

2

y2px

消去x可得

y1y22mp

① y22mpy2ap0从而有

y1y22ap

于是x1x2

m(y1y2)2a2(m2pa) ②

21

(y1y2)2(2ap)2

又由y2px1，y2px2可得x1x2a2 ③ 22

4p4p

2

1

（Ⅰ）如图1，当a此时M1(

p2

时，点

ppA(,0)即为抛物线的焦点，l为其准线x22

PP

,y1),N1(,y2),并由 ①可得y1y2p2 22uuuuvuuuv

证法1：QAM1(p,y1),AN1(p,y2)

uuuuvuuuv

AM1AN1p2y1y2p2p20,即AM1AN1

证法2： QKAM

1



y1y,KAN12, pp

KAM1KAN1

(Ⅱ)存在

y1y2p2

221,即AM1AN1.pp

2

4，使得对任意的a0，都有S24S1S3成立，证明如下：

证法1：记直线l与x轴的交点为A1,则

11

OAOA1a。于是有S1MM1A1M1x1a)y1;

22

111

S2M1N1AA1ay1y2;S3NN1A1N1x2a)y2

222

2

2

2

2

S24S1S3(ay1y2)2(x1a)y1(x2a)y2

a[(y1y2)4y1y2][x1x2a(x1x2)a]y1y2

。将①、②、③代入上式化简可得

a2(4m2p28ap)2ap(2am2p4a2)4a2p(m2p2a)4a2p(m2p2a)恒成立，

即对任意a0,S2

2

4S1S3成立

证法2：如图2，连接MN1,NM1,则由

y1y22ap,y122px1可得KOM

y12p2py22py2y2

KON1,x1y1y1y22apa

所以直线MN1经过原点O，同理可证直线NM1也经过原点O 又

OAOA1a，设M1A1h1,N1A1h2,MM1d1,NN1d2,则

S1

111

d1h1,S22a(h1h2)a(h1h2),S3d2h2. 222

M1M//A1A//N1A,OMAN1MN,N1AON1M1M1

h1h2aa,,即ah1h2h1d2h2d1。 ④ d2h1h2d1h1h2

2

ah1h2ah1h2s224ah1h24而。⑤

s1s2d1h1d2h2h1d2h2d1

2

将④代入⑤，即得

4，故对任意a0,s224s1s2成立。


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