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拉普拉斯变换的基本定理

11-06

本节介绍拉普拉斯变换（也称为拉氏变换）的基本性质，了解掌握了这些性质，可以更加方便地求解各种拉普拉斯正反变换。

一、线性定理

设

　　则：

　　（式9-2-1）

式中

　　为常系数。

例9-2-1  求

　　、

　　和

　　的拉氏变换。

解：

　　

同理：

　　

二、微分定理

设

　　，则：

　　（式9-2-1）

同理可推广得到

　　的高阶导数的拉氏变换式：

例9-2-2：

已知

　　，求

　　。

解：由于

　　，由（式9-2-2）得：

同理：

三、积分定理

设

　　，则：

　　（式9-2-3）

例9-2-3 求

　　。

解：斜坡函数

　　是单位阶跃函数

　　的积分，由（式9-2-3）得：

四、时域位移（延时）定理

设

　　，则：

　　（式9-2-4）

例9-2-4：求图9-2-1所示函数

　　的拉普拉斯变换式。

解：由图可知：

五、复频域位移定理

设

　　，则：

　　（式9-2-5）

例9-2-5：已知

　　

求：

　　和

　　的拉普拉斯反变换。

解：利用复频域位移定理：

六、卷积定理：

设

　　，则：

　　（式9-2-6）

例9-2-6．求

　　的拉普拉斯反变换式。

解：已知

　　，利用卷积定理得：

同理可推得：

七、初值定理

设

　　，则

例9-2-7．设

　　，验证初值定理。

解：

又：

　　，所以，得证！

八、终值定理：

设

　　，则

例9-2-8．仍设

　　，验证终值定理。

解：

　　，又

所以，得证!

注意：利用终值定理求

　　的前提条件是

　　必须存在，且是唯一确定的值。


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