dp拉普拉斯变换
拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法,其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后,变成复变量s的乘积,将时间表示的微分方程,变成以s表示的代数方程。
设有时间函数 f(t),当 t
拉普拉斯变换:在一定条件下,把实数域中的实变函数 f(t) 变换到复数域内与之等价的复变函数 F(s) 。
拉氏变换是否存在取决于定义的积分是否收敛。拉氏变换存在的条件: ① 当t≥0时,f(t) 分段连续,只有有限个间断点;
② 当t →∞时,f(t) 的增长速度不超过某一指数函数,即 f(t)Meat
基本性质:
1. 线性定理 2. 微分性质 3. 积分性质 4. 卷积定理
d2y(t)dy(t)
56y(t)6例题 解方程 2
dtdt
解:将方程两边取拉氏变换,得
s2Y(s)sy(0)
dy(0)
2,y02其中:
dt
dy(0)6
5sYsy06Ysdts
dy(0)
22 , y 0将 代入,并整理,
dt
2s212s6154Ys
ss2s3ss2s3
所以
y(t)15e4e
2t3t
第7章 拉普拉斯变换
拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法,而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用.本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用.
7.1拉氏变换的基本概念
在代数中,直接计算
N6.28
5781
9.8
是很复杂的,而引用对数后,可先把上式变换为
20(1.164)
2
35
13
lgNlg6.28(lg5781lg9.82lg20)lg1.164
35,
然后通过查常用对数表和反对数表,就可算得原来要求的数N.
这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法,而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法.
7.1.1 拉氏变换的基本概念
定义 设函数f(t)当t0时有定义,若广义积分
0
f(t)eptdt
在P的某一区域内
收敛,则此积分就确定了一个参量为P的函数,记作F(P),即
0
F(P)
f(t)eptdt
(7-1)
称(7-1)式为函数f(t)的拉氏变换式,用记号L[f(t)]F(P)表示.函数F(P)称为f(t)的拉氏变换(Laplace) (或称为f(t)的象函数).函数f(t)称为F(P)的拉氏逆变换(或称为F(P)象原函数),记作
L1[F(P)]f(t),即f(t)L1[F(P)].
关于拉氏变换的定义,在这里做两点说明:
(1) 在定义中,只要求f(t)在t0时有定义.为了研究拉氏变换性质的方便,以后总假定在t0时,f(t)0.
(2)在较为深入的讨论中,拉氏变换式中的参数P是在复数范围内取值.为了方便起见,本章我们把P作为实数来讨论,这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用. (3)拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数,它是一种积分变换.一般来说,在科学技术中遇到的函数,它的拉氏变换总是存在的.
例7-1 求一次函数f(t)at(t0,a为常数)的拉氏变换.
0
L[at]
解
ate
pt
adt
p
0
td(e
pt
ata
)[ept]0
pp
0
eptdt
apta
e]0
0p2p2 (p0).
7.1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换
a0
p
eptdt[
在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时,要涉及到我们要介绍的脉冲函数,在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t0)进入一单位电量的脉冲,现要确定电路上的电流i(t),以Q(t)表示上述电路中的电量,则
0,t0,Q(t)
1,t0.
由于电流强度是电量对时间的变化率,即
i(t)
dQ(t)Q(tt)Q(t)
limt0dtt,
所以,当t0时,i(t)0;当t0时,
i(0)lim
Q(0t)Q(0)1
lim()
t0t0tt.
上式说明,在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强
度.为此,引进一个新的函数,这个函数称为狄拉克函数.
定义
(t)
设
0,
0,t01
,0t
t
,当
0
0时,(t)的极限
(t)lim(t)
称为狄拉克(Dirac)函数,简称为函数.
0,t0(t)
(t)(t),t0.(t)当t0时,的值为0;当t0时,的值为无穷大,即
和
(t)的图形如图7-1和图7-2所示.
显然,对任何0,有
(t)dt
1
dt1
,所以
(t)dt1
.
工程技术中,常将函数称为单位脉冲函数,有些工程书上,将函数用一个长度等于1的有向线段来表示(如图7-2所示),这个线段的长度表示函数的积分,叫做
函数的强度.
例7-2 求(t)的拉氏变换. 解 根据拉氏变换的定义,有
L[(t)]
000
ptppp
1e11e1(1e)1pelim[]limlimlim100000ppp()p1,
(t)e
pt
dt
(lim)e
0
1
pt
dtlim
0e
pt
dtlim
1
eptdt
即L[(t)]1.
0,
u(t)
1,例7-3 求单位阶梯函数t0
t0的拉氏变换.
0
L[u(t)]
解 例7-4求指
0
u(t)e
pt
dt
1eptdt[
1pt1e]0pp,(p0).
L[e]
解
at
0
f(t)eat(a为常数)的拉氏变换.
1atpt
(pa)eedte(pa)tdt
pa0
,即
L[eat]
L[sint]
类似可得
1
(pa)pa.
L[cost]
;
p22
(p0)
p
(p0)
p22
.
习题7–1
求1-4题中函数的拉氏变换 1.f(t)e
4t
.
2.f(t)t. 3.f(t)te
4.f(t)sin(t)(,是常数).
at
2
7.2 拉氏变换的性质
拉氏变换有以下几个主要性质,利用这些性质,可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换.
性质1 (线性性质) 若 a1,a2是常数,且L[f1(t)]F1(p),L[f2(t)]F2(p),则
L[a1f1(t)a2f2(t)]a1L[f1(t)]a2L[f2(t)]a1F1(P)a2F2(p). (7-2)
证明
L[a1f1(t)a2f2(t)]
0
[a1f1(t)a2f2(t)]e
pt
dta1
0
f1(t)e
pt
dta2
0
f2(t)eptdt
a1L[f1(t)]a2L[f2(t)]a1F1(p)a2F2(p). 例7-5 求下列函数的拉氏变换:
(1)解
f(t)
1
(1eat)a; (2)f(t)sintcost.
(
1
)
1111111
L[(1eat)]L[1eat]{L[1]L[eat]}aaaappap(pa). 1121
L[sintcost]L[sin2t]2
22p22p24. (2)
性质2(平移性质) 若L[f(t)]F(p),则
at
L[ef(t)]F(pa) (a为常数). (7-3)
0
0
L[ef(t)]
证明
at
ef(t)e
at
atpt
dt
f(t)e(pa)tdtF(pa)
.
位移性质表明:象原函数乘以e等于其象函数左右平移例7-6 求 L[te],L[e
at
at
a
个单位.
sint]和 L[eatcost].
p1
L[cost]L[sint]22222
ppp解 因为,,,由位移性质即得
1at
L[teat],L[esint],222
(pa)(pa)
pa
L[eatcost]。
(pa)22
性质3(滞后性质) 若L[f(t)]F(p),则
L[t]
L[f(ta)]eapF(p) (a0). (7-4) L[f(ta)]
证明
0
f(ta)e
pt
dt
=
a0
f(ta)e
pt
dt
a
f(ta)eptdt
,
在拉氏变换的定义说明中已指出,当t0时,f(t)0.因此,对于函数f(ta),当
ta0(即ta)时,f(ta)0,所以上式右端的第一个积分为0,对于第二个积分,令ta,则
00
ap
滞后性质指出:象函数乘以e等于其象原函数的图形沿t轴向右平移a个单位(如图7-3所示).
L[f(ta)]
f()e
p(a)
de
ap
f()epdeapF(p)
由于函数f(ta)是当ta时才有非零数值.故与f(t)相比,在时间上滞后了一个a值,正是这个道理,我们才称它为滞后性质.在实际应用中,为了突出“滞后”这一特点,常在f(ta)这个函数上再乘u(ta),所以滞后性质也表示为
L[u(ta)f(ta)]eapF(p).
例7-7 求L[u(ta)].
11
L[u(ta)]eap
p. 解 因为L[u(t)]p,由滞后性质得
a(t)L[eu(t)]. 例7-8 求
L[eat]
解 因为
例7-9 求下列函数的拉氏变换:
11
L[ea(t)u(t)]ep,(pa)
pa,所以pa.
c,0ta,f(t)1
at. (2)c2,(1)
3,0t2,
f(t)1,2t4,
0,4t.
解 (1)由图7-4容易看出,当ta时,f(t)的值是在c1的基础上加上了(c2c1),即(c2c1)u(ta).故可把f(t)写成f(t)c1u(t)(c2c1)u(ta),于是
c1c2c1apc1(c2c1)eap
L[f(t)]e
ppp.
(2)仿(1),把f(t)写成f(t)3u(t)4u(t2)u(t4),于是
34e2pe4p34e2pe4p
L[f(t)]
pppp.
我们可以用拉氏变换定义来验算例7-9所得的结果.由例7-9看出,用单位阶梯函数可
将分段函数的表达式合写成一个式子.
0,t0c,0taf(t)
2c,at3a0,t3a,求L[f(t)]. 例7-10 已知
解:如图7-5所示,f(t)可用单位阶梯函数表示为f(t)cu(t)cu(ta)2cu(t3a),于是
L[f(t)]L[cu(t)cu(ta)2cu(t3a)
cccc
eap2e3ap(1eap2e3ap)
pp pp,
由拉氏变换定义来验证:
a0
3aa
L[f(t)]
ce
pt
dt
2ceptdt
cc
(1eap2eap2e3ap)(1eap2e3ap)pp.
性质4(微分性质) 若L[f(t)]F(p),并设f(t)在[0,+上连续,f(t)为分段
连续,则
L[f(t)]pF(p)f(0). (7-5)
证明 由拉氏变换定义及分部积分法,得
L[f(t)]
0
f(t)e
pt
dt[f(t)e
pt
]P
0
f(t)eptdt
,
可以证明,在L[f(t)]存在的条件下,必有 t
limf(t)ept0
.因此,
微分性质表明:一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数p,再减去函数的初始值.
应用上述结果,对二阶导数可以推得
L[f(t)]0f(0)pL[f(t)]pF(p)f(0).
L[f(t)]pL[f(t)]f(0)p{pF(p)f(0)}f(0)p2F(p){pf(0)f(0)}.
同理,可得
L[f(t)]p3F(p){p2f(0)pf(0)f(0)}.
以此类推,可得
L[f(n)(t)]pnF(p){pn1f(0)pn2f(0)f(n1)(0)}. (7-6)
由此可见,f(t)各阶导数的拉氏变换可以由p的乘方与象函数F(p)的代数式表示出
(n1)
f(0)f'(0)f''(0)f(0)0时,有更简单的结果 来.特别是当初值
L[f(n)(t)]pnF(p),(n1,2,). (7-7)
利用这个性质,可将f(t)的微分方程转化为F(p)的代数方程. 例7-11 利用微分性质求L[sint]和L[cost].
2
f(t)sintf(0)0,f(0),f(t)sint,由7-6式,得 解 令,则
L[2sint]L[f(t)]p2L[f(t)]pf(0)f(0),
即
2L[sint]p2L[sint],
移项化简得
L[sint]
cost
1
1(sint)
1
p22.
利用上述结果,
及(7-5)式,可得
L[cost]L[
1p{p20}p2p22.
(sint)]L[(sint)]
1
{pL[sint]sin0}
性质5(积分性质) 若L[f(t)]F(p)(p0),且设f(t)连续,则
t0
L[
f(x)dx]
F(p)
p. (7-8)
(t)
证明 令
t0
f(x)dx
,显见(0)0,且因(t)f(t),由微分性质,得
t0
t
L[(t)]pL[(t)](0),而L[(t)]L[f(t)]F(p),所以有
,即
积分性质表明:一个函数积分后再取拉氏变换,等于这个函数的象函数除以参数p.
F(p)pL[(t)]pL[
f(x)dx]L[
2
f(x)dx]
1
F(p)p.
n
例7-12 求L[t](n是正整数).
t
解 因为由(7-8)式即得
t0
1dx,t
2
t0
2xdx,t
1
3
t0
3xdx
,„,
t
n
t0
nxn1dx
,所以
L[1]p1!
L[t]L[1dx]2,
0pppt
2L[t]2!2
L[t]L[2xdx]3,
0pp
t
L[t]L[3
3
„„„„„„„„ 一般地,有
n
t0
3L[t2]3!
xdx]4,
pp
2
nL[tn1]n!
L[t]L[nxdt]n1
0pp.
性质6 若L[f(t)]F(p),则a0时
1p
L[f(at)]F()
aa. (7-9)
性质7 若L[f(t)]F(p),则
t
n1
L[tnf(t)](1)nF(n)(p). (7-10)
性质8 若L[f(t)]F(p),且t0
lim
f(t)
t存在,则
f(t)L[]
t
例7-13 求L[tsint].
L[sint]
p
F(p)dp
. (7-11)
22p解 因为,由(7-10)式可得
d2p
L[tsint](1)(2)
dpp2(p22)2.
sintL[]
t例7-14 求.
L[sint]
解 因为
1sint
lim12
p1,而且t0t,所以由(7-11)式可得
sint1
L[]dparctgp|arctgpp2
pt2p1.
即
0
sintpt
edtarctgpt2.因此,当p0时,得到一个广义积分的值
0
sint
dtt2.
这个结果用原来的广义积分的计算方法是得不到的.
现将拉氏变换的八个性质和在实际应用中常用的一些函数的象函数分别列表如下:
习题7-2
求5-12题中函数的拉氏变换
4t3e5.. 6.5sin2t3cost. 3
7.sin2tcos2t. 8.sint.
1,0t4,
9.f(t)1,
sint,0t,
10.f(t)t,
t4.t.
0,0t2,1,2t4,
11.f(t)0,
4t.
nat
12.f(t)te.
7.3 拉氏变换的逆运算
前面我们主要讨论了怎样由已知函数f(t)求它的象函数F(p)的问题.运算法的另一面是已知象函数F(p)要求它的象原函数f(t),这就是拉斯逆变换问题.同时把常用的拉氏变换的性质用逆变换形式一一列出. 性质1(线性性质)
L1[a1F1(p)a2F2(p)]a1L1[F1(p)]a2L1[F2(p)]a1f1(t)a2f2(t).
性质2(平移性质) L[F(pa)]eL[F(p)]ef(t).
1ap
L性质3(滞后性质) [eF(p)]f(ta)u(ta).
1
at
1
at
例7-15 求下列象函数的逆变换:
11
F(p)3
(p2)p3(1); (2);
2p54p3
F(p)F(p)22
pp4. (3); (4)
F(p)
解 (1)将a3代入表二(5),得 (2)由性质2及表二(4),得
1
f(t)L1[
1
]e3t
p3.
1e2t12!122t2t11f(t)L[]eL[]L[]te33322(p2)pP.
(3)由性质1及表二(2)、(3),得
f(t)L1[
2p51111]2L[]5L[2]25t2
ppp.
(4)由性质1及表二(9)、(10),得
f(t)L1[
4p3p31231]4L[]L[]4cos2tsin2t222
2p4p42p4.
F(p)
例7-16 求
2p3
p22p5的逆变换.
f(t)L1[
解
2p312(p1)5]L[]22p2p5(p1)4
p1512
]L[]22
(p1)42(p1)4
p52
2etL1[2]etL1[2]
2p4p4 55
2etcos2tetsin2tet[2cos2tsin2t]
22 .
2L1[
在运用拉氏变换解决工程技术中的应有问题时,通常遇到的象函数常常是有理分式,对
于有理分式一般可采用部分分式方法将它分解为较为简单的分式之和,然后再利用拉氏变换表求出象原函数.
F(p)
例7-17 求解
先
将
p9
p25p6的逆变换. F(p)
分
解
为
两
个
最
简
分
式
之
和
:
p9p9AB
p25p6(p2)(p3)p2p3,
p976
2
p5p6p2p3,于是 A7B6用待定系数法求得,,所以
7611
f(t)L1[F(p)]L1[]7L1[]6L1[]7e2t6e3t
p2p3p2p3.
F(p)
例7-18 求
p3
p34p24P的逆变换.
解 先将F(p)分解为几个简单分式之和:
p3p3ABC
pp2(p2)2, p34p24PP(p2)2
331A,BC
442,所以 用待定系数法求得
331
p3F(p)3
p4p24Ppp2(p2)2,
于是
313111
]24p4p22(p2)
313111L1[]L1[]L1[]2
p4p22(p2) 4
331e2tte2t
2 44.
f(t)L1[F(p)]L1[
习题7-3
求13-18题中函数的拉氏逆变换
F(p)
13.
4p2
F(p)2
p16. p3. 14.
2p81
F(p)
p236. 16.p(p1)(p2).
F(p)
15.
p21p22
F(p)F(p)322
P(P1)p6p9p17.. 18..
7.4 拉氏变换应用举例
下面举例说明拉氏变换在解常微分方程中的应用.
例7-19 求微分方程x(t)2x(t)0满足初值条件x(0)3的解. 解 第一步 对方程两边取拉氏变换,并设L[x(t)]X(p):
L[x'(t)2x(t)]L[0],
L[x(t)]2L[x(t)]0, pX(p)x(0)2X(p)0.
将初始条件x(0)3代入上式,得
(p2)X(p)3.
这样,原来的微分方程经过拉氏变换后,就得到了一个象函数的代数方程.
3
第二步 解出X(p):X(p)=p2.
x(t)L1[X(p)]L1[
第三步 求象函数的拉氏逆变换:
2t
x(t)3e这样就得到了微分方程的解.
3
]3e2t
p2.
由例7-19可知,用拉氏变换解常系数线性微分方程的方法的运算过程如表7-3:
例7-20 求微分方程满足初值条件y(0)2,y(0)1的解.
解 对所给微分方程的两边分别作拉氏变换.设L[y(t)]Y(p)Y,则得
[p2Ypy(0)y(0)]3[pYy(0)]2Y
将初值条件y(0)2,y(0)1代入,得到Y的代数方程
2
p1.
2p25p522
(p3p2)Y2p7(p3p2)Y
p1p1,即.
2
解出Y,得
2p25p5Y
(p1)(p2)(p1).
将上式分解为部分分式
17
4
Yp1p1p2,
再取拉氏逆变换,就得到满足所给初值条件的方程的特解为
17y(t)et4ete2t
33.
用拉氏变换还可以解常系数线性微分方程组.
习题 7-4
用拉氏变换求解19-22题中的微分方程
di
5i10e3t,i(0)0
19.dt.
d2y
2y0,y(0)0,y'(0)2
20.dt.
,y(0)3,y'(0)3. 21.y''(t)3y'(t)2y(t)4
22.
y''(t)16y(t)32t,y(0)3,y'(0)2.
本章内容
本章主要内容为:
1.拉氏变换的概念和性质;拉氏变换的逆变换. 2.拉氏变换与逆变换之间有如下框图所示的关系:
4
自测题七
求1-5题中函数的拉氏变换
1.
0,0t1,
f(x)1,1t2,
2,2t.
2.f(t)5sin2t3cos2t.
t2
f(t)1tef(t)8sin3t3.. 4..
nat
f(t)te. 5.
求6-9题中象函数的逆变换
F(p)
6.
13p9
F(p)
p(p1)2. 7.p22p10.
5p215p72epe2p
F(p)F(p)3
(p1)(p2)p8.. 9..