数学分析傅立叶级数习题
第十五章 傅里叶级数
一．填空题
1. 设f (x ) 是周期为2π的函数，在[-π, π) 上的表达式为
⎧π
⎪-, -π≤x
f (x ) =⎨0, x =0, ，则f (x ) 的傅里叶系数a n =⎪π⎪, 0
a 0∞
+∑(a n cos nx +b n sin nx )= . 2n =1
⎧x ,
3. 设f (x ) =⎨
⎩0, 于 .
0≤x ≤π-π≤x
, 则此函数的傅里叶级数在x =π处收敛
⎧-x 2, -π
4. 设f (x ) =⎨0, x =0, ，则此函数的傅里叶级数在x =0处收敛
⎪2
⎩x , 0
于 .
⎧0, -5≤x
5. 设f (x ) ⎨，则此函数的傅里叶级数在x =0处收敛于3, 0≤x
a 0∞
+∑(a n cos nx +b n sin nx )= . 2n =1
二．选择题
1. 下列说法正确的是（ ）
A . 若f (x ) 是以2π为周期的函数，且在[-π, π]上可积，则f (x ) 的傅里叶系数中
的b n =⎰f (x ) sin nxdx ，n =1, 2, 3,
-π
π
B . 若f (x ) 是以2l 为周期的函数，且在[-l , l ]上可积，则f (x ) 的傅里叶系数中的
a n =⎰f (x ) cos
-l
l
n πx
dx ，n =1, 2, 3, l
C . 若f (x ) 是以2π为周期的偶函数，且在[-π, π]上按段光滑，则f (x ) 在[-π, π]上
可展开成余弦级数∑a n cos nx .
n =1
∞
D . 若f (x ) 是以2π为周期的奇函数，且在[-π, π]上按段光滑，则f (x ) 在[-π, π]上
可展开成正弦级数∑b n sin nx .
n =1
∞
⎧π
⎪-, -π≤x
2. 设f (x ) 是周期为2π的函数，在[-π, π) 上的表达式为f (x ) =⎨0, x =0, ，
⎪π⎪, 0
A . f (x ) 在(-π, π) 上可以展开成傅里叶级数. B . f (x ) 的傅里叶展式在x =π处收敛于
π. 4
C . f (x ) 的傅里叶展式在x =0处收敛于0. D . f (x ) 的傅里叶系数a n =0.
3. 设函数f (x ) 满足f (x +π) =-f (x ) ，则该函数的傅里叶级数具有性质（ ）
A . a n =0 B . b n =0 C . a 2n =b 2n =0 D . a 2n -1=b 2n -1=0
⎧-4, -π
⎩4, 0≤x
A . f (x ) 的傅里叶展式在x =0处收敛于4.
B . f (x ) 的傅里叶展式在x =-π处收敛于-4. C . f (x ) 的傅里叶展式在x =π处收敛于4. D . f (x ) 的傅里叶展式在x =±π处均收敛于0.
⎧1-x , 0
5. 将f (x ) =⎨在(0, 4) 上展开成余弦级数，则下面关说法错误的是
x -3, 2
A . f (x ) 的傅里叶展式在x =2处收敛于-1.
B . f (x ) 的傅里叶展式在x =0处收敛于1. C . f (x ) 的傅里叶展式在x =4处收敛于1. D . f (x ) 的傅里叶展式在x =3处收敛于1.
6. 若将函数f (x ) =x 在(0, 2) 内展成正弦级数，则下列说法正确的是（ ）
A . a 0=4
B . f (x ) 的正弦级数展式在x =2处收敛于2. C . 当x ∈(0, 2) 时，展成的正弦级数收敛于f (x ) 本身. D . f (x ) 在(0, 2) 内不能展成余弦级数
三．判断题
1. 1, cos x , sin x , cos 2x , sin 2x , , cos nx , sin nx , 是[-π, π]上的正交函数系. ( ) 2. 若f (x ) 是以2π为周期的函数，且在[-π, π]上按段光滑，则f (x ) 在[-π, π]上的傅里叶级数收敛于f (x ) 本身. （ ）
3. 若f (x ) 在[-π, π]上按段光滑，则f (x ) 在[-π, π]上可以展成傅里叶级数. （ ）
4. 函数f (x ) 是在[-π, π]上的周期函数，且在[-π, π]上按段光滑，则f (x ) 在
[-π, π]上可以展成正弦级数. （ ）
5. 函数f (x ) 的傅里叶级数在连续点处收敛于该点的函数值. ( )
⎧x ,
6. 设函数f (x ) =⎨
⎩0, ( )
0≤x ≤π-π≤x
, 则此函数的傅里叶级数在x =-π处收敛于0.
7. 1, cos x , sin x , cos 2x , sin 2x , , cos nx , sin nx , 是[0, π]上的正交函数系. ( ) 8. f (x ) =x 在(0, 2) 上不能展成余弦级数. ( ) 9. f (x ) =cos
x
在[0, π]上不能展成正弦级数. ( ) 2
|a 0|∞a 0∞
10. 若级数则级数+∑(a n cos nx +b n sin nx )在整个+∑(|a n |+|b n |)收敛，
22n =1n =1
数轴上一致收敛. ( ) 四．计算题
π-x
1. （1）将f (x ) =在[0, 2π]上展开成傅里叶级数；
2
π111
（2）利用展开式证明：=1-+-+
43572. 将f (x ) =x 在(-1, 1) 上展开成傅里叶级数. 3. （1）将f (x ) =x 在[0, 1]上展开成余弦级数； （2）根据展开式求∑
n =1∞
1
(2n -1)
2
.
4. 将f (x ) =e x 在[0, π]上展开成正弦级数.
⎧C , -T
5. 求f (x ) =⎨（C 是常数）在[-T , T ) 上的傅里叶展开式.
⎩0, 0≤x
1. 设f (x ) 在[-π, π]上可积或绝对可积，若对∀x ∈[-π, π]，成立f (x +π) =f (x ) ，证明：a 2n -1=b 2n -1=0.
2. 设周期为2π的可积函数f (x ) 在[-π, π]的傅里叶系数为a n , b n ，函数g (x ) 的傅
~~~, b ~=a , b g (x ) =f (-x ) 里叶系数为a ，且，证明：a n n n n n =b n .
11π2
3. 根据f (x ) =(x -1) 在(0, 1) 的余弦级数展开式证明1+2+2+ =.
623
2
∞
a 022
4. 已知帕萨瓦尔等式为⎰[f (x )]dx =（a n , b n 为f (x ) 的傅+∑(a n +b n ) ，
-ππ2n =1
1
π
2
2
11π4(-1) n
里叶系数），利用x =. +4∑2cos nx , x ∈(-π, π) 证明1+4+4+ =
90233n n =1
2
π2
∞
(-1) n
5. 已知x =+4∑2cos nx , x ∈(-π, π) ，利用逐项积分法证明x 3在(-π, π)
3n =1n
2
∞
π2
(-1) n (6-π2n 2)
的傅里叶级数为2∑sin x 3
n n =1
∞
第十六章——第十七章
一、判断题
1、设平面点集D ={(x , y ) x , y ∈Z }，则(0,0)为其内点。 ( )
2、若累次极限lim lim f (x , y ) 与lim lim f (x , y ) 存在且相等，则重极限
x →x 0y →y 0
y →y 0x →x 0
x →x 0y →y 0
l i m f x (y , 必存在。) ( )
3、若累次极限lim lim f (x , y ) 存在，则累次极限lim lim f (x , y ) 也存在。
x →x 0y →y 0
y →y 0x →x 0
( )
4、若重极限lim f (x , y ) 存在，则累次极限lim lim f (x , y ) 与必lim lim f (x , y ) 存
x →x 0
y →y 0
x →x 0y →y 0y →y 0x →x 0
在。( )
5、若函数f (x , y ) 在有界集D 上连续，则f (x , y ) 在D 上有界。( ) 6、若函数f (x , y ) 在闭域D 上连续，则f (x , y ) 在D 上有界。( )
7、若函数f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处沿任何方向的方向导数都存在，则f (x , y ) 在点
(x 0, y 0) 处可微。( )
8、若函数f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处的偏导数f x '(x 0, y 0) ，f y '(x 0, y 0) 都存在，则
f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处连续。( )
9、若函数f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处的偏导数f x '(x 0, y 0) ，f y '(x 0, y 0) 都存在，则
f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处可微。( )
10、若函数f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处可微，则函数f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处的偏导数
f x '(x 0, y 0) ，f y '(x 0, y 0) 都存在。( )
11、若函数f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处可微，则f x '(x , y ), f y '(x , y ) 在该点处连续。( ) 12、若f (x , y ) 在其定义域的内点(x 0, y 0) 处连续⇔f (x , y 0) 在x 0和f (x 0, y ) 在y 0都连续 ( )
13、若f (x , y ) 在其定义域的内点(x 0, y 0) 处连续⇒f (x , y 0) 在x 0和f (x 0, y ) 在y 0
都连续 ( )
14. 若函数f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处沿任何方向的方向导数都存在，则f (x , y ) 在点
(x 0, y 0) 处偏导数存在。
15. 若f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处偏导数存在，则函数f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处沿x 轴正向和负向的方向导数都存在，且互为相反数. 二、选择题
1、若lim f (x , y ) =A 对任何k 都成立，则必有( )
x →0
y =kx
(A) f (x , y ) 在(0,0)处连续 (B) f (x , y ) 在(0,0)处有偏导数 (C) lim f (x , y ) =A (D) lim f (x , y ) =A 不一定存在
x →0y →0
x →0y →0
2、f x (x , y ), f y (x , y ) 连续是z =f (x , y ) 可微的( ) (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件
3、二元函数z =f (x , y ) 在(x 0, y 0) 处可微的充分条件是（ ） （A ）f (x , y ) 在(x 0, y 0) 处连续；
（B ）f x '(x , y ) ，f y '(x , y ) 在(x 0, y 0) 的某邻域内存在；
（C ） ∆z -f x '(x 0, y 0) ∆x -f y '(x 0, y 0) ∆y 当(∆x ) 2+(∆y ) 2→0时，是无穷小； （D ）lim
∆z -f x '(x 0, y 0) ∆x -f y '(x 0, y 0) ∆y
(∆x ) +(∆y )
2
2
∆x →0
=0。
∆y →0
⎧xy 2
, ⎪
4、设函数f (x , y ) =⎨x 2+y 2
⎪0, ⎩
x 2+y 2≠0x 2+y 2=0
, 则在点(0,0)处（ ）
（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。
5、设f x '(a , b ) 存在，则lim
x →0
f (x +a , b ) -f (a -x , b )
=（ ）
x
（A ）f x '(a , b ) （B ）0 （C ）2f x '(a , b ) （D ）6、函数z =arcsin
y
+xy 的定义域是（ ） x
1
f x '(a , b ) 2
（A ）{(x , y ) |x ≤y , x ≠0}； （B ）{(x , y ) |x ≥y , x ≠0}； （C ）{(x , y ) |x ≥y ≥0, x ≠0} {(x , y ) |x ≤y ≤0, x ≠0}； （D ）{(x , y ) |x >0, y >0} {(x , y ) |x
⎧x 2y
, ⎪22
7、设f (x , y ) =⎨x +y
⎪0, ⎩
(x , y ) ≠(0, 0) (x , y ) =(0, 0)
，在点(0,0)处，
下列结论（ ）成立。
（A ）有极限，且极限不为0 （B ）不连续 （C ） f x '(0, 0) =f y '(0, 0) =0 （D ）可微
∂2f
8、设函数z =f (x , y ) 有2=2，且f (x , 0) =1，f y '(x ,0) =x ，则f (x , y ) =（ ）
∂y （A ）1-xy +y 2 （B ）1+xy +y 2 （C ）1-x 2y +y 2 （D ）1+x 2y +y 2
∂2f ∂2f
9、设函数f (x , y ) 满足方程2=2及条件f (x , 2x ) =x ，f x '(x , 2x ) =x 2
∂x ∂y
''(x , 2x ) =(则f xx (A)
)
4x 4x 5x 5x
(B) - (C) (D) - 3333
10、二元函数f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处的两个偏导数f x '(x 0, y 0) ，f y '(x 0, y 0) 存在是
f (x , y ) 在该点连续的（ ）
(A) 充分条件非必要条件 (B) 必要条件非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件
11、设函数f (x , y ) 在点(0,0)附近有定义，且f x '(0, 0) =3，f y '(0, 0) =1，则 （ ）成立。 (A) dz
(0, 0)
=3dx +dy
(B)曲面z =f (x , y ) 在点(0,0，f (0,0))处的法向量为(3,1,1)
⎧z =f (x , y )
(C)曲线⎨在点(0,0，f (0,0))处的切向量为(1,0,3)
⎩y =0⎧z =f (x , y )
(D)曲线⎨在点(0,0，f (0,0))处的切向量为(3,0,1)
y =0⎩12、已知
(x +ay ) dx +ydy
为某个函数的全微分，则a =（ ）
(x +y ) 2
(A)-1 (B) 0 (C) 1 (D) 2
13、下列命题正确的是（ ）
(A) 若f (x , y ) 在(x 0, y 0) 处可微，则f x '(x , y ), f y '(x , y ) 在该点处连续； (B) 若f (x , y ) 在(x 0, y 0) 处可微，则f x '(x 0, y 0), f y '(x 0, y 0) 存在；
(C) 若f (x , y ) 在(x 0, y 0) 处f x '(x 0, y 0), f y '(x 0, y 0) 都存在，则f (x , y ) 在(x 0, y 0) 处连
续；
(D) 若f (x , y ) 在(x 0, y 0) 处的二阶偏导数都存在，则f x '(x , y ), f y '(x , y ) 在(x 0, y 0) 处连续。
14、下列论述正确的是（ ） (A) f (x , y ) 的极值点必是f (x , y ) 的驻点； (B) f (x , y ) 的驻点必是f (x , y ) 的极值点；
(C) 可微函数f (x , y ) 的极值点必是f (x , y ) 的驻点； (D) 可微函数f (x , y ) 的驻点必是f (x , y ) 的极值点。
15、函数u =ln (xy -z ) +2yz 在点(1, 3, 1) 沿方向l =(1, 1, -1) 的方向导数等于（ ）
(A)
151553
(B) (C) - (D) 2662
2
→
16、极限lim
y →0
xy
之值为（ ）
x →0
3x 4+y 2
11 (D) 34
(A) 0 (B)不存在 (C)
∂2u
17、设u =f (x +y , xz ) 有二阶连续偏导数，则=（ ）
∂x ∂z
''+(x +z ) f 12''+xz f 22'' (B) x f 12''+xz f 22'' (A) f 2'+x f 11
''+xz f 22'' (D) xz f 22'' (C) f 2'+x f 12
18、若f x '(x 0, y 0) ，f y '(x 0, y 0) 存在，则f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处( )
(A) 一定不可微 ( B)一定可微 (C) 有意义 (D)无意义
19、设二元函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处的两个偏导数
f x (x 0, y 0) =f y (x 0, y 0) =0，则点(x 0, y 0) 一定是函数f (x , y ) 的（ ） (A) 极大值点 (B) 极小值点 (C) 极值点 (D) 驻点 20、函数z =x -y 的定义域为（ ）
(A)
x >0, y >0
(B) x ≥y , y ≥0 (C) x >y , y >0
(D)x ≥0, y ≥0
21、设z =arctan(x +y ) ，则
∂z
=（ ） ∂y
sec 2(x +y ) 1-1
(A) (B) (C) (D) 222
1+(x +y ) 1+(x +y ) 1+(x +y ) 1-(x +y )
2
;
2
2
→
22、函数u =3x y -2y +4x +6z 在原点沿l =(2, 3, 1) 方向的方向导数（ ）
(A) -
8∂u
=∂l
( B)
8 (C) -
86
(D)
86
23、设z =f (x , y ) 在(x 0, y 0) 处的偏导数f x (x 0, y 0) 存在，则f x (x 0, y 0) =（ ）
(A) lim
h →0
f (x 0+h , y 0+h ) -f (x 0, y 0) f (x 0+h , y 0) -f (x 0-h , y 0)
(B) lim
h →0h h f (x 0, y 0) -f (x 0-h , y 0) f (x 0-h , y 0) -f (x 0, y 0)
(D) lim
h →0h h
(C) lim
h →0
24、函数f (x , y ) =x 2+y 2-1+ln(4-x 2-y 2) 的定义域是（ ）
(A)(x , y )
lim
x →0
y →0
{}{{
}
{}}
f (x , y ) -xy
(x
2
+y
22
)
=1
则下列四个选项中正确的是（ ）
(A) 点(0,0)不是f (x , y ) 的极值点 (B) 点(0,0)是f (x , y ) 的极大值点;
(C) 点(0,0)是f (x , y ) 的极小值点 (D) 根据所给条件无法判断点
(0,0)是否为f (x , y ) 的极值点
26、设u =ϕ(x , y ) 的偏导数连续，ω=f (u ) 可导，则必有（ ）
∂u ∂u
j ; (A)grad ω=f '(u ) gradu ; (B)grad ω=i +
∂x ∂y ⎛∂f ∂f
(C)grad ω= i + ∂y ⎝∂x
∂ϕ∂ϕ⎫
i +j j ⎪f '(u ) ; (D)grad ω=
∂x ∂y ⎭
⎧12
⎪sin x y ,
27、设f (x , y ) =⎨xy
⎪0, ⎩
xy ≠0xy =0
，则f x (0,1)=（ ）
1
(A)0 (B)1 (C)-1 (D)
2
⎧⎪z =28..
曲线⎨在点(1,1处的切线与y 轴的夹角为（ ）
⎪⎩
x =1,
ππππ
B. C. D. -
6 6 3 4
29. 设z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处取得极小值，则函数ϕ(y ) =f (x 0, y ) 在y 0处( ) A.
A. 取得极小值 B. 取得极大值 C. 取得最小值 D. 取得最大值
⎛x 2y 2⎫x 2y 230. 函数z =1- 2+2⎪(a >0, b >0) 在点P 处沿曲线2+2=1在此
⎝a
b ⎭
a b 点的内法线方向的方向导数为（ ） 2
A.
B
C.
2
31. 设可微函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处取得极小值，则下列结论正确的是（ A. f (x 0, y ) 在y =y 0处的导数等于0 B. f (x 0, y ) 在y =y 0处的导数大于0
C. f (x 0, y ) 在y =y 0处的导数小于0 D. f (x 0, y ) 在y =y 0处的导数不存在32. 设函数f (x , y ) 在点(0,0)附近有定义，且f x (0,0)=3, f y (0,0)=1 ，则（ ） A. dz =3dx +dy
B. 曲面z =f (x , y ) 在点(0,0,f (0,0))的法向量为(3,1,1)
C. 曲线⎧⎨z =f (x , y ) 在点(0,0,⎩y =0f (0,0))的切向量为(1,0,3)
D. 曲线⎧⎨z =f (x , y )
=0
在点(0,0,f (0,0))的切向量为(3,0,1)
⎩y 三、填空题
1、设平面点集
D ={(x , y ) x 2}，则D '=( ) ∂D =( ) 。2、设平面点集D ={(x , y ) xy ≠0}，则D '=____,∂D =______。 3、设f (x , y )=
2xy x 2+y 2
，则
f (1,y
x )=_____。 4、lim
3-+xy
x →0y →0
xy
=。
5、设u =⎰yz
e t 2
dt ， 则
∂u
xz
∂z
=。 ）
6、函数f (x , y ) =xy +s i n x (+2y ) 在点（0，0）处沿=(1, 2) 的方向导数
∂f ∂l
(0, 0)
y
7、设f (x +y , ) =x 2-y 2，则f (x , y ) 。
x
8、设f (x , y , z ) =x 2+2y 2+3z 2+xy +3x -2y -6z ，则gradf (1, 1, 1) =。 9、u =ln(x 2+y 2+z 2) 在M (1, -1, 2) 处的梯度为M =。
1∂2z
10、设z =f (xy ) +y ϕ(x +y ), f ，ϕ具有二阶连续导数，则 =。
x ∂x ∂y
11、若z =f (x , y ) 在点M (x 0, y 0) 处存在一阶、二阶连续偏导数，且f x '(x 0, y 0) =0，
f y '(x 0, y 0) =0，则当 时，M (x 0, y 0) 必是z =f (x , y ) 的极值点。
12、设z =x +y +f (x -y ) ，且当y =0时，z =x 2，则z =x
13、设u =() z ，则du (1, 1, 1) y ⎧⎪2
14、函数f (x , y ) =⎨
⎪1⎩
当xy =0时当xy ≠0时
的连续点的集合为D =
15、函数z =ln(1-x 2) +y -x 2+x +y -1的定义域是x 2y 2
16、设函数f (x , y ) =4，(x , y ) ≠(0, 0) ，则lim f (x , y ) = 4x →0
x +y
y →0
17、设z =e x
22
y
，则dz (1, 1)
18、椭球面x 2+2y 2+3z 2=6在点（1，1，1 ）处的切平面方程是
⎧x 2+y 2+z 2-3x =0
19、曲线⎨在点（１，１，１）处的切线方程是 。
⎩2x -3y +5z -4=0
⎧x =x (t ) ⎪
20、空间曲线⎨y =y (t ) 在任意点处的切线的切向量S =
⎪z =z (t ) ⎩
21、设F (u , v , w ) 是可微函数，且F u (2, 2, 2) =F w (2, 2, 2) =3 ，F v (2, 2, 2) =6，曲
面F (x +y , y +z , z +x ) =0通过点(1, 1, 1) ，则曲面在这点的法线方程是
∂z ∂z y
22、设z =xyf () ，其中f (u ) 可微，则x +y =
x ∂x ∂y
23、设x =x (y , z ), y =y (x , z ), z =z (x , y ) 都是由方程F (x , y , z ) =0确定的具有连续偏导数的函数，则 24、设z =⎰
x 2y 0
f (t , e t ) dt ，其中f 是二元连续函数，则dz =(
)
四、计算题
1、设f , g 均为连续可微函数，u =f (x , xy ), v =g (x +xy ) ，求2、设u (x , t ) =⎰
3、求函数u =ln(x +y 2+z 2) 在点A (0,1,0)沿A 指向点B (3,-2,2) 的方向的方向
导数。
4、求函数f (x , y ) =x 2y (4-x -y ) 在由直线x +y =6, y =0, x =0所围成的闭区域D
上的最大值和最小值。
5、在椭圆x 2+4y 2=4上求一点，使其到直线2x +3y -6=0的距离最短。 6、设u =x y , 求
z
∂u ∂u
, 。 ∂x ∂y
x +t x -t
f (z ) dz ，求
∂u ∂u , ∂x ∂t
∂u ∂u ∂u , 。
∂z ∂x ∂y
x y
7、设u =f (, ) ，f 具有连续偏导数，求du 。
y z
x y ∂2u ∂2u
8、已知函数u =yf () +xg () ，其中f , g 具有二阶连续导数，求 x 2+y
y x ∂x ∂y ∂x
的值
9、求f (x , y ) =(x -1) 2+(y -2) 2+1在区域D =(x , y ) |x 2+y 2≤20上的最大值和
最小值。
10、计算lim
x →0y →0
{}
x 2+y 2
1-+x +y
2
2
。
11、设f 具有连续导数，z =
∂z ∂z y
，求, 。 22
∂x ∂y f (x -y )
12、在椭圆3x 2+2xy +3y 2=1的第一象限部分上求一点，使得该点处的切线与坐标轴所围成的三角形面积最小，并求面积的最小值
13、设z =f (x , uv ), u =ϕ(x , v ), v =ψ(x , y ) ，且所有函数均具有连续的偏导数，求
∂z
, ∂x
∂z 。 ∂y
∂u ∂u , ∂x ∂y
14、设u =f (x , xy , xyz ) ，其中f 具有连续偏导，求15、设z =(1+xy ) x ，求dz
（7分）
x =1, y =1
⎧xu +y =1∂x ∂2y
16、设x =x (u , v ), y =y (u , v ) 是由方程组⎨所确定的隐函数，求,
∂u ∂v ∂u x -yv =0⎩
y ∂2z
17、设z =x f (u ) ，而u =，其中f (u ) 二阶可导，求
x ∂x ∂y
2
x y
18、设z =f (xy , ) +g () ，其中f 具有一阶连续偏导数，g 具有一阶连续导数，
y x
求
∂z ∂z
、 ∂x ∂y
五、证明题 1
、证明：
2、证明：lim
x →∞
y →∞
不存在
ln(1+xy )
不存在
x →0x +tan y y →0
⎧x 2y 2
, (x , y ) ≠(0,0)⎪3⎪223、设f (x , y ) =⎨(x +y )，
⎪
(x , y ) =(0,0)⎪⎩0,
证明：f (x , y ) 在点(0,0)处连续且偏导数存在，但不可微。
⎧22
x +y (
)⎪4、证明：函数f (x , y ) =⎨
⎪0, ⎩
(x , y ) ≠(0,0)(x , y ) =(0,0)
在点(0,0)处连续
且偏导数存在，可微
5、设f (x , y ) 可微，l 1与l 2是R 2上的一组线性无关向量，试证明：若
f l i (x , y ) ≡0(i =1,2) ，则f (x , y ) ≡常数
6、函数f (x , y ) 有一阶连续偏导数，f x 2+f y 2≠0对任意t ，有f (tx , ty ) =tf (x , y ) ，证明曲面z =f (x , y ) 上任一点(x 0, y 0, z 0) 处的法线与直线
x y z ==垂直 x 0y 0z 0
第18-19章
一、判断题
1. 平面曲线x 2/3+y 2/3=a 2/3(a >0) 上任一点处的切线被坐标轴所截取的线段为定长. （ ）
2. 方程cos x +sin y =e xy 在原点的邻域内不一定能确定隐函数y =f (x ). （ ） 3.
⎰
+∞
1
e -x y dy 在[a , b ],(a >0) 上不一致收敛. （ ）
2
4. 设函数组u =u (x , y ), v =v (x , y ) 与x =x (u , v ), y =y (u , v ) 互为反函数组，且它们的雅可比行列式存在，则互为倒数. （ ） 5．若含参量x 的反常积分I (x ) =⎰
+∞c
f (x , y ) dy 在[a , b ]上绝对收敛，且f (x , y ) 在
则I (x ) 在[a , b ]上连续. （ ） [a , b ]⨯[c , +∞) 上连续，二、 填空题
1
1.
已知Γ(Γ(3B(1 ) =, ) =2) =2. 若e -x +2y +3z =x +2y -3z ，则
∂z
= ∂x
222x +2y +3z =6在(1,1,1)的切平面方程3.
4. 已知函数z =e
x +3y
∂2z
，求
∂x ∂y
x 2
2
5. 求含参量积分F (x ) =⎰e -xy dy 的导数F '(x ) =.
x
6.
设Γ(⎰2) =+∞
-∞
x 2e -x dx =2
7.
由方程xyz +1=0所确定隐函数z =z (x , y ) ，在点P(1,2,-2)处的全微分 .
8. 含参量反常积分⎰0
+∞
cos xy
在 上一致收敛. 2
1+x
9. 对任何正数p , q , Γ函数和B函数之间的关系B(p , q ) 10. 利用Γ函数定义，⎰e
-∞+∞
-x 4
dx .
三、选择题
1. 隐函数定理中的四个条件是隐函数存在的（ ）条件.
A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 不必要不充分
⎧x =x (u , v ) ⎧u =u (x , y )
2. 反函数组⎨的偏导数与原函数组⎨的偏导数之间的关系为
y =y (u , v ) v =v (x , y ) ⎩⎩（ ）. A.
∂x ∂u ∂x ∂u ∂x ∂v ⋅=1 B. ⋅+⋅=1 ∂u ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
C.
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂u ∂y ∂u ⋅+⋅=2 D. ⋅+⋅=1 ∂u ∂x ∂v ∂x ∂u ∂x ∂u ∂y
⎛5⎫Γ ⎪2=3. （ ） .
⎛1⎫Γ ⎪⎝2⎭
331 A. B. C. 3D. 242
4. 2(x 3+y 3) -9xy =0在点(2，1) 的切线方程为 ( ).
A. 5x -4y -6=0 B. 5x -4y +6=0 C. 4x +5y -13=0 D. 4x -5y -13=0 5. ( ). A. ⎰e -px cos xydx 在[a , b ](p >0) 上一致收敛
0+∞
B.
⎰
+∞
xe -xy dx 在[0,b ]上一致收敛
C. ⎰
+∞
0+∞
cos xy
dx 在[-∞, +∞]上一致收敛 1+x 2
2
D. ⎰e -x y dx 在[a , b ](a >0) 上一致收敛
6. 方程sin y +xe y =0所确定的曲线y =f (x ) 在(0,0)点的切线斜率为（ ）
A ．-1 B. 1 C. 0.5 D. -0.5 7. 函数y =x xy ，则y '的值是（ ）
A. xyx
xy -1
y 2(lnx +1) y 2(lnx +1)
B. y (lnx +1) C. D.
1-x ln x 1-xy ln x
2
8. 方程x 2+y +sin xy =0在原点（0,0）的某邻域内必可确定隐函数的形式为（ ）
A. y =f (x ) B. x =g (y ) C. 两种形式都能 D. 两种形式都不能 9. 椭圆x 2+2y 2=27上横坐标与纵坐标相等的点的切线斜率为( )
A. -2 B．-0.5 C. 0.5 D. 2
四、解答题
⎧u 2+v 2-x 2-y =0
1. 求方程组⎨所确定的隐函数组x =x (u , v ), y =y (u , v )
⎩-u +v -xy +1=0
的偏导数
∂x ∂x ∂y ∂y , , , ∂u ∂v ∂u ∂v
2. 求下面的方程组所确定的隐函数组的导数：
⎧x 2+y 2+z 2=a 2dy d z ⎪
, 求. ⎨22
dx dx ⎪⎩x +y =ax +az
3. 方程xy +z ln y +e xz =1在点(0,1, 1)的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量
的函数？
4. 设z =x 2+y 2，其中y =f (x ) 为由方程x 2-xy +y 2=1所确定的隐函数，求
dz d 2z
, 2. dx dx
u
⎧⎪x =e +u sin v
5. 已知⎨，求u x , u y , v x , v y . u
⎪⎩y =e -u cos v
6. 证明对任意常数ρ, ϕ，球面x 2+y 2+z 2=ρ2与锥面x 2+y 2=z 2tan 2ϕ是正交的
7. 已知⎰e
a
b
-xy
-ax +∞e e -ax -e -bx -e -bx
，计算积分⎰(b >a >0) . dy =
0x x
8. 已知⎰a cos xydy =
b
+∞sin bx -sin ax -px sin bx -sin ax dx ,(p >0, b >a ) ． ，求I =⎰0e
x x
x b -x a
9. 求I =⎰ln x 0
1
(b >a >0).
10. 对于Γ(s ) 有Γ(s ) Γ(1-s ) =
π
π
sin s π
，(0
1
中⎰ln sin udu =-
π
2
ln 2）
1
2
应用
11.
⎰
+∞
e
-at 2
dt =
2
a
-
(a >0) ．证明⎰0t e
+∞
2
-at 2
dt =
4
a
-
32
12. 已知Γ() =
12
, 试证
⎰
+∞
-∞
x 2e -x dx =
2
2
.
13. 讨论下列含参变量的广义积分在指定区间的一致收敛性．
(1)
⎰
+∞
e -x y dy 在[a , b ](a >0) 上一致收敛；
+∞
2
（2）
⎰
xe -αx dx 在[b , +∞)(b >0) 上关于α的一致收敛性．
（3）
⎰
+∞
e -xu
sin x
dx 在[0, +∞)上一致收敛． x
+∞
（4）（I y ）=
⎰
sin x 2
dx 在y ∈[0,+∞) 中的一致收敛性． y
1+x
14. 讨论下列含参变量的广义积分在指定区间的一致收敛性．
1）I (t )=2）I (t )=3）I (
t )=4）I (x )=5）I (x )=
⎰
+∞
0+∞
e -tx dx 在(0, +∞)上一致收敛吗？
2
⎰
0e -tx x cos x 2dx 在(0, +∞)上一致收敛吗？
2
⎰
0+∞
-tx dx 在(0, +∞)上一致收敛吗？
2
⎰⎰
0+∞
xe -xy dy 在[0, b ]上一致收敛吗？ xe -xy dy 在(0, +∞)上一致收敛吗？
15. 求下列极限
(1)lim
α→0-1
⎰
1
x +α
1+α
22
dx ； (2)lim
α→00
⎰
2
x 2cos αx dx ；
1+α
（3
）lim
α→0-1+⎰ （4）lim ⎰0
α→0
dx
． 22
1+x +α
16. 1）设F (x ) =
⎰
x 2
x
e -xy dy ，求F '(x ) ．
2
2）设F (y ) = 3）设F (t )=
π
⎰(x +y )f (x )dx ，其中f (x )可导，求F ''(y )．
y
⎰
t 2
dx ⎰
x +t
x -t
sin (x 2+y 2-t 2)dy ，求F '(t )．
17. 应用含参变量积分性质计算 1）I (x )=
π
⎰
20
ln(sin2θ+x 2cos 2θ) d θ,
2）
⎰
20
ln
1+αcos x 1
⋅dx ,(|α|>1)
1-αcos x cos x
第二十章 曲线积分
一 选择题
1．设L 是连接A (-1, 0) ，B (0, 1) ，C (1, 0) 的折线，则
⎰
L
(x +y ) ds = （ ）
（A ）0 （B ）2 （C ）22 （D ）2
x 2y 222
+=1，并且其周长为S ，则 2．设L 为椭圆(3x +4y +12) ds = （ ） ⎰L 43
（A ）S （B ）6S （C ）12S （D ）24S 3．设L 以(1, 1) ，(-1, 1) ，(-1, -1) ，(1, -1) 为顶点的正方形周边，为逆时针方向，则
⎰
L
x 2dy +y 2dx = （ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）0 4．设L 是抛物线y =x 2(-1≤x ≤1) , x 增加的方向为正向，则（ ） （A ）0,
⎰
L
xds 和⎰xdy -ydx =
L
2525 （B ）0, 0 （C ）, （D ）, 0 3838
5．设L 为x 2+y 2=1，则曲线积分(x 2+y 2) ds ＝（ ）．
L
A．０； Ｂ．π； Ｃ．3π； Ｄ．２π 6. 设L 为从A （0，0）到B （4，3）的直线，则曲线积分
4
⎰
L
(x -y ) ds =（ ）
A.
⎰
(x -
4339
x ) dx ； B.⎰(x -x ) +dx ；
04416
4449
C. ⎰(y -y ) dy ； D.⎰(y -y ) +dy
0303164
7． 设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9，则
L
(2xy -2y ) dx +(x 2-4x ) dy =（ ）
A.0 ； B.18π ； C. -18π ； D. 以上答案都不对。 8．曲线弧A C
上的曲线积分和
上的曲线积分有关系( )
⎰⎰
AB
f (x , y ) ds =-⎰f (x , y ) ds =⎰
BA
f (x , y ) ds B ⎰
AB
f (x , y ) ds =⎰f (x , y ) ds =⎰
BA
f (x , y ) ds f (-x , -y ) ds
AB BA
f (y , x ) ds D ⎰
AB BA
9 设L 是平面可求面积的有界闭区域D 的边界，则D 的面积可表示为（ ）
A.
L
xdy -ydx B.
1
xdy +ydx C.2L
L
ydx D.xdy
L
二 填空题
1．设平面曲线L 为下半圆周y =--x 2，则曲线积分
⎰
L
(x 2+y 2) ds = 。
2．设L 是由点O(0,0)经过点A(1,0) 到点B(0,1)的折线，则曲线积分3．设设L 是由原点O 沿y =x 2到点A (1, 1) ，则曲线积分4．设L 是由点A (1, -1) 到B (1, 1) 的线段，则
⎰
L
(x +y ) ds =
⎰
L
(x -y ) dy = 。
⎰
L
(x 2-2xy ) dx +(y 2-2xy ) dy =
5. 设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9，则曲线积分
L
xdy -ydx ＝6. 设L 是抛物线y 2=x 上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧 则
⎰
L
(y -x ) dy +(x +y ) dx =7. 设L 为三顶点分别为（0，0）、（3，0）、（3，2）的三角形的边界正方向， 则曲线积分
L
(2x -y +4) dx +(5y +3x -6) dy x 2y 2
+=1, 其周长为a , 则(2xy +3x 2+4y 2) ds = 8设L 为椭圆
L 43
9
已知曲线L :y =x 2(0≤x ≤，则
10．L 为圆周x +y =4，计算对弧长的曲线积分
2
2
⎰
L
xds =_______
L
x 2+y 2ds =
三 计算题
1, 计算I =
⎰2xydx +x dy ，其中曲线C 分别为1）直线y =x ，2）抛物线y =x
c
22
，3）立
方抛物线y =x ，都是有原点（0, 0）到点(1,1)。 2. 计算
3
⎰L
(x 2-y 2) dx , 其中L 是抛物线y =x 2上从点(0, 0)到点(2, 4)的一段弧;
3．已知曲线弧L :
y =(0≤x ≤1) ，计算
2
⎰
L
xyds 。
4．设L 是曲线x =t +1, y =t +1上从点（1, 1）到点（2, 2）的一段弧，计算 I =
⎰
L
2ydx +(2-x ) dy
5． 求
2
(x +y ) ds ，其中L 为圆周x 2+y 2=a 2. ⎰L
6．计算
⎰
L
x 2ds ，其中L 为球面x 2+y 2+z 2=a 2被平面x +y +z =0所截得的圆周。
7．计算第一类曲线积分
⎰
L
x ds ，其中L 为双纽线(x 2+y 2) 2=x 2-y 2。
x 2y 2
8． (x +y )dx +(x -y )dy ，其中L 为按逆时针方向绕椭圆2+2=1周。 ⎰a b L
9
．计算
⎰L
, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2，直线y =x , y =0在第一象限内所围成
的扇形的边界。
e x -x 2y xy 2-sin y 2222
10．计算 ⎰L x 2+y 2+x 2+y 2dy , 其中L 是x +y =a , 顺时针方向
11． 计算
2
xdy -ydx
⎰L x 2+4y 2，其中L 为任意一条不通过原点的简单光滑正向的封闭曲线.
12．利用曲线积分求下列星形线
⎧x =a cos 3t ,
(0≤t ≤2π) ） ⎨3
⎩y =a sin t ,
这个平面曲线所围成图形的面积:。
第二十一章 重积分
一、判断题
1、若函数f (x , y ) 在有界闭区域D 上有界，则f (x , y ) 在D 上必然可积。 （ ）
2、在区域D :0＃x
1
，0＃y 2
1
上有蝌(x +y ) d s ? 3D
蝌(x
D
（ ） y ) 2d s 。
3、二元函数在某点的两个累次极限存在，则在该点的重极限必存在。（ ） 4、 积分
蝌? f (x , y , z ) d n 在球面坐标下其体积微元将变成rdrd j d q 。 （ ）
W
5、在区域D :0＃x
1
，0＃y 2
1
上有蝌(x +y ) d s ? 3D
蝌(x
D
y ) 2d s 。 （ ）
二、填空题 1、交换二重积分次序2、
dy 蝌
1y 0
f (x , y ) dx
|x |+|y |≤1
⎰⎰
|xy |dxdy =2
2
3、由椭圆(a 1x +b 1y +c 1) +(a 2x +b 2y +c 2) =1，(a 1b 2-a 2b 1≠0) 所围区域的面积为x 2y 2
4、设密度均匀的平面薄板方程为半椭圆2+2≤1, y ≥0，则其重心为
a b
三、选择题
1、设D ={(x , y ) |x 2+y 2?
a 2}，若
D
=p ，则a = （ ）
A 1
B
C
D 2、设D ={(x , y ) |x 2+y 2? 1}，D 1为D 在第一象限部分，则下列各式中不成立的是（ ）
A
D D
=4
D 1
B D
⎰⎰xydxdy =4⎰⎰xydxdy C ⎰⎰(x +x y ) dxdy =0
D 1
32
D
2332x y dxdy =x ⎰⎰⎰⎰y dxdy D
D
3、设D ={(x , y ) |x 2+y 2? 1}，M =
⎰⎰x 2y sin(x +y 2) dxdy ， D
N =⎰⎰(x 2+xy 2)cos(xy ) dxdy ，P =⎰⎰ln(x 2+y 2) dxdy ，则（ ）
D
D
A N
⎰
2
dx 3-x 1
x
f (x , y ) dy 交换积分次序后为（ ）
2
A. I =⎰4
0dy ⎰
3-y
2y f (x , y ) dx B. I =⎰12y
33-y
dy ⎰
0f (x , y ) dx +⎰1
dy ⎰
2y f (x , y ) dx C. I =
⎰
2
3-y 2y
3
3-y
dy 1
y
f (x , y ) dx D. I =⎰1
dy ⎰
f (x , y ) dx +⎰1
dy ⎰
f (x , y ) dx
2
5、设I =⎰
2
2y
dy ⎰y
2f (x , y ) dx ，则更换积分次序后I = ( )
A.
⎰2
dx ⎰
2x
x 2
f (x , y ) dy B. ⎰4
x
20
dx x
f (x , y ) dy
C.
⎰
2
x 2
40
d x ⎰f (x , y ) dy D. ⎰dx x
2x
x f (x , y ) dy
2
6、设I =⎰
b
x
a
dx ⎰a f (x , y ) dy (a
A ⎰
b
dy ⎰y
a
a
a f (x , y ) dx B
⎰
b
a dy ⎰y
f (x , y ) dx
C
⎰
b
b
b
y
a
dy ⎰y
f (x , y ) dx D
⎰
a
dy ⎰b
f (x , y ) dx
7、设L 是平面可求面积的有界闭区域D 的边界，则D 的面积可表示为（ ） A.
1
L
xdy -ydx B.
2
L xdy +ydx C.L
ydx D.L
xdy
8、设有空间有界闭区域Ω2222
1={(x , y , z ) x +y +z ≤R , z ≥0}
，
Ω2={(x , y , z ) x 2+y 2+z 2≤R 2, x ≥0, y ≥0, z ≥0}
，则有（ ）
A 、⎰⎰⎰xdv =4⎰⎰⎰xdv B 、Ω⎰⎰⎰ydv =4⎰⎰⎰ydv
1
Ω2
Ω1
Ω2
C 、
⎰⎰⎰xyzdv =4⎰⎰⎰xyzdv D 、⎰⎰⎰zdv =4Ω⎰⎰⎰zdv
Ω1
Ω2
1
Ω2
9、设D 为平面上一个闭区域, L是包围了区域D 的边界正向曲线，则D 的面积为( A.
1
2
⎰L xdy +ydx B. ⎰L
xdy
)
C.
⎰ydx D. ⎰xdy -ydx
L
L
四、计算题 1
、计算二重积分
2、计算二重积分 3、求
4、计算如下积分
22
，其中(x +y ) dxdy D ={(x , y ) x +y ≤x +y }。 ⎰⎰D
D
，其中D 是由圆周x 2+y 2=x 所围区域.
⎰⎰sgn(xy -1) dxdy ，其中D ={(x , y ) 0≤x ≤2,0≤y ≤2}。
D
0≤x ≤2
0≤y ≤2
⎰⎰[x +y ]d σ.
5、计算：I =
xdy -ydx
L x 2+y 2, 其中L 为任一闭区域的边界线.
xdy -ydx
L x 2+y 2（L 的方向取逆时针方向）, 其中（1）原点不在L
6、应用Green 公式计算I =
所围成的闭区域的内部和边界上；（2）原点在L 所围成的闭区域的内部. 7、计算
2222
Ω，其中是由曲面2(x +y ) =z 与z =4为界面的闭区域。 (x +y ) dxdydz ⎰⎰⎰
Ω
x 2y 2z 2
8、计算I =⎰⎰⎰zdxdydz ，其中V 由椭球2+2+2≤1与z ≥0围成的区域.
a b c V
2
9、设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线y =x 及直线y =x 所围成，它在点(x , y ) 处的面
2
密度μ(x , y ) =x y ，求该薄片的质心。 五、证明题
1、证明：由椭圆(a 1x +b 1y +c 1) +(a 2x +b 2y +c 2) =1所围的面积∆D =其中a 1b 2-a 2b 1≠0. 2、验证曲线积分
2
2
π
a 1b 2-a 2b 1
，
⎰(2x +sin y ) dx +(x cos y ) dy 与路径无关，并求
L
(2x +sin y ) dx +(x cos y ) dy 的原函数.
3、设 u (x , y ), v (x , y ) 是具有二阶连续偏导的函数，证明：
∂2u ∂2u ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u
+) d σ+ v . (1) ⎰⎰v (2+2) dxdy =-⎰⎰(⎰∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂n D D L
其中D 为光滑曲线L 所围成的平面区域，而
∂u ∂u ∂u
=cos(n , x ) +sin(n , x ) ∂n ∂x ∂y
是u (x , y ), v (x , y ) 沿着曲线L 的外法线n 的方向导数.
(2) 并利用该公式计算
⎰⎰(x
D
∂f ∂f
+y ) dxdy . 其中D =(x , y ) x 2+y 2≤1, f (x , y ) 在D ∂x ∂y
{}
∂2f ∂2f -(x 2+y 2)
上有二阶连续偏导数且2+2=e .
∂x ∂y
第二十二章 曲面积分
1计算下列对面积的曲面积分 1） 2）
x y z 4⎫⎛
++=1在第一卦限中的一部分。 ，其中为平面z +2x +y dS ∑ ⎪⎰⎰2343⎭∑⎝
⎰⎰(xy +yz +zx )dS ，其中∑
是锥面z =
∑
S
被柱面x 2+y 2=2ax 所截得的有限
部分。
2计算第一型的曲面积分
⎰⎰(x +y +z ) dS ，其中S 是上半球面x
2
+y 2+z 2=a 2, z ≥0.
3．计算I =4．计算I =
⎰⎰z dS ，其中∑
为上半球面z =
∑∑
3
⎰⎰xdydz +ydzdx +2zdxdy ，其中∑为曲面z =1-x
2
-y 2在第一卦限的部分
取上侧。
5．计算曲面积分I =
332
2x dydz +2y dzdx +3(z -1) dxdy , 其中∑是曲面 ⎰⎰∑
z =1-x 2-y 2(z ≥0) 的上侧。
6
求
7计算曲面积分I =
22
z =，其中为锥面在柱体x +y ≤2x 内的部分。 zdS ∑
⎰⎰
⎰⎰
∑
，其中∑
为锥面z =介于z =0及z =1之间的部分.
∑
8 设曲面∑:x +y +z =1求9. 设∑
是锥面z =10. 设曲面∑
是z =11计算
⎰⎰(x +y ) ds 。
∑
∑
≤z ≤1) 的下侧，计算⎰⎰xdydz +2ydzdx +3(z -1dxdy ) 。 的上侧，计算⎰⎰xydydz +xdzdx +x 2dxdy 。.
∑
22
，其中是柱面x +y =1被平面z =0及z =3所截得zdxdy +xdydz +ydxdz ∑⎰⎰
∑
的在第一象向部分的前侧。
12 求球面x +y +z =a 含在柱面x +y =ax 内部的那一部分面积。 13 应用Gaus s 公式计算曲面积分，
2
2
2
2
2
2
⎰⎰xdydz +y dzdx +zdxdy
S
, 其中
S
是上半球面
z =a 2-x 2-y 2的外侧. （7分）
14 利用高斯公式计算曲面积分：
⎰⎰(x -y ) dxdy +
∑
，其中∑为柱面x (y -) z dydz
x 2+y 2=1及平面z =0及z =3所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧。
15 利用高斯公式计算曲面积分
⎰⎰(y -z ) dydz +(z -x ) dzdx +(x -y ) dxdy ，其中∑
为曲面
∑
222(x cos α+y cos β+z cos γdS ) ，其中∑为锥面⎰⎰∑
z =及平面z =0﹑z =h (h >0) 所围成的空间区域的整个边界的外侧。
16利用高斯公式计算曲面积分
x 2+y 2=z 2介于平面z =0﹑z =h (h >0) 之间的部分的下侧，cos α﹑cos β﹑cos γ是
∑在点(x , y , z ) 处的法向量的方向余弦。
17利用高斯公式计算三重积分
⎰⎰⎰(xy +yz +zx ) dxdydz ，
Ω
其中Ω是由x ≥0，y ≥0，0≤z ≤1及x 2+y 2≤1所确定的空间闭区域。
18 利用斯托克斯公式计算曲线积分：
222222
(y +z ) dx +(z +x ) dy +(x +y ) dz ，其 ⎰L
中L 为平面x +y +z =1与三个坐标面的交线，其正向为逆时针方向，与平面x +y +z =1上侧的法向量之间符合右手规则；
19 利用斯托克斯公式计算曲线积分：
⎰(z -y ) dx +(x -z ) dy +(y -x ) dz ，其中L 为
L
以点A (a ,0,0) ﹑B (0,a ,0) ﹑C (0,0,a ) 为顶点的三角形沿ABCA 的方向。
2222
20 利用斯托克斯公式计算曲线积分：ydx +zdy +xdz ，其中L 为球面x +y +z =a
⎰
L
与平面x +y +z =0的交线（此交线为圆周），从X 轴的正方向看，此圆周的方向为逆时针方向。